全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷5（共277题）

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷5（共9套）（共277题）全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第1套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若n阶方阵A可逆，且伴随矩阵A*也可逆，则A*的逆矩阵为()A、AB、｜A｜2C、D、标准答案：C知识点解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A.A’=A’.A=｜A｜.I，所以所以答案为C.2、设A是n阶方阵，已知A2一2A—2I=O，则(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、标准答案：A知识点解析：把已知关系式A2—2A—2I=O写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案为A。3、设A为m×n矩阵，若任何n维列向量都是方程组Ax＝0解，则A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、0D、A＝0标准答案：D知识点解析：设ej是单位矩阵E的第j列，则有题知Aej＝0，即AE＝0，故A＝0．4、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵(m≠n)，则下列运算结果是n阶方阵的是()A、A.BB、AT.BTC、B.ATD、(A+B)T标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知AT.BT是n阶方阵．答案为B.5、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*｜A｜nC、A*A=｜A｜ID、A*A=｜A｜nI标准答案：C知识点解析：A．A*=｜A｜I．答案为C。6、二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同标准答案：A知识点解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩阵A与B一定合同．只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B既相似又合同．答案为A.7、方程组的一组基础解系由_________个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B。8、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0标准答案：D知识点解析：若AB=AC，则A(B—C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C．答案为D。9、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()A、方程个数m＜nB、方程个数m＞nC、方程个数m=nD、秩(A)＜n标准答案：D知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。10、的充要条件为()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1标准答案：C知识点解析：答案为C11、以下各线性方程组中，解空间的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程组是()A、B、C、x1—x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0标准答案：C知识点解析：因5—r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能为C或D．因一眼就能看出，A、B中两方程的系数都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代入验证：因α1满足C，不满足D，故选C．答案为C。12、设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2＝E，则必有A、A的特征值均为1B、A的秩等于nC、A的逆矩阵等于ED、A的行列式等于1标准答案：B知识点解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．13、设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关B、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关D、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：由于β2不可由α1．α2，α3线性表示，说明α1，α2，α3．β2线性无关．设k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3线性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,显然k1=k2=k3=k4=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．14、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非上三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B15、设行列式=0，则k的值为()A、一3或2B、2C、0D、一2或3标准答案：D知识点解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．16、设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：∵A是2阶可逆矩阵∴A的秩为2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知D答案中矩阵秩为2，所以选D。答案为D。17、设m×n矩阵A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ标准答案：D知识点解析：基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有D中三个向量线性无关，答案为D18、设则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3标准答案：D知识点解析：A的主对角线元素1对应x22系数；a13=1，a31=1，之和对应系数2．答案为D.19、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()A、r(A-E)=0B、r(A+E)=0C、r(A)=nD、r(A)＜n标准答案：C知识点解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．20、下列命题正确的是()A、Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解B、Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解C、Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解D、Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解标准答案：B知识点解析：齐次方程Ax=0一定有解，而非齐次方程Ax=b不一定有解，因此C和D都不一定成立．Ax=b有无穷多解，Ax=0有非零解，故选B.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、若A＝，则A－1＝______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：22、设矩阵A＝，已知0是A的一个特征值，求a＝______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由0是A的一个特征值，则｜A｜＝0，即－(a－1)2＝0，得a＝1．23、设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换下化为标准型y12+2y22，则A的最小特征值为_______．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：二次型在正交变换下的标准型为y12+2y22+0.y32，因此特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=0，最小特征值为0．