第八章立体几何初步章末复习课课件高一下学期数学人教A版

第八章

立体几何初步章末复习课ABCDyxOy′x′O′D′C′B′A′用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤x不变，y折半(1)已知等边三角形的边长为4，则用斜二测画法画出的水平放置的直观图

的面积为______.(2)一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方

形，则这个平面图形的面积为______.正六棱柱的直观图.x＇y＇O＇z＇B＇C＇D＇E＇F＇A＇BCDEFAH＇G＇bx'y'O'z'ABCDES正五棱锥的直观图

构成立体图形的基本元素：____________________点、线、面点线面点无大小线无粗细无限延申面无厚薄无限延展记为：A，B，C，D…AB直线AB直线a①水平放置：②竖直放置：ABCDαβ平面α、平面β平面ABCD、平面AC.基本事实1：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．基本事实2：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．符号表示：

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l．推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论一：

经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面．αaAαbaPαba基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2、空间中直线与平面的位置图形语言公共点个数符号语言文字语言

无数个有且只有一个无公共点直线a在平面α

内直线a与平面α相交于点A直线a与平面α平行直线在平面外

异面直线相交平行异面1.空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.异面直线所成的角

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

θ异面直线a,b所成角与点O位置无关.两条异面直线所成角θ的取值范围是：

空间两条直线所成角θ的取值范围是：

．

0°≤

θ≤90°O•αbaa′0°<θ≤90°.直线与平面所成的角

平面的垂线垂足平面的斜线斜足斜线在平面上的射影②线面相交①线面平行或线在面内线面角为00线面角为900斜线与平面所成角θ的范围是：

直线与平面成角θ的范围是：

．

0°≤

θ≤90°0°<θ≤90°.两平面平行两平面相交3.空间中平面与平面的位置关系平面与平面垂直：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.几何体的表面积与体积一1．柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式空间中的平行关系二面面平行线线平行(1)基本事实4a∥b，b∥c，

a∥c.(2)平面几何法

三角形与梯形中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等.(3)定义法

两条直线在同一平面内且没有公共点.空间中的平行关系bα线面平行O

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.1.

线面平行的判定定理abb

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.2.

线面平行的性质定理线面平行aAD1DCBA1B1C1EFG练习

已知:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CC1、AA1的中点，求证:直线D1F//平面BDE

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.1.

线面平行的判定定理abb

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.2.

线面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.l∥a,l

b,b∩a=m⇒

l∥m.al线面平行的性质amb1.文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。2.符号语言：abP证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.

线面平行

面面平行平面与平面平行的判定1.文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

2.符号语言：图形语言：简述为：面面平行线线平行平面与平面平行的性质三空间中的垂直关系面面垂直线线垂直空间中的垂直关系线面垂直O•αbaa′记作：

如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线l和平面α垂直.直线与平面垂直的定义ABCB′C′α直线和平面垂直的判定定理

一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.线不在多，相交则灵性质1：若a⊥α，m⊂α，性质2：若a⊥α，b⊥α，直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.性质3：若α//β，l⊥α，αβ直线与平面垂直的性质则a⊥m.则a//b.(性质定理)则l⊥β.2.线面距离1.点面距离3.面面距离αα

β

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.平面与平面垂直的概念

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

图形语言：符号语言：线面垂直

面面垂直平面与平面垂直的判定定理：

3.如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么解：平面ABC⊥平面BCD，

平面ABD⊥平面BCD

平面ABC⊥平面ACD理由如下：

练习－－－－－－－

－－－教材158页两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．ba

平面与平面垂直的性质定理图形表示：符号表示：面面垂直

线面垂直四方法小结空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、线面相交、平行三种．(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.六典型例题讲解例1在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的表面积和体积.根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体；该组合体的表面积为组合体的体积为跟踪训练1

如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为√如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，例2

已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.∵NQ是△PCD的中位线，∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD.∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)MN∥PE.∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.跟踪训练2

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.例3

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)平面BEF⊥平面PCD.因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3

如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)求证：AD⊥AE.因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF，又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.例4

如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.即