教师资证高中数学考试真题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若函数f（x）=八:°戈：：，在x=0处可导，则a,b的值为（）.

d*sin2xx>0

A.a=2,b=lB.a=l,J=2

C,a=-2，b=1D.a=2,b=—1

n•1「

2.已知f（x）=x'miX*，若f（x）的一阶导函数在x=0处连续，则”的取值范围是（）.

0x=0

A.n>3B.n=2C.〃=1D.«=0

3.已知，%（L3.0）,平面％过如点且垂直与MM?,平面叼：6x+>，+18z-18=0

与平面药之间的夹角为）（）.

71

D.

9

4.若向量a,b>c>两足,+b+3=0,贝U石x6=（）.

A.bxaB.cxbC.bxcD.

5.设〃阶方阵M的秩“&，）=/<%则它的〃个行向量中（).

A.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示

B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组

C.任意/个行向量均线性无关

D.必有「个行向蚩线性无关

乐趣干缺失无法解析__________________________________

7.下列对向量学习意义的描述：

①有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系；

②有助于理解数学运算的意义和价值，发展运算能力；

③有助于掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想；

④有助于理解数学不同内容之间存在广泛的联系.

其中正确的共有（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

8.数学归纳法的推理方式属于（）.

A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.合情推理

二、简答题(本大题共5小题，每题7分，共35分)

9.有线性变换7=.j-5.变换矩阵《=1,B=I

(1)求椭圆W•+片=1经过线性变换后的方程.

49

(2)变换后,那些性质不变，那些性质变了(如：距离、斜率、相交)？

10.已知函数/Xx)=lnx,g(x)=—(x-1).

4

(1)求f(X)和g(x)围成的平面区域的面积.

|(2)求0”4/(x),l<x<3,绕［’轴旋转的体积.

H.一个袋子里有8个黑球，8个白球，随机不放回连续取球5次，每次取出1个球，求最多取到

3个白球的概率.

卜2.给出数学文化的内容，请举出数学课堂中两个能够应用数学文化的例子.|

13.简述数学建模的主要过程.

三、解答题(本大题1小10分)

14.已知函数，x)在闭区间［«可上连续，且/(a)JQ)<0,请用二分法证明/(x)在(ab)内至

少有一个零点.

四'树S(本册Id濡，15分)

15.有人认为目前的教学缺乏对中学生思维能力的培养，请谈一谈你的看法，并说一说在老师在教

学中应该如何做.

五、案例分析题（本大题1小题，20分）

16.在学习了“直线与圆的位置关系'’后，一位教师让学生解决如下问题：

求过点P（2,3）且与圆。：（x-1尸+乂=1相切的直线I的方程.

一位学生给出的解法如下：

由圆。的方程（x-1尸+V=1,可得圆心。的坐标为（L0）,圆的半径r=1.

设直线/的斜率为心则直线/：）-3=Wx-2）,即fcc-y-2k+3=0.

卜2k+3]

因为直线/与圆。相切，所以圆心。到直线/到距离为d=1,解得：

**1

所以直线/的方程为4X-3J+1=0.

（D指出上述解法的错误之处，分析错误原因，并给出两种正确解法34分）.

（2）针对该题的教学，谈谈如何设置问题，帮助学生避免出现上述错误（6分）.

六、（秋题U30分）

17.普通高中课程标准2017版，对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为：

①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导

数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.

②体会极限思想.

③通过函数图象直观理解导数的几何意义.

针对导数的概念及其意义以达到①，完成教学设计.

（1）设计教学重点（6分）.

<2）教学过程（导入、概念形成与巩固），并写出设计意图（24分）.

答案：

1.答案：A.

2.答案：A.

3.答案：B.

4.答案：C.

5.答案：D.

6.答案：C.

7.答案：D.

8.答案：B.

9.答案：⑴(必一3f+(%-5)，=1

M=2（必一3）

解析：3)

巧=3（打-5）

产+5

4（”—行+外”―5f

=1,即（M—3）2+（〃—5）=

(2)在该

种变换下，不变的性质：都是中心对称图形和轴对称图形，都是在某条件

下点的轨迹所形成的对称图形;变化的性质：图形的形态发生了变化，不再

以原点为中心点，不再与坐标轴相交，图形距离中心点的距离都相等。

10.答案：(1)3in5-4)(2)(9In3-4)^.

