北师大版2019选择性必修第一册专题7.2非线性回归问题(3类必考点)(原卷版+解析)

专题7.2非线性回归问题TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】 1【考点2：非线性回归类型二：指数函数型】 8【考点3：非线性回归类型三：对数函数型】 13【知识要点】1、建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.常见的非线性回归方程的转化：曲线方程变换公式变换后的线性关系式【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】【知识点：类型一：幂函数型】1．（2023·高二课时练习）2020年初，新型冠状病毒（COVID-19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y关于x的二次回归方程为y=6x2周数x12345治愈人数y2173693142A．0 B．1 C．4 D．52．（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y（单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为x(1)根据散点图判断，模型①y=a+bx与模型②y=c+dx2，哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码(2)根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程；(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．参考数据：yi=1i=1i=1i=134559796572805参考公式：回归方程y=a+b3．（2023·全国·高二专题练习）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量y年份2016201720182019202020212022广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中i=17x(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；(2)若用y=c+dx模型拟合得到的回归方程为y=1.63+0.99x，经计算线性回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x参考公式：b=i=1n4．（2023·全国·高二专题练习）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用xi和年销售量yi=1i=1i=1i=116.1026.020.401.60表中ui=lnxi，vi=lnyi，(1)求y关于x的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润−营销费用−固定成本）参考数据：e4.399≈81，参考公式：对于一组数据u1,v1,u25．（2023春·高二单元测试）某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①y=bx+a，②y=dxyti=1i=1i=1i=114.5100.086650.04-4504表中ti=1若用R2=1−i=1nyi−(1)利用R12和(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，6．（2023·江苏·高二专题练习）有一个开房门的游戏，其玩法为:盒中先放入两把钥匙T和两把钥匙F，T能够打开房门，F不能打开房门.每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙F，继续下一轮抽取，直至“成功”.(1)有1000名爱好者独立参与这个游戏，记t表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表:t12345y507144723225若将y=bt2+a作为(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.参考公式：最小二乘估计b=i=1n参考数据：取i=15xi2=1.08，x7．（2023春·高二单元测试）根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：年份20162017201820192020年份代码x12345每周人均读书时间y（小时）1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一:y=bx+a；模型二:y=cx(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为i=15附：参考数据：i=15tiyi参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，【考点2：非线性回归类型二：指数函数型】【知识点：类型二：指数函数型】1．（2023·高二课时练习）以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到经验回归方程z=2x−1A．−2,e B．2,1e C．−2,2．（2023·广东梅州·统考二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y=c1e年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7z=22.433.64由上表可得经验回归方程z=0.52x+a，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（

）A．e5.08 B．e5.6 C．e6.123．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据xi,yA．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(C．若以模型y=aeℎx(a>0)拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+D．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好4．（2023·全国·模拟预测）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y612254995190(1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断y=bx+a（a，b为常数）与y=c1ec2x（c1，c2为常数，且(2)对于非线性回归方程y=c1ec2x（c1，c2为常数，且c1xyzi=1i=1i=13.5062.833.5317.50596.5712.09①证明：“对于非线性回归方程y=c1ec2x，令z=lny，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.通过初步分析，求得年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为y=1.2x−1.3x12345y0.511.535.5表1x12345z=−0.700.41.11.7表2(1)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y=ebx+a作为年销售量y关于年投资额(2)若求得线性回归模型的相关系数R12=0.88参考数据：i=15xi2=55，i=15xizi=13.4参考公式：b=i=1nxi6．（2023·广东江门·统考一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.511.53612z=-0.700.41.11.82.