新人教A版必修一 函数y=Asinx的图像及应用学案

2019-2020学年新人教A版必修一函数y=Asinx的图像及应用学案

1.y=Asin（①x+g）的有关概念

振幅周期频率相位初相

y=Asin（Gx+s）（A>0，

T=尸错误！=

co）0）,A3x+（D2

错误！错误！

2.用五点法画），=而也（3+8）（A〉0,co>0,x£R）一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

0一3兀一3

X错误！错误！错误！

coCD

CDx+（p0错误！n错误！2兀

y=Asin（5+g）0A0-A0

3.函数产sinx的图像经变换得到产AsinOr+p）（A〉0,co）0）的图像的两种途径

-

步

骤

画出）=si?x的图像I-画出产sinx的图像

L_L原来的倍

向左（右）平移则个单位长度步横坐标变为1

得到.v=sin«+<p）的图像卜—骤

2得到产sin3X的图像

=

横坐标变为原来的5倍步

向左（右）平移图个取位长度

|得至ijy=sin（jx+（p）的图像卜―骤

3得到.v=sin（u）x+（p）的图像

=

纵坐标变为原来的A倍步纵坐标变为原来的A倍

|得至lj.v=Asin（：x+（p）的图像卜-骤

LL

【知识拓展】

1.函数y=Asin（s+g）+攵图像平移的规律：“左加右减,上加下减”.

2.由y=sincox到y=sin（5+9）（①〉0,勿>0）的变换:向左平移错误！个单位长度而非伊个单

位长度.

3.函数y=Asin（69x+s）的对称轴由①%+勿=攵兀+错误！，kWZ确定;对称中心由①x+p=E,

&£Z确定其横坐标.

■基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J〃或“X”）

（1）y=sin错误！的图像是由y=sin错误!的图像向右平移错误!个单位长度得到的.（J）

（2）将函数y=sins的图像向右平移研3>0）个单位长度，得到函数y=sin（s—9）的图像•（义）

（3）函数y=Acos（sx+g）的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离

为错误!.（J）

（4）由图像求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的

值确定的.（J）

题组二教材改编

2.为了得到函数y=2sin错误!的图像，可以将函数y=2sin2%的图像（）

A.向右平移错误!个单位长度

B.向右平移错误!个单位长度

C.向左平移错误!个单位长度

D.向左平移错误!个单位长度

答案A

3.函数y=2sin错误!的振幅、频率和初相分别为（）

A.2,4兀，2,错误！，错误！

C.2,错误！，一错误!D.2,4兀，一错误！

答案C

解析由题意知A=2,/=错误!=错误!=错误！，初相为一错误！。

4.如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数），=4sin（5+o）+b,则这段曲线

的函数解析式为.

答案y=10sin错误！+20,尤右[6,14]

解析从图中可以看出，从6〜14时的是函数

y=Asin（3x+9）+匕的半个周期，

所以A=错误！*（30—10）=10,

%=错误！X（30+10）=20,

又错误！义错误！=14—6,

所以3=错误!。

又错误！X10+9=27t+2E,ZGZ,取°=错误！，

所以y=10sin错误！+20,xG[6,14].

题组三易错自纠

5.要得到函数y=sin错误!的图像，只需将函数），=sin4x的图像（）

A.向左平移错误!个单位长度B.向右平移错误!个单位长度

C.向左平移错误!个单位长度D.向右平移错误!个单位长度

答案B

解析•尸sin错误！=sin错误！，

，要得到y=sin错误！的图像，只需将函数），=sin4x的图像向右平移错误!个单位长度.

6.将函数〉=8$2方+1的图像向右平移错误!个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到

的函数图像对应的表达式为（）

A.y=sin2xB.y=sin2x+2

C.y—cos2xD.y=cos错误！

答案A

解析将函数y=cos2x+l的图像向右平移错误!个单位长度得到y=cos2错误!+l=sin2x

+1,再向下平移1个单位长度得到）'=5询版，故选A.

7.设函数f（x）=3sin（ox+s）错误!的图像关于直线》=错误!对称，它的周期是兀，则下列说

法正确的是.（填序号）

（Df（x）的图像过点错误!；

@f（x）在错误!上是减函数；

@f（x）的一个对称中心是错误!；

④将7U）的图像向右平移I0个单位长度得到函数y=3sin“x的图像.

