江苏省宿迁市沭阳县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2022~2023学年度第一学期期中九年级数学（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；故选：．2.下列说法正确的是（）A.相等的圆周角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.平分弦的直径一定垂直于弦D.任意三角形一定有一个外接圆答案：D解析：解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意；B、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故B不符合题意；C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意；D、任意三角形一定有一个外接圆，故D符合题意；故选D．3.已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的极差是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：这组数据的极差是，故选：C．4.如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：，由圆周角定理得：，故选：B．5.一元二次方程配方后可变形为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：变形为：，配方得：，即；故选：C．6.新能汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：解：设年平均增长率为，可列方程为：故选：A7.如图，P是⊙O外任意一点，PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，OP与⊙O相交于点M．则点M是△PAB的（）A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三个角的角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点答案：C解析：解：∵PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB，∴AB⊥OP，连接OA，AM，则∠OAP＝90°，∴∠PAM+∠OAM＝∠BAM+∠AMO＝90°，∵OA＝OM，∴∠OAM＝∠AMO，∴∠PAM＝∠BAM，则点M是△PAB的三个角的角平分线的交点，故选C．8.如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵，∴点Q在以为直径的上运动，运动路径为，连接，∵，∴，∴，∴的长为，故选B．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题纸相应位置上）9.一元二次方程x2＝5x的解为______．答案：，解析：x2＝5x移项，得分解因式，得：∴，故答案为：，．10.甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是，则_______运动员的成绩比较稳定．答案：甲解析：∵，∴．∴甲的成绩比较稳定11.如图，AB是直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°答案：62解析：解：连接，∵AB是的直径，∴，，，故答案为：6212.已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为___________．答案：12解析：解：∵圆锥的底面半径是4，∴圆锥的底面圆周长为，∴侧面展开后所得的扇形的弧长是，∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为∴侧面展开后所得的扇形的半径为：∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，∴圆锥的母线长度为12，故答案为：12．13.如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_____度．答案：144解析：解：五边形ABCDE是正五边形，．AB、DE与相切，，，故答案为144．14.过内一点P的最长弦长为，最短弦长为，则的长为______．答案：解析：解：如图，直径经过点，过作交于、，连接，，，，，；故答案：．15.小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________．答案：6或6.5解析：解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为：12；因此这个直角三角形的外接圆半径为6，②当两条直角边长为5和12，则直角三角形的斜边长为：；因此这个直角三角形的外接圆半径为6.5综上所述：这个外接圆的半径为6或6.5故答案为：6或6.516.已知，则的值为___________．答案：2解析：解：或或∵∴．故答案为2．17.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__．答案：解析：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∴由勾股定理，得BC=8；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6，解得OE=，∴⊙O的半径是．18.如图，在矩形中，，，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为___________．答案：14.5解析：当P点移动到过点P的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图，∵过点P的直线是的切线，∴垂直于切线，延长交于M，则，∵在矩形中，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴的最大面积，故答案为：．三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）19.解方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），小问1解析：解：∴或解得：，小问2解析：解：∴，20.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．答案：（1）k≤；（2）k=﹣1．解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．21.如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．（1）建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：①圆心的坐标：（_______，_______）；②的半径为_______．（2）将绕点逆时针旋转得到，画出图形，并求线段扫过的图形的面积．答案：（1）图见解析；①，；②（2）图见解析；线段扫过的图形的面积为小问1解析：解：如图所示，点即为所求，①圆心的坐标：，②的半径为：；故答案为：①，；②小问2解析：解：如图即为所求图形，∵由勾股定理得：，，∵将绕点逆时针旋转得到，∴的面积等于的面积，∴线段扫过的图形的面积．22.某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：（1）求样本容量；（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上学生人数．答案：（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为720人．解析：解：（1）样本容量为6÷12%=50；（2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，则这组数据的平均数为=14（岁），中位数为=14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×=720人．23.如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．答案：（1）证明见解析；（2）小问1解析：证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴．小问2解析：解：连接，如图，由（1）得，∵，∴，∴的长．24.如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．答案：（1）相切，理由见解析；（2）解析：解：（1）过点B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与圆B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF==2，∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE==．25.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？答案：（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．解析：解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；∴，解得：，∴与之间的函数关系式为；（2）由题意得：，整理得：，解得：．，∵让顾客得到更大的实惠，∴.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．26.如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．答案：（1）2米；（2）0.4米解析：解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．27.如图1，在矩形中，，，点以/的速度从点向点运动，点以/的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．（1）当时，的半径是___________，与直线的位置关系是___________；（2）在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是___________；②当与直线相切时，求的值．（3）连接，交于点，如图2，当时，求的值．答案：（1），相离（2）①，②（3）小问1解析：解：如图，过点作于，交于，∵四边形是矩形，∴，，∴的直径是，，当时，，，∵，，∴，，∴，∴的半径为，∵，是的中点，∴，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴与直线的位置关系是相离；故答案为：；相离小问2解析：解：①如图，∵、运动的速度与、的比相等，∴圆心在对角线上，由图可知，和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，∴，由勾股定理，可得：，∴，∴圆心的运动路径长是；故答案为：②如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，则，，∴，∴，在中，，∵，∴，解得：，∴的值为；小问3解析：解：如图，过作，交的延长线于点，连接，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：（舍去），，∴．28.问题提出：（1）如图，是的弦，点C是上的一点，在直线上方找一点D，使得，画出，画图的依据是___________；问题探究（2）如图，是的弦，直线l与相切于点M，点是直线l上异于点M的任意一点，请在图中画出图形，试判断，的大小关系；并说明理由；问题解决：（3）沭阳某小区游乐园的平面图如图3所示