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=bx+a和②y=edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，(2)根据下表中数据，用相关指数R2经验回归方程残差平方和y=bx+ay=i=118.290.65参考公式及数据：b=i=1nR2i=16xi7．（2023·全国·模拟预测）信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y/千亿元8.19.611.513.816.7(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型y=a⋅bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，参考数据：vi=1ee1.192.4538.526.811.192.84其中vi=ln参考公式：对于一组数据u1,w1，u2,w2，…，【考点3：非线性回归类型三：对数函数型】【知识点：类型三：对数函数型】1．（2023春·四川成都·高二统考期中）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据x由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率yA．y=a+bx B．y=a+bC．y=a+bex 2．（2023春·高二单元测试）发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：年份2014201520162017201820192020年份代码x1234567每户平均可支配收入y（千元）4152226293132根据以上数据，绘制如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dlnx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y（千元）关于年份代码x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立y关于(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；参考数据：yui=1i=1i=1e22.71.2759235.113.28.2其中ui=ln参考公式：线性回归方程y=bx+a中，3．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量y(1)利用散点图判断，y=a+bx和y(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：xyωi=1i=1i=1i=19.430.323666.6439.266其中令ωi=ln根据（1）的判断结果及表中数据，求y（单位：千件）关于x（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量；参考数据和公式：ln2≈0.69，附：对于一组数据u1,v1、u2,v2、⋯、4．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量y(1)利用散点图判断，y=a+bx和y(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：xyωi=1i=1i=1i=19.430.323666.6439.266其中令ωi=lnxi，ω(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主播的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据和公式：ln2≈0.69，附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，5．（2023·山西·校联考模拟预测）某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价xi（单位：元）和上座率yi（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中(1)由散点图判断y=bx+a与y=clnx+d哪个模型能更好地对y与(2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．参考数据：x=240,y=0.5，i=15xi2=365000，i=15xiyi=457.5；设参考公式：对于一组数据u1,v1,u26．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x1234567杯数y4152226293132(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dlnx哪一个更适宜作为y关于(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.参考公式和数据：其中u回归直线方程y=byui=1i=1i=1e22.71.2759235.113.28.27．（2023·全国·高三专题练习）一所中学组织学生对某线下某实体店2022年部分月份的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：月份x24681012净利润y（万元）0.92.04.23.95.25.1λ=0.71.41.82.12.32.5μ=1.42.02.42.83.23.5根据散点图，准备用①y=alnx+b或②y=cx+d建立(1)用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为y关于x的回归方程?(2)由参考数据，根据（1）的判断结果，求y关于x的回归方程（精确到0.1）.附：对于一组数据ui,vi（i=1，2，3，⋯，n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=参考数据：x=7，y=3.55，λ=1.80，μi=16μi−μi=16yi8．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率yi（xyti=1i=1i=1i=12017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中ti=(1)根据散点图判断，y=bx+a与y=clnx−2012+d哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据u1,v1，u2,v2参考数据：ln10≈2.30，ln11≈2.40，专题7.2非线性回归问题TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】 1【考点2：非线性回归类型二：指数函数型】 10【考点3：非线性回归类型三：对数函数型】 17【知识要点】1、建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.常见的非线性回归方程的转化：曲线方程变换公式变换后的线性关系式【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】【知识点：类型一：幂函数型】1．（2023·高二课时练习）2020年初，新型冠状病毒（COVID-19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y关于x的二次回归方程为y=6x2周数x12345治愈人数y2173693142A．0 B．1 C．4 D．5【答案】D【分析】令t=x2，则y关于t的一次回归方程为y=6t+a，求出t【详解】令t=x2，则y关于t的一次回归方程为t=则58=6×11+a，解得a=−8，则y=6令x=4，得y=6×16=8=88所以残差为93−88=5.故选：D.2．（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y（单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为x(1)根据散点图判断，模型①y=a+bx与模型②y=c+dx2，哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码(2)根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程；(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．