答案①③

解析,：周期为兀，，错误！=兀，

）=3sin（2x+夕），.滞误！=3sin错误！，

则sin错误！=1或一1。

又夕C错误!，错误！+06错误！，

二错误!+夕=错误!，，夕=错误!,.\/（x）=3sin错误!。

①令x=0,则於）=错误!，正确.

②令2E+错误！〈2x+错误!<2E+错误!,4eZ,

则E+错误！〈x〈E+错误！，

令4=0,得错误！错误!，

即f（x）在错误!上是减少的，而在错误!上是增加的，错误.

③令x=招，则於）=3sin71—0,正确.

④应平移错误!个单位长度，错误.

题型分类深度剖析

---------------------------------------------真凝典题深度剖析重点难点多维探究----------------------------------------------

题型一函数y=Asin（“x+夕）的图像及变换••师生共研

典例已知函数y=2sin错误！。

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图像；

（3）说明y=2sin错误!的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到.

解（1）y=2sin错误！的振幅A=2,

周期7=错误！=兀，初相9=错误！。

（2）令X=2x+错误!,则y=2sin错误！=2sinX。

列表如下：

X错误！错误!错误！错误！

错误！

X0错误！71错误！2兀

y=sinX010-10

y=2sin错误!020-20

描点画出图像，如图所示:

（3）方法一把丫;面苫的图像上所有的点向左平移错误!个单位长度，得到y=sin错误！的

图像；

再把产sin错误!的图像上所有点的横坐标缩短到原来的错误！倍（纵坐标不变），得到尸sin

错误！的图像；

最后把），=sin错误!上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin错误！

的图像.

方法二将y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的错误!倍（纵坐标不变），得到y

=sin2x的图像；

再将），=sin2x的图像向左平移错误！个单位长度，得到y=sin错误！=sin错误!的图像；

再将y=sin错误！的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即得到y=2sin

错误!的图像.

思维升华（l）y=Asin（tox+9）的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z=ox+p

计算五点坐标.

（2）由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin（＜ox+p）图像有两条途径：”先平移后伸

缩”与“先伸缩后平移”.

跟踪训练(1)(2018届安阳林州一中调研)将函数y=sin错误！的图像向右平移皿加〉0)个单

位长度，所得函数图像关于y轴对称，则m的最小值为()

A。错误!B。错误！

Co错误!D.错误！

答案A

解析平移后的函数解析式为丫二4门错误！，

又图像关于y轴对称，则sin错误！=±1,

.,•错误！-2，"=也+错误！，AGZ,.•.，〃=一错误！一错误！，&WZ,

又"?>0,的最小值为错误！.

(2)把函数y=sinx的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得

函数图像向左平移错误!个单位长度，得到的函数图像的解析式是.

答案y=cos2x

解析由y=$出x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的

解析式为y=sin2%,再向左平移错误!个单位长度得y=sin2错误！，即y=cos2x.

题型二由图像确定y=Asin(«zr+0)的解析式-------师生共研

典例(1)函数y=Asin(<ox+e)的部分图像如图所示，贝！!)，=.

答案2sin错误！

解析由题图可知,A=2,T=2错误！=兀,所以。=2,由五点作图法可知2X错误!+夕=错误！，

所以9=—错误！，所以函数的解析式为y=2sin错误!.

(2)已知函数/(x)=sin(s+")错误!的部分图像如图所示，则丫=滞误!取得最小值时

尤的集合为.

答案错误！

解析根据所给图像，周期T=4X错误!=n，故n=错误！，，“=2,因此=sin(2欠+夕),

另外图像经过点错误!,代入有2X错误！+9=兀+2也(止2),再由I〈错误！，得9=一错误！,

=sin错误!,滞误！=sin错误！，当2x+错误!=一错误!+2E(FZ),即x=一错误!

+E(kdZ)时，y=储误!取得最小值.

思维升华)=Asin(tox+9)中(p的确定方法

(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)

或把图像的最高点或最低点代入.