解析：(Dfinx-^^(x-1)t&=31n5-4；

"4

(2)F=^-32-lnj办=(91n3-4)兀.

解析：最多取到3个白球的概率：尸=1一三里f=1一2=黑

7878

12.参考答案：

(1)微积分是数学学习中的重要基础课程，贯穿整个数学学习的始终.故

在学习微积分时可以收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，

并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.

(2)“杨辉三角”在中国数学文化史中有着特殊的地位，它蕴含了丰富的

内容，还科学地揭示了二项展开式的二项式系数的构成规律，由它还可以

直观看出二项式定理的性质.故可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就

“杨辉三角*有意识地强调数学的科学价值、文化价值、美学价值，从而

提高文化素养和创新意识.

13.参考答案：

数学建模是9学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空

间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日

常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,

增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实

践能力.数学建模过程大致分为以下几个过程：

模型准备：在模型准备的过程中，我们要了解问题的实际背景，明确

其实际意义，掌握研究对象的信息，并能够运用数学语言描述研究对象.

模型假设：依据研究对象的信息和建模的目的，对研究问题通过间接

明了的语言进行问题假设.

建立模型：根据假设，对于研究问题通过数学语言、公式依靠数学工

具建立各部分之间的联系，能够建立起数学模型结构.

解决模型：获取研究对象数据资料，对资料进行分析，对模型的所有

参数做出计算.

分析模型：对所得的结果进行数学上的分析.

检验模型：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的

准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其

实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次

重复建模过程.

三、解答题（本大题1小题，10分）

14.答案：

证明：记［勺闻山㈤,令6=&兽，如果〃q）=。，结论已经成立；若

）（q）H0,那么与/（q）/（4）中有一个小于零，不妨设

记［。2也］=［，勺］,再令。2=生；」，如果/（。2）=0,结论

已经成立；故同样可设/（。2）=0,那么/（X）在［%Cz］与上也］这两个区间中的

某一个区间上端点值异号，并记这个区间为［丹淮3］；将这个过程无限重复下去，就

得到一列闭区间｛［%»/｝,满足

（1）［44］＞［。＞卜葭J〃=L2

b-Q

!t!t＞QD）

（3）/（4）/电）＜0,〃=L2…；

由（1）和（2）可知｛［（.%］｝是一个区间套，由区间套定理，存在

46回4］,〃=123…，且有也为=吧.因为在点4处连续，所

以由⑶得/3）=也/㈤）/（3wo,则必有/⑷=0.显然，心（。㈤，

它就是/（x）的一个零点.

四、论述题（本大题1小题，15分）

15.参考答案：

数学思维就是以数、形与推理过程为研究对象，以数学语言与符号为

思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维.

在传统的数学教学中，教师一般采用题海战术，只重视结果，不重视

过程，造成学生的思维模式比较固定，虽然对某一类型的题目可以快速解

答，但是在遇到新题型的时候，学生就会缺乏数学思维.

数学思维作为一种思维品质，教师可以从以下几个方面来培养学生的

数学思维：

一方面，教师要精心设置需要学生做出逻辑判断的问题情境，设计能

够引发学生独立思考的教学过程，创造能引起思维冲突的交流机会，让学

生充分运用数学化思维去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，真

正将学生的思维活动有机融入学习过程中.

另一方面，教师要精心设计可以唤醒学生好奇心的“开放性的问题”，

要充分鼓励学生的思维直觉，鼓励学生大胆想象与猜想，将数学结论还原

为学生自己经历抽象和归纳的思维过程.

与此同时，坚持启发式教学，调动学生思维.启发式教学注重展现知识

发生过程，创造情境，启发学生比较、分析、综合、抽象、概括以及判断、

推理等，思考问题，发现问题，得出结论，可以培养思维的广阔性和深刻

性.

总而言之，不仅要让学生学会用数学思维去思考，还要让学生敢于别

出心裁地思考，只有这样，才能培养学生的数学思维能力.

