2024-2025学年河北省张家界、保定市等部分高中高二上学期开学考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省张家界、保定市等部分高中高二上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={1,2,3,4}，B={x|x+2∈A}，则A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3}2.已知函数f(x)=x2−5x+4，则“x≥4”是“f(x)≥0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若f(x)=(x−2a)⋅ex−eA.12 B.−12 C.14.若{a,bA.a，b，a+2b B.a，a+b，a+c

C.a，a−c，5.已知平面α的一个法向量为n=(2,2,−1)，点M在α外，点N在α内，且MN=(−1,4,−3)，则点M到平面α的距离d=A.1 B.2 C.3 D.46.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为A.93 B.92 C.91.5 D.93.57.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为A.15 B.25 C.358.已知正数a，b满足a+2b=2，则a2+4bA.10 B.12 C.14 D.16二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z=12+A.z的虚部是−32i

B.z+z=|z|

C.z2+10.将函数f(x)=2sinx+π6图象所有点的横坐标缩短为原来的12A.fx+π3为偶函数

B.g(x)的最小正周期为4π

C.f(x)与g(x)在π3,2π3上均单调递减

D.11.已知厚度不计的容器是由半径为2 m，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有(

)A.棱长为1.1 m的正方体 B.底面半径和高均为1.9 m的圆锥

C.棱长均为2 m的四面体 D.半径为0.75 m的球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin2105°−13.在所有棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是A1B1的中点，AF=214.在△ABC中，点D在BC边上，BC=2，∠BAD=∠CAD，AB·AC=AD·AB+AC·AD，则△ABC的外接圆的半径为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人．(1)求频率分布直方图中a和b的值；(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)．16.(本小题12分)小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为45，小王每轮猜对的概率为5(1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；(2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率．17.(本小题12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且cosA(1)求A；(2)若D为线段BC上一点，且DC=2BD，AD=2，求△ABC面积的最大值．18.(本小题12分)在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，点E，F，G分别在棱BB1，CC1，DD(1)若AE=AG，记平面AEFG与底面ABCD的交线为l，证明：BD // l．(2)若α+β=π4，记四边形AEFG的面积为S，求S19.(本小题12分)给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2，…，Pn，如果对于D上任意的点P，i=1n|PPi|2为与P无关的定值，我们就称(1)已知P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)，△P1P2P(2)若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，(3)若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2…P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2，…，参考答案1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.AC

12.1+13.714.215.解：(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50,60)内的频率为10100=0.1，

则a=0.110=0.01，

由各组频率之和为1，可知(0.005+0.01+b+0.025×2+0.005)×10=1，解得b=0.03．

(2)前3组的频率之和为(0.005+0.01+0.03)×10=0.45<0.5，

前4组的频率之和为0.45+0.025×10=0.7>0.5，

所以样本数据的中位数在第4组，设为x，

所以0.45+(x−70)×0.025=0.5，解得x=72，

估计样本数据的中位数是72分钟．

估计平均数是16.解：(1)设A1表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则P(A1)=45×15+15×45=825．

(2)设A1，A2分别表示小明两轮猜对1句、2句诗词的事件，B1，B2分别表示小王两轮猜对1句、2句诗词的事件，则P(A1)=825，P(A2)=(45)2=17.解：(1)由题知cosAa=3cosB2c−3b，

由正弦定理得cosAsinA=3cosB2sinC−3sinB，

则2sinCcosA−3sinBcosA=3sinAcos18.(1)证明：连接EG，因为AE=AG，AB=AD，∠ABE=∠ADG=90∘，

所以△ABE≌△ADG，则BE=DG．

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，易知BE//DG，

所以四边形BDGE是平行四边形，从而BD//GE．

又BD⊄平面AEFG，所以BD//平面AEFG．

又BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEFG=l，所以BD//l.

(2)解：易证四边形AEFG为平行四边形，

以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，E(1,0,tanα)，G(0,1,tanβ)，

则AE=(1,0,tanα)，AG=(0,1,tanβ)，

cos∠EAG=AE⋅AG|AE||AG|=tanαtanβ(1+tan2α)(1+tan2β)，

S=|AE||AG|sin∠EAG=(1+tan2α)(1+tan2β)×19.解：(1)点P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点，