(2)五点法：确定。值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

跟踪训练(2018•山东重点中学模拟)已知函数/(x)=Asin(3x+p)错误!的图像的一部分如

图所示，则./U)图像的对称轴方程是.

答案x=错误！+错误!(Z6Z)

解析由图像知A=2,

又l=2sin(toXO+p),即sin夕=错误！，

又|01〈错误！，，9=错误!.

又错误！X(w+错误！=2兀，.'.。二？，

.../(x)=2sin错误！,

TT

令2x+5=错误!+E(AWZ),

解得x=错误！+错误!/eZ),

•Mx)=2sin错误！的对称轴方程为

x=错误!+错误！(HZ).

多维

题型三三角函数图像性质的应用探究

命题点1三角函数模型

典例如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin错误!+A,据此函数

可知1,这段时间水深(单位：m)的最大值为()

A.5B.6C.8D.10

答案C

解析由题干图得Mnin=&-3=2,则k=5.

,・ymax=2+3—8.

命题点2函数零点（方程根）问题

典例已知关于无的方程2sii?工一小sin2x+/%—1=0在错误!上有两个不同的实数根，则〃?的

取值范围是.

答案（一2,-1）

解析方程2sinZ一错误!sin2x+m-1=0可转化为

m=1-2sin2_r+错误！sin2x=cos2x+错误！sin2x

=2sin错误!错误!.

设2x+错误!=，,则ze错误!，

，题目条件可转化为食=sinr,re错误!有两个不同的实数根.

•』=错误!和y2=sin”c错误!的图像有两个不同交点,如图:

y

7>2=sint

/\2"j一

6力2

由图像观察知，夕的取值范围是错误！，

故机的取值范围是（—2,—1）.

引申探究

本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则，”的取值范围是.

答案［—2,1）

解析由上例题知，错误！的取值范围是错误！，

/.—2W/n〈1,

.•.〃］的取值范围是［-2,1）.

命题点3三角函数图像性质的综合

典例（2017•潍坊模拟）已知函数人x）=错误!sin错误！（勿〉0）的图像与x轴相邻两个交点

的距离为错误！。

（1）求函数/（x）的解析式；

（2）若将火x）的图像向左平移加（加>0）个单位长度得到函数g（x）的图像恰好经过点错误!，

求当，"取得最小值时,g（x）在错误!上的递增区间.

解（1）函数孔0的图像与x轴相邻两个交点的距离为多得函数/（X）的最小正周期为T=2xj

2兀省_

一五?仔“一1，

故函数f（x）的解析式为外）=错误!sin错误！。

(2)将«r)的图像向左平移〃z(〃?>0)个单位长度得到函数g(x)=45sin错误！=错误!sin错误!

的图像，根据g(x)的图像恰好经过点错误！，

可得错误!sin错误！=0,即sin错误！=0,

所以2相一错误！=far(%ez),根=错误！+错误!(/ez),

因为m>0,

所以当k=0时，加取得最小值，且最小值为错误!.

此时，g(x)=错误!sin错误!.

因为xG错误！，所以2x+错误！e错误！。

当2%+啰6错误！，即xe错误！时,g(x)是增加的，

当2r+错误！e错误!，即xG错误！时，g(x)是增加的.

综上，g(x)在区间错误!上的单调递增区间是错误!和错误！。

思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题;二是把实

际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.

(2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.

(3)研究y=Asin(sx+9)的性质时可将sx+夕视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行

解题.

跟踪训练(1)已知角夕的终边经过点P(-4,3),函数於)=sin(s+p)(“〉0)的图像的

相邻两条对称轴之间的距离等于错误！，则/错误!的值为.

答案一错误！

解析由角°的终边经过点P(—4,3),

可得cos9=一错误！，sin9=错误！。

根据函数/(x)=sin(ox+9)(。〉0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于错误!，可得

周期为普=2X错误!，

解得co=2,'.f(x)=sin(2x+p),

缱误！=sin错误！=cos9=一错误！。

(2)若函数/(x)=sin错误!(m0)满足10)=/错误!，且函数在错误!上有且只有一个零点，则

火x)的最小正周期为.