五、案例分析题(本大题1小题，20分)

16.参考答案：

(1)①错误之处：学生忽略了直线方程的点斜式存在局限性，只能表示

斜率存在的直线方程.因此在计算过程中没有讨论斜率不存在的情况，导致

结果缺少一种情况

②原因：对于直线方程的表达形式的细节认识不深刻忽略了直线方程

的点斜式存在局限性，只能表示斜率存在的直线方程.而学生根据直线和圆

相切是圆心到直线的距离等于半径，设直线的点斜式方程，进行求解，未

讨论直线斜率不存在的情况，所以出现错误.

③解法1：根据圆的方程(X-1『+丁=1得圆心0(1。，半就•=1.由于直线

过点尸(2,3)目与圆(X—1)2+丁=1相切，所以当直线斜率不存在时，得x=2,满

是题意；当直线斜率存在时，设直线方程为J」3=Mx-2),即

kx-y-2k+3=Q.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离。==i,

4

解得上=§.所以直线方程为4x-3J，+1=0.综上所述,直线方程为4x-3v+l=0

或x=2.

解法2：根据圆的方程（》-1）2+丁=1得圆心。（1,0）,半径厂=1.由于直线过

点尸（2,3）目与圆（x-l）2+』=1相切，所以当斜率不存在时，得x=2,满足题意;

当直线斜率存在时，设直线方程为｝」3=为（工一2）,即去一），-2左+3=0.将直线

和圆的方程联立：（A-1）+>=1,消去y得到

v-3=A?（x-2）

（1+二）/+（-4左?+6左_2）乂+4左2_12左+9=0,由于直线和圆相切，所以令

A=0,得到（Y储+6左一2『-4（1+/）（4二-12左+9）=0,解得上=（所以

直线方程为4x—3y+l=0；综上所述，直线方程为4x—3y+l=0或x=2.

（2）设置问题的时候，组要关注学生的学习状态随时调整引导问题的难

度做到问题设置难度适中循序渐进并具有启发性.

因此在针对该题目的教学时，首先会设置如下几个问题帮助学生梳理

解题思路

问题1：从几何或代数的角度思考直线和圆相切，具有什么特点呢？

预设：从几何的角度出发，是圆心到直线的距离等于圆的半径，且交

点只有1个.

从代数的角度出发，是圆的方程与直线方程联立后的方程有两个相等

的实根距离等于圆的半径.

问题2：那么根据大家刚刚的思考结果，大家根据题干作图，观察一

下符合条件的直线有几条？分别又具有什么特征呢？

预设：2条，一条斜率存在，一条斜率不存在

问题3：通过这个结果你得到什么启示，在完成这个题目的解析的时

候需要注意什么呢？

预设：需要先讨论斜率不存在的时候是否符合题意，再设出直线的点

斜式进行求解.

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.参考答案

（1）教学重点：理解导数概念的建立及其几何意义

教学重点之所以这样设计是为了针对本节知识中最重要最核心的问题，

结合新课程标准的要求，对于导数概念的学习最重要的就是理解导数的概

念和它的几何意义的学习，因此设计了如上的教学重点.

（2）导入：通过复习瞬时速度、切线的斜率的求法引导学生从函数的角

度思考函数的增量与自变量增量之间比的极限，从而引出导数的本节标题.

（设计意图：通过复习导入可以准确地将新旧知识建立联系，并且抽象

与具体相结合的好处在于加深对导数概念的理解，在已有的知识水平上有

一个新知识的学习可以激发学生对导数的学习兴趣)

新授：通过总结导入中的例子给出新的概念，即设函数F=/(x)在附近有

定义，当自变量在x=x0处有增量Ax时，则函数J=〃x)相应地有熠量

AJ'=/(A-0+AA)-/(X0),如果6To时，母与6的比去也叫函数的平均变化率，

有极限即孚无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数》=力X)在XT儿处

的导数，记作承I，即门五)=Hm'+二.

J八―'U7A»->0.

给出定义之后，引导学生思考求导数的时候是否有哪些需要注意的问题，组织

学生小组讨论