数学沪科版八年级（上册）第3课时 角平分线的判定_第1页
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沪科版·八年级上册第3课时角平分线的判定导入新知

写出上面角平分线性质定理的逆命题.

这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？例1

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，AC的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理,PE=PF.∴PD=PE=PF,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.运用新知证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等）∴△BOD≌△COE（AAS）∴OD=OE.∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）2.如图所示，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，E为OA上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.证明：如图所示，过点P作PM⊥OB于点M.∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）在Rt△POD和Rt△POM中，∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等）

又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义）∴∠PED=∠PFM.又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义）在△PDE和△PMF中，∴△PDE≌△PMF，（AAS）∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）随堂演练1.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4，则PD＝(

)CA．4

B．3

C．2

D．12.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的(

)A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条角平分线的交点D3.如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∴点D在∠BAC平分线上，A

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