参考数据：yi=1i=1i=1i=134559796572805参考公式：回归方程y=a+b【答案】(1)y=c+d(2)y(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量96.5万辆【分析】（1）根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断；（2）换元令t=x（3）令x=6，代入回归方程运算求解.【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②y=c+dx（2）令t=x2，则i=15对于回归方程y=可得：d=i=15故回归方程为y=6.5+2.5t，即y（3）由（2）可得：y=6.5+2.5令x=6，则y=6.5+2.5×预测2023年该公司新能源汽车销售量96.5万辆.3．（2023·全国·高二专题练习）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量y年份2016201720182019202020212022广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中i=17x(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；(2)若用y=c+dx模型拟合得到的回归方程为y=1.63+0.99x，经计算线性回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x参考公式：b=i=1n【答案】(1)y(2)选用回归方程y=1.63+0.99x更好，【分析】(1)根据数据，利用公式即可求出线性回归方程；（2）R2越大拟合效果越好，选用回归方程y【详解】（1）由题意可得：xy所以b=a=y关于x的线性回归方程：y=0.17x+2.84（2）因为0.75<0.88，R2选用回归方程y=1.63+0.99zz=−即当x=99时，x=98014．（2023·全国·高二专题练习）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用xi和年销售量yi=1i=1i=1i=116.1026.020.401.60表中ui=lnxi，vi=lnyi，(1)求y关于x的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润−营销费用−固定成本）参考数据：e4.399≈81，参考公式：对于一组数据u1,v1,u2【答案】(1)y=81(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y关于x的回归方程为非线性的，设y=a⋅xb，可得【详解】（1）由y=a⋅xb得，lny=ln(a⋅xb)=ln由表中数据可得，b=则c=v−即lny=4.399+0.25lnx=ln故所求的回归方程为y=81x（2）设年收益为W万元，则W=4y−x−120=324x对W=f(x)求导，得f'(x)=81x令81x−3当x∈(0,351)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(351,+∞)时，f'(x)<0，因此，当x=351时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．5．（2023春·高二单元测试）某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①y=bx+a，②y=dxyti=1i=1i=1i=114.5100.086650.04-4504表中ti=1若用R2=1−i=1nyi−(1)利用R12和(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，【答案】(1)选择模型②，理由见解析；(2)6.【分析】（1）根据已知R22>（2）y与t可用线性回归来拟合，有y=dt+c，求出系数d,c，得到回归方程y=100t+2，即可得到成本费y【详解】（1）应该选择模型②.由题意可知，R22>（2）由已知t=1x，成本费y与t可用线性回归来拟合，有由已知可得，d^所以c=则y关于t的线性回归方程为y=100t+2成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为y=当x=25（吨）时，y=所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.6．（2023·江苏·高二专题练习）有一个开房门的游戏，其玩法为:盒中先放入两把钥匙T和两把钥匙F，T能够打开房门，F不能打开房门.每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙F，继续下一轮抽取，直至“成功”.(1)有1000名爱好者独立参与这个游戏，记t表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表:t12345y507144723225若将y=bt2+a作为(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.参考公式：最小二乘估计b=i=1n参考数据：取i=15xi2=1.08，x【答案】(1)14人(2)7【分析】（1）利用参考数据以及最小二乘法公式求出b、a的值，可得出经验回归方程，然后在回归方程中令t=7，可求得结果；（2）设事件A为“第一轮成功”，事件B为“第二轮成功”，则A、B相互独立，分析可知游戏要进行三轮，即前两轮均失败，计算出PA、P【详解】（1）解：令xi=1由条件知i=15xi所以b=a=156−507.94×0.3=3.618，从而y故所求的回归方程为y=所以，估计当t=7时，y=507.9449+3.618≈14，即抽取7（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.设事件A为“第一轮成功”，事件B为“第二轮成功”，则A、B相互独立.因为PA=A所以，前两轮均失败的概率为PA故游戏要进行三轮的概率为7207．（2023春·高二单元测试）根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：年份20162017201820192020年份代码x12345每周人均读书时间y（小时）1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一:y=bx+a；模型二:y=cx(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为i=15附：参考数据：i=15tiyi参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，【答案】(1)y=0.5(2)模型二的拟合效果更好.【分析】（1）首先换元令t=x2，先求得t和（2）利用残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断.【详解】（1）令t=x2，则模型二可化为y关于t=1+4+9+16+255则由参考数据可得c=d=y则模型二的方程为y=0.5（2）由模型二的回归方程可得，y1y2(2)=0.5×4+0.8=2.8，yy5∴i=15故模型二的拟合效果更好.【考点2：非线性回归类型二：指数函数型】【知识点：类型二：指数函数型】1．（2023·高二课时练习）以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到经验回归方程z=2x−1A．−2,e B．2,1e C．−2,【答案】B【分析】模型y=cekx(c>0)两边取对数，又z=lny，可得z=【详解】由题意得lny=lncekx又经验回归方程为z=2x−1，所以lnc=−1,k=2，故c=故选：B2．（2023·广东梅州·统考二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y=c1e年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7z=22.433.64由上表可得经验回归方程z=0.52x+a，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（

