1.2.2空间中的平面与空间向量课件高二上学期数学人教B版选择性

空间中的平面与空间向量学习目标

1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.(数学抽象、数学运算)2.会用直线的方向向量和平面的法向量解决线面、面面的平行与垂直的有关问题.(逻辑推理、直观想象)3.理解三垂线定理及其逆定理,并会用其解决线面、线线的垂直问题.(逻辑推理、直观想象)教材认知·内化必备知识一、平面的法向量1.平面的法向量(1)定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个______向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α______,则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直,记作______.非零垂直n⊥α(2)性质:如果A,B是平面α上的任意不同两点,n为平面α的一个法向量,则:1若直线_____,则l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量2对任意实数λ≠0,λn也是平面α的一个法向量3向量

一定与向量n______,即

·n=0l⊥α垂直2.空间线面的位置关系与空间向量若v是直线l的一个方向向量,n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,则:1______

⇒l⊥α12n1⊥v⇒l∥α1,或_____3n1⊥n2⇒_______4n1∥n2⇒α1∥α2,或α1与α2______n1∥vl⊂α1α1⊥α2重合点睛

(1)平面的一个法向量垂直于该平面的所有向量,一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.(2)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量,因为零向量的方向是任意的,无法用其来描述空间直线与平面的位置.思考

求平面法向量的坐标时,为什么只构建两个方程求解?提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面内的任意一条直线,因此,法向量的坐标只要满足两个方程就可以了.注意:平面的法向量有无数个,求解时,只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可.二、三垂线定理及其逆定理射影已知空间中的平面α以及点A,过A作α的______l,设l与α相交于点A',则A'就是点A在平面α内的射影,也称为投影三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的______垂直,则它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的______垂直垂线射影射影点睛

(1)三垂线定理及其逆定理中,“平面内”这个条件不可省略,否则不一定成立.(2)三垂线定理及其逆定理通常用于判定空间直线互相垂直,在引用时要清楚:一是从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”,其逆定理的条件是“和斜线垂直”;二是从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题,逆定理正好相反.【质疑辨析】(1)已知直线l垂直于平面α,向量a平行直线l,则a是平面α的法向量.(

)提示:向量a必须为非零向量.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行. (

)提示:此时直线可能与平面平行,也可能在平面内.(3)一个平面的法向量垂直于与该平面共面的所有向量. (

)××√合作探究·形成关键能力线面平行(1)求出直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,只需证明a⊥u,即a·u=0.(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行.(2)求出平面α,β的法向量u,v,证明u∥v