答案兀

解析•••/(())=/错误!，•••x=错误!是/(x)图像的一条对称轴，，蔺误!=借,.•.错误！X。

7T

+&=错误！+"兀，kGZ,

：.a)=6k+29fcez,二人错误!(一£Z).

又/(x)在错误！上有且只有一个零点，

.•.如错误!W错误!一错误!，错误!WTW错误!，

.••错误!W错误!W错误！(&ez)，，一错误！WZW错误！，

义,：kj：.k=O,：.T=ito

-----------------.答题模板.-----------------

三角函数图像与性质的综合问题

典例(12分)已知函数f(x)=2错误!sin错误！-cos错误！一sin(x+兀).

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将/U)的图像向右平移错误!个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间［0,

TI］上的最大值和最小值.

思维点拨(1)先将/(X)化成了=羔［11(cwx+p)的形式再求周期；

7T

⑵将凡r)解析式中的x换成x一2，得g(x),然后利用整体思想求最值.

规范解答

解=2小sin错误!cos错误！

—sin(x+©=错误!cosx+sinx［3分］

=2sin错误！，［5分］

于是T=错误！=2兀［6分］

(2)由已知得g(x)=福误！=2sin错误!,［8分］

VxG［0,n］,，x+错误!w错误!,

...sin错误！w错误！，［10分］

，g(x)=2sin错误！wL-1,2］.口1分］

故函数g(x)在区间［0,用上的最大值为2,最小值为一1。［12分］

答题模板

解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤：

第一步：(化简)将/Ct)化为asinx+Z>cosx的形式；

第二步：(用辅助角公式)构造人x)=错误!•错误!；

第三步：(求性质)利用/(x)=错误!sin(x+夕)研究三角函数的性质；

第四步：(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

课时作业

牙基础保分练

1.（2017・全国I）已知曲线G：y=cosx,C2：y=sin错误！，则下面结论正确的是（）

A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移错误!个

单位长度，得到曲线C2

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移错误!个

单位长度，得到曲线C2

C.把Cl上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移错误!个单

位长度，得到曲线C2

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移错误!

个单位长度，得到曲线C2

答案D

解析因为y=sin错误！=cos错误！=

cos错误！，所以曲线C°=cosx上各点的横坐标缩短到原来的错误!倍，纵坐标不变，得到曲线

y=cos2x,再把得到的曲线＞=8$2x向左平移合个单位长度，得到曲线y=cos2错误！=cos

错误!.故选D。

2.（2018•洛阳统考）若将函数/U）=sin2x+cos2x的图像向右平移夕个单位长度，所得图

像关于y轴对称，则9的最小正值是（）

A.错误！Bo错误！Co错误！D.错误！

答案C

解析y（x）=sin2x+cos2x=错误!cos错误！，将函数/（x）的图像向右平移夕个单位长度后

所得图像对应的函数为丫=错误!cos错误！，且该函数为偶函数，

故20+错误！=E（&GZ）,所以＜p的最小正值为错误!.

3.（2017・衡水中学模拟）若函数y=sin（ox—。）错误!在区间错误!上的图像如图所示，则°,

V的值分别是（）

A.co=2,9=错误!B.cv=2,夕=一错误！

C.错误!,夕=错误!D.。=错误！，p=一错误!

答案A

解析由题图可知,7=2错误！=兀，

所以错误！=2,

又sin错误！=0,

所以错误！一°=E（keZ）,

即夕=错误！-hr(ZGZ),

而|"|<错误！，所以9=错误！，故选A。

4.函数/(无)=tanwxC^O)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为错误！，则/错误！

的值是()

A.一错误！B.错误！C.1D。错误！

答案D

解析由已知得7=错误！，，。二？....僧误！=tan错误!=错误！。

5.(2017•昆明市两区七校模拟)将函数/(x)=错误!sinx-cosx的图像沿着x轴向右平移

«(«>0)个单位长度，所得函数图像关于y轴对称，则a的最小值是()

A.错误！B。错误！Co错误！D。错误！

答案B

解析依题意得«r)=2sin错误！，

因为函数Kx-a)=2sin错误！的图像关于y轴对称，

所以sin错误！=±1,a+错误！=E+错误！，

即。=也+错误！，

因此正数a的最小值是错误！，故选B。

6.函数/(X)=sin(Zr+0)错误!的图像向左平移错误!个单位长度后所得函数图像的解析式

是奇函数，则函数/U)在错误!上的最小值为()