）A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12【答案】B【分析】根据a=z−bx可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年【详解】因为x=3,所以a=z即经验回归方程z=0.52x+1.44，当x=8时，z=0.52×8+1.44=5.6，所以y=e即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6故选：B3．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据xi,yA．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(C．若以模型y=aeℎx(a>0)拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+D．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好【答案】BCD【分析】根据回归方程的性质判断A，B，比较列方程确定a，h的估计值判断C，根据残差和的意义判断D.【详解】对于A，若两变量x，y具有线性相关关系，则所有样本点都可能不在回归直线上，A错误；对于B，若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x对于C，因为y=aeℎx(a>0)，所以lny=ℎx+lna，即z=ℎx+ln对于D，残差平方和越小，拟合效果越好，D正确；故选：BCD.4．（2023·全国·模拟预测）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y612254995190(1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断y=bx+a（a，b为常数）与y=c1ec2x（c1，c2为常数，且(2)对于非线性回归方程y=c1ec2x（c1，c2为常数，且c1xyzi=1i=1i=13.5062.833.5317.50596.5712.09①证明：“对于非线性回归方程y=c1ec2x，令z=lny，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，【答案】(1)作图见解析，选择y=c(2)①证明见解析；②y【分析】（1）根据散点图，结合一次函数和指数型函数图象的特征进行判断即可；（2）①根据对数与指数的互化公式进行求解即可；②利用题中所给的数据和公式进行求解即可.【详解】（1）作出散点图如图所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，故选择y=c（2）①由已知，z=lny，则则α=lnc1，β=c2，即z=βx+α②由①知繁殖个数的对数z关于天数x可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得β=α=则z关于x的线性回归方程为z=0.69x+1.12又z=ln因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性回归方程为y=5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.通过初步分析，求得年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为y=1.2x−1.3x12345y0.511.535.5表1x12345z=−0.700.41.11.7表2(1)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y=ebx+a作为年销售量y关于年投资额(2)若求得线性回归模型的相关系数R12=0.88参考数据：i=15xi2=55，i=15xizi=13.4参考公式：b=i=1nxi【答案】(1)y=(2)0.99，非线性回归方程拟合效果更好【分析】（1）根据已知公式计算b，a，根据z=ln（2）由（1）的结论y=e0.59x−1.27，求得R2【详解】（1）由y=ebx+a，则lny=bx+a，记z=z=−0.7+0+0.4+1.1+1.75b=13.4−5×3×0.555−5×所以z=lny=0.59x−1.27，即非线性回归方程为（2）由（1）可得：y=ex12345y0.511.535.5y0.540.961.743.155.67R2显然R26．（2023·广东江门·统考一模）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.511.53612z=-0.700.41.11.82.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=bx+a和②y=edx+c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，(2)根据下表中数据，用相关指数R2经验回归方程残差平方和y=bx+ay=i=118.290.65参考公式及数据：b=i=1nR2i=16xi【答案】(1)y=2.1x−3.4，y=(2)30（千件）【分析】（1）求出x,y，根据公式计算出b,a得线性回归方程；求出z，再求得系数（2）根据（1）回归方程分别求得相关指数R12【详解】（1）由题可得x=16i=16xi所以b=i=16x方案①回归方程y=2.1x−3.4，对y=edx+c两边取对数得：lny=dx+c，令z=lnz=d=i=1c=z方案②回归方程y=e（2）方案①相关指数R1方案②相关指数R2R1故模型②的拟合效果更好，精度更高.当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y=e7．（2023·全国·模拟预测）信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y/千亿元8.19.611.513.816.7(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型y=a⋅bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，参考数据：vi=1ee1.192.4538.526.811.192.84其中vi=ln参考公式：对于一组数据u1,w1，u2,w2，…，【答案】(1)3(2)y=6.81×【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型y=a⋅bx两边取对数可得lny=lna+xln【详解】（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有8.1,9.6，8.1,11.5，8.1,13.8，8.1,16.7，9.6,11.5，9.6,13.8，9.6,16.7，11.5,13.8，11.5,16.7，13.8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有11.5,13.8，11.5,16.7，13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率P=3（2）y=a⋅b得lny=lna⋅因为x=3，v=2.45，所以lnb=lna=v−即lny=1.919+0.177x，所以即y关于x的回归方程为y=6.81×2023年的年份代码为6，把x=6代入y=6.81×得y=6.81×所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．【考点3：非线性回归类型三：对数函数型】【知识点：类型三：对数函数型】1．