专题07导数与函数的单调性（五大题型重难点突破）原卷版

专题07导数与函数的单调性知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2、已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．重难点题型一：求单调区间例1、（2122高三上·广东珠海·期末）函数的递减区间为（

）A． B．C． D．例2、（2324高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为．例3、（2223高二下·河南省直辖县级单位·期末）的单调增区间为.变式训练1、（2223高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（

）A． B．C． D．和变式训练2、（2223高二下·福建福州·期中）已知函数，则其单调增区间是（

）A． B． C． D．变式训练3、（2223高二下·广东茂名·阶段练习）函数的单调递减区间是.重难点题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例4、（2122高二下·安徽安庆·阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是.例5、（2324高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例6、（2324高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（

）A． B．C． D．变式训练4、（2324高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为．变式训练5、（2324高三上·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）

A． B． C． D．变式训练6、（2223高二下·四川乐山·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．

重难点题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7、（1718高二下·辽宁沈阳·期中）设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．例8、（2324高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例9、（2223高三上·江苏扬州·开学考试）已知，其中e为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．变式训练7、（2223高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式训练8、（2324高三上·上海静安·期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.变式训练10、（2023·辽宁·模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．重难点题型四：不含参数单调性问题例10、（2122高三上·河南·阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调递增区间；(2)已知在区间上单调递增，求实数的取值范围.例11、（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为．（1）求的单调区间；（2）讨论函数在上的零点个数

变式训练11、（2223高三上·北京海淀·期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若在区间上的取值范围是，求的取值范围．变式训练12、（1819高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.

重难点题型五：含参数单调性问题例12、（2324高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求证：当时，．例13、（2223高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．

例14．（2122高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．变式训练13、（2122高三上·河南许昌·阶段练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

变式训练14、（2021高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．变式训练15、（2023·全国·模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.(2)函数在上是否存在两个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

1．（1920高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2223高二下·全国·课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．