A.一错误！B.一错误！C.错误！D。错误！

答案A

解析由函数/(x)的图像向左平移错误!个单位长度，

得g(x)=sin错误！的图像，

因为是奇函数，所以"+错误！=E,ZGZ,

又因为I夕I〈会所以9=一错误!，

所以/(x)=sin错误！。

又错误！，所以合一错误！e错误！，

所以当x=0时，式x)取得最小值一错误！。

7.已知简谐运动_/U)=2sin错误!错误!的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期7

和初相(P分别为.

答案6,错误！

解析由题意知l=2sine,得sin°=错误!，又|夕|〈错误！，

得夕=错误！。而此函数的最小正周期7=错误！=6.

8.(2017•河南洛阳统考)函数,/U)=2sin3x+p)错误!的部分图像如图所示，已知图像经过

点A(0,1),8错误!,则於)=.

答案2sin错误!

解析由已知得亨=错误！，；.7=错误！,

又T=错误！，••・co=3.

\"f(0)=1,/.sin0=£,

又：。〈“〈错误！，，9=错误！，

•\/(x)=2sin错误！(经检验满足题意).

9.已知函数/(x)=3sin错误!(<»>0)和g(x)=3cos(2x+。)的图像完全相同,若x已错误！,

则f(x)的值域是.

答案错误！

解析fix')=3sin错误！

=3cos错误！

=3cos错误!，

所以。=2,则f(x)=3sin错误！，

Vxe错误!,一错误！W2x一错误！W错误！，

；.一错误！q(x)W3.

10.(2018・长春调研)已知函数/(x)—sincox+cos(ox(co>0),x^R.若函数在区间(一“,(«)

上是增加的，且函数y=/(x)的图像关于直线x=0对称，则3的值为.

答案错误！

解析f(x)=sincox+coscox=错误!sin错误！，

因为凡r)在区间(一上是增加的,且函数图像关于直线x=co对称，所以/(3)必为一个

周期上的最大值，

所以有3g+错误！=2航+错误!，kez,所以小=错误!+2E,%€工又。一(一(0)<错误!，

即小w错误!，即苏=错误!,

所以。=错误!.

11.已知函数y=4sin(5+°)错误!的图像过点P错误!，图像上与点P最近的一个最高点是

。错误！。

(1)求函数的解析式；

(2)求函数兀v)的递增区间.

解(1)依题意得A=5,周期7=4错误！=冗，

・"=错误!=2。

故y=5sin(2x+e),又图像过点尸错误！,

.,.5sin错误！=0,

由已知可得错误！+°=E,kGZ,

・.・|91＜错误！，.・・9=一错误！，，y=5sin错误!.

(2)由一错误！+2攵兀＜2/一错误！W错误！+2E#£Z,

得一错误！+EWxW错误！+E,k£Z,

故函数/(x)的递增区间为错误!/£Z).

12.(2017・合肥质检)已知函数於)=4cos①x・sin错误！+〃(30)图像上最高点的纵坐标为

2,且图像上相邻两个最高点的距离为兀。

⑴求。和①的值；

(2)求函数/(无)在［0,兀］上的递减区间.

解(1)危)=4cos①sin错误！+a

=4cos5•错误！+a

=25sin6＞xcoscox+lco^cox-1+1+a

=错误!sin2cox+cos2cox+1+a

=2sin错误!+1+a.

当sin错误！=1时，

f(x)取得最大值2+I+〃=3+a.

又f(幻最高点的纵坐标为2,・・・3+〃=2,即〃=-1.

又兀O图像上相邻两个最高点的距离为兀，

・•&;)的最小正周期为7=兀，

._2n_

••2G=7=2,co~~~1.

(2)VxG［0,兀］,；.2x+错误！G错误！。

当2x+错误！G错误！，

即x©错误!时，式x)是减少的，

：.f(x)在［0,兀］上的递减区间为错误!.

g技能提升练

13.将函数兀v)=sin(2x+〃)