苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.15正多边形与圆(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题2.15正多边形与圆（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

【要点提示】

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

【知识点二】正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系；(5)正ｎ边形周长；(6)正ｎ边形面积；【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

【知识点三】正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.【知识点四】正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】正多边形与圆的有关计算；【例1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

(1)求的度数；(2)若的半径为8，求正方形的边长．【变式1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）边长为3的正六边形的边心距为【题型2】正多边形与圆的有关的证明；【例2】（2023·上海静安·二模）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．(1)求证：；(2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，是正八边形的外接圆，则下列结论：①；②的度数为；③．其中所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是(填序号)．【题型3】正多边形的实际应用；【例3】（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．

(1)________°(2)若，的半径为10，小圆的半径都为1：①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；②当圆心H到l的距离等于时，求的长；③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值．【变式1】（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为．

【题型4】与正多边形与圆有关作图；【例4】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点．(1)求证：是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．【变式1】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（

）A．12 B．16 C．18 D．20【变式2】（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为．【题型5】正多边形与圆有关综合.【例5】（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于．(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；(2)已知的面积为，求的面积．【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（

）

A．1 B．2 C． D．【变式2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（

）A．2 B． C．1 D．【例2】（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

2、拓展延伸【例1】（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．(1)求的度数；(2)求线段的长；(3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．【例2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为；(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16①求的值；②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．专题2.15正多边形与圆（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

【要点提示】

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

【知识点二】正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系；(5)正ｎ边形周长；(6)正ｎ边形面积；【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

【知识点三】正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.【知识点四】正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】正多边形与圆的有关计算；【例1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

(1)求的度数；(2)若的半径为8，求正方形的边长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：（1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可；（2）勾股定理求出的长即可．解：（1）连接，

由题意得：，∴；（2）由（1）知：，又∵，∴，即正方形的边长为：．【变式1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．解：连接、、，五边形是的内接正五边形，，，，，在和中，，，，，，，，，．故选：．【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）边长为3的正六边形的边心距为【答案】【分析】此题考查了正多边形和圆，在正六边形中，连接，作于点M，证明是等边三角形，则，由得到，利用勾股定理即可求出答案．解：在正六边形中，连接，作于点M，∵正六边形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：即边长为3的正六边形的边心距为，故答案为：【题型2】正多边形与圆的有关的证明；【例2】（2023·上海静安·二模）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．(1)求证：；(2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则，根据“全等三角形的对应边相等”得到（2）连接，并延长PO交AD于点M，先证明，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得到为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到，则，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到．解：（1）四边形是矩形，且点是边的中点，在和中，，∴；（2）证明：如图，连接，并延长交于点，四边形是矩形，∴∵，，∴点、都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，，是以点为中心的正六边形的一边，由正六边形性质可得∶，∵，是等边三角形，又，，．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，是正八边形的外接圆，则下列结论：①；②的度数为；③．其中所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D解：连接，，求出正八边形的中心角，得到，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得，可得①正确；由于，可得，于是得到③正确．解：连接，，如图所示：

∵，∴，∴的度数为，故②正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故①正确；∵，∴，∵，∴，故③正确；综上分析可知，正确的是①②③．故选：D．【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是(填序号)．【答案】①②③【分析】①分别求出∠BCD和∠ADC的度数，得到∠BCD+∠ADC=180°，判断出BC∥AD；②计算出∠BAE的度数和∠CAD的度数，判断出∠BAE=3∠CAD；③根据AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出△BAC≌△EAD；④根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．解：①在正五边形ABCDE中，，故本选项正确；②∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；③在△BAC和△EAD中,，，故本选项正确；④∵AB+BC>AC，，∴2CD>AC，故本选项错误；故答案为①②③．【点拨】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．【题型3】正多边形的实际应用；【例3】（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．

(1)________°(2)若，的半径为10，小圆的半径都为1：①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；②当圆心H到l的距离等于时，求的长；③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值．【答案】(1)60(2)①25；②；③的长为定值，定值为10．【分析】（1）将平均分6份即可；（2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解；②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可；③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得．解：（1）解：，故答案为：60；（2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，最大距离为，故答案为：25；②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，

∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，∴K，H，T在同一直线上，∵圆心H到l的距离等于，∴，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴；③证明：如图所示，连接，，

由（1）知，又∵，∴是等边三角形，∴，∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴的长为定值．【点拨】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．【变式1】（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接交与点，则．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解．解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接交与点，则．正六边形的边长为4，，，，，，，，，．，，是等边三角形，，又轴，轴，．故选∶D．【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为．

【答案】【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正六边形的性质．注意解此题的关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．根据题意和正六边形的性质得出是等边三角形，再根据正六边形的边长得出，同理可证出，再根据，求出，从而得出扩建后菱形区域的周长．解：如解图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，

∴，，∴，∴是等边三角形，∴，同理可证：，∴，∴扩建后菱形区域的周长为．故答案为：24．【题型4】与正多边形与圆有关作图；【例4】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点．(1)求证：是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键．（1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边；（2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长．解：（1）证明：连接，如图．∵，∴是等边三角形，，∴是正六边形的一边；（2）解：如图所示，用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形．【变式1】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（

）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】先求解正五边形的每一个内角为108度，再求解，证明，可得，同理可得，从而可得答案．解：∵边长为4的正五边形，∴，，∴，∴，由作图可得：，∴，∴，∴，同理：，∴四边形的周长为；故选B【点拨】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，正五边形的性质，掌握正多边形的性质是解本题的关键．【变式2】（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为．【答案】．【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．解：连接OD,OC,OE,∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠COD=∠DOE==45°,∴∠COE=45°+45°=90°,∴∠CPE=∠COE=45°.故答案为：45°．【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．【题型5】正多边形与圆有关综合.【例5】（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于．(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；(2)已知的面积为，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；（）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积．解：（1）如图所示，在取一点，连接，∵六边形是正六边形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴是等边三角形，∴；∴，，∴，∴，即的半径为．面积为：【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．解：如图，连接，，作于G，

∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即它的内切圆半径为，故选：D．【变式2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为．【答案】【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系．连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得．解：连接、，∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴是等边三角形，∴．故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．解：∵是正六边形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，故选：C．【例2】（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角