（2023春·四川成都·高二统考期中）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据x由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率yA．y=a+bx B．y=a+bC．y=a+bex 【答案】D【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型.【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.A中，y=a+bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y=a+bx2是二次函数型，函数y=a+bx2当b>0时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；当b<0时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求；C中，y=a+beD中，y=a+bln故对数型最适宜该回归模型.故选：D.2．（2023春·高二单元测试）发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：年份2014201520162017201820192020年份代码x1234567每户平均可支配收入y（千元）4152226293132根据以上数据，绘制如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dlnx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y（千元）关于年份代码x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立y关于(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；参考数据：yui=1i=1i=1e22.71.2759235.113.28.2其中ui=ln参考公式：线性回归方程y=bx+a中，【答案】(1)y=c+dlnx更适宜作为每户平均可支配收入y（千元）关于年份代码x的回归方程模型，(2)到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）；【分析】（1）根据图象，随着年份增加，每户平均可支配收入增加趋于缓慢，对数模型更适合.（2）根据回归直线的计算方法，可得y关于x的回归方程为y=5.7+14.2lnx.令y>35，最小的整数【详解】（1）根据题中散点图，得y=c+dln可支配收入y（千元）关于年份代码x的回归方程模型．由已知数据，得d=i=1=235.1−7×1.2×22.7故c=y−du=22.7−14.2×1.2≈5.7，故（2）由题知，令5.7+14.2lnx>35，整理，得lnx>2.1故当x=9时，即到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）．3．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量y(1)利用散点图判断，y=a+bx和y(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：xyωi=1i=1i=1i=19.430.323666.6439.266其中令ωi=ln根据（1）的判断结果及表中数据，求y（单位：千件）关于x（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量；参考数据和公式：ln2≈0.69，附：对于一组数据u1,v1、u2,v2、⋯、【答案】(1)y=(2)y=10.3+10lnx，预测当观看人次为280【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型；（2）令ω=lnx，则y=c+dω，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得d、c【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程y=（2）解：令ω=lnx，则因为i=110ωi所以d=又因为y=30.3，ω=2，所以所以y与ω的线性回归方程为y=10.3+10ω故y关于x的回归方程为y=10.3+10令x=28，代入回归方程可得y=10.3+10所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.4．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量y(1)利用散点图判断，y=a+bx和y(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：xyωi=1i=1i=1i=19.430.323666.6439.266其中令ωi=lnxi，ω(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主播的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据和公式：ln2≈0.69，附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，【答案】(1)y=(2)y=10.3+10(3)分布列见解析，6【分析】（1）观察散点图，根据散点的分布规律判断应采用的模型；（2）令ω=lnx，先求y与ω的线性回归方程，由此可得y与（3）确定随机变量的X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得X的分布列，利用均值公式求其期望.【详解】（1）由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程y=（2）令ω=lnx，则因为i=110ωi所以d=又y=30.3，ω所以c=所以y与ω的线性回归方程为y=10.3+10ω故y关于x的回归方程为y=10.3+10令x=28，代入回归方程可得y=10.3+10所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.（3）由散点图可知，这10名主播中，优秀主播的个数有4个，所以X的可能取值为0，1，2，3，所以PX=0=CPX=2=C所以X的分布列为：X0123P1131数学期望EX5．（2023·山西·校联考模拟预测）某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价xi（单位：元）和上座率yi（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中(1)由散点图判断y=bx+a与y=clnx+d哪个模型能更好地对y与(2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．参考数据：x=240,y=0.5，i=15xi2=365000，i=15xiyi=457.5；设参考公式：对于一组数据u1,v1,u2【答案】(1)y=clnx+d能更好地对y与x的关系进行拟合，(2)预测票价为220元时，剧场的门票收入最多．【分析】（1）由散点图知，y=clnx+d能更好地对y与x的关系进行拟合，设z=lnx，由公式求出c，再将y,z代入求出d，可得y关于（2）设函数fx【详解】（1）y=clnx+d能更好地对y与x设z=lnx，先求y关于由已知得z=所以c=i=1d=y所以y关于z的线性回归方程为y=−0.5z+3.2，所以y关于x的回归方程为y=−0.5ln（2）设该剧场的总座位数为M，由题意得门票收入为M−0.5x设函数fx=−0.5xln当f′(x)<0，即x>e5.4时，函数单调递减，当所以f(x)在x=e5.4所以预测票价为220元时，剧场的门票收入最多．6．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x1234567杯数y4152226293132(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y