专题13 直角三角形中30°性质应用的4种压轴题型全攻略（原卷版）

专题13直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用30的性质求线段的长度的计算】 1【考点二用30的性质求等边三角形的计算】 2【考点三用30的性质求图形运动相关计算】 2【考点四30的性质应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一用30的性质求线段的长度的计算】【例题1】如图，，，则（）

A．2 B．1.5 C． D．1【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（

）A．15 B．20 C．9 D．12【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【考点二用30的性质求等边三角形的计算】【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（

）

A． B． C． D．【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（

）

A． B． C． D．【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4【考点三用30的性质求图形运动相关计算】【例题3】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点D，则的面积为（

）

A． B． C．5 D．【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（

）

A．3 B．1 C．2 D．【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【考点四30的性质应用的拓展提高】【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（

）

A． B． C． D．【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________

【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当

且时，若，则的面积为_________．【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（

）．

A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．如图，已知平分，于点E，，，，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（

）

A．8 B．6 C．4 D．103．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(

)

A．1 B． C．2 D．二、填空题4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则______．

5．如图，中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为________．6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则_________．

7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则________．8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为_________．

9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是________．10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，_________．

11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是_________．

12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为__________.

13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的长为________.14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为_________．

三、解答题15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)求的长．16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．

(1)若，试判断的形状，并说明理由；(2)若是直角