24、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齐次线性方程组Ax＝b的一个解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其对应齐次线性方程组Ax=0的一个解向量，则对应三元非齐次线性方程组Ax=b有一个非零解向量ξ＝______．FORMTEXT标准答案：(4，4，4)T知识点解析：由非齐次线性方程组解的性质，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．25、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：26、设四阶矩阵A＝，则(AT)－1＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：27、设A为n阶方阵，已知A有一个特征值为－2，则(AT)－1必有一个特征值为_______．FORMTEXT标准答案：-1/2知识点解析：因A有一个特征值为－2，又由A与AT有相同的特征值，则AT有一个特征值为－2，且(AT)－1有一个特征值为－1／2．28、设矩阵，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量个数为________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由此得r(A)=2，所以AX=0的自由未知量有4—2=2个，基础解系中含有2个解向量．29、用初等变换将矩阵化为标准形为____。FORMTEXT标准答案：知识点解析：对A进行初等变换，有30、阶矩阵A的特征值为一1，1，2，则B=E+A*的特征值为_________．FORMTEXT标准答案：3，一1，0知识点解析：设λ为三阶矩阵A的特征值，｜A｜=一1×1×2=一2．A-1的特征值为一1，1，，A*的特征值为2，一2，一1，故得：B的特征值为：3，一1，0．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、是否相似于对角矩阵?若是，则求出其相似标准形．标准答案：属于λ1=λ2=1的特征向量满足：一2x1+x2+2x3=0，即x2=2(x1—x3)．可取两个线性无关的解属于λ3=0的特征向量满足：即x1=x2=x3，可取于是找到可逆矩阵使得P-1AP=说明因为λ=1对应的特征矩阵的秩为1，使得n—r(E3一A)一3—1=2，它与λ=1的重数相同，所以必有两个线性无关的特征向量．所以这个三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，它必相似于对角矩阵．知识点解析：暂无解析32、计算下列矩阵的逆：．标准答案：我们用初等变换法计算：知识点解析：暂无解析33、已知向量组α1=，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩．标准答案：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵A进行初等变换，有r(A)=2，所以向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为2．知识点解析：暂无解析34、设，求矩阵X使得AX=B.标准答案：知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．标准答案：因为ξ1，ξ2，…，ξr，是Ax=0的基础解系．所以ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出，从而η为Ax=0的解，这与η为Ax=b的解矛盾，故η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A，B为n阶方阵，则下列各式一定成立的是()A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、(A+B)2=A2+AB+BA+B2C、(A+B)(A-B)=A-B2D、(A-B)(A+B)=A2一B2标准答案：B知识点解析：矩阵乘法不满足交换律．2、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()A、r(A-E)=0B、r(A+E)=0C、r(A)=nD、r(A)＜n标准答案：C知识点解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．3、下列矩阵中不是初等方阵的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：初等方阵即由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵．4、非齐次线性方程组Ax=β中，A和增广矩阵A的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()A、无法确定方程组是否有解B、方程组无解C、方程组有无穷多组解D、方程组有惟一组解标准答案：C知识点解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解。又因为方程组的未知数个数等于6，而系数阵的秩等于4，因此方程组有无穷多组解．5、下列命题正确的是()A、Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解B、Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解C、Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解D、Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解标准答案：B知识点解析：齐次方程Ax=0一定有解，而非齐次方程Ax=b不一定有解，因此C和D都不一定成立．Ax=b有无穷多解，Ax=0有非零解，故选B.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设3阶方阵A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)为A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，则|A|=________．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．7、已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，一2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，一7，10，则k=_________．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据代数余子性质8+3k一20=0得k=4．8、3阶方阵A的行列式|A|=一3，则|一2A|=_________．FORMTEXT标准答案：24知识点解析：|一2A|=(一2)3.|A|=一8×(-3)=24．9、设A为三阶可逆阵，，则A*=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：10、设2阶实对称矩阵A的两个特征值分别为一2，一3，则矩阵为__________定矩阵，|A|=______，多项式f(x)=x2一1，则|f(A)|=________．FORMTEXT标准答案：负，6，24知识点解析：由于A的两特征值一2，一3均小于0，则A为负定矩阵．|A|=一2×(一3)=6．f(A)的特征值f(一2)=3,f(一3)=8，则|f(A)|=3×8=24．11、设A为3阶方阵，|A|=3，则其行列式|3A|=_________．FORMTEXT标准答案：34知识点解析：|3A|=33.|A|=34．12、齐次线性方程组FORMTEXT标准答案：k(3，一2，1)T，其中k为任意常数知识点解析：原方程．以z为自由变量，基础解系为(3，一2，1)T，则=k(3，一2，1)T，k为常数．13、设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为________．FORMTEXT标准答案：AB=BA知识点解析：A，B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA.14、设，γ=一2α-β，则α+β一3γ=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：15、若矩阵．则二次型xTAx=_________．FORMTEXT标准答案：x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3知识点解析：因为．所以由二次型的定义可知f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算行列式标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知先用初等行变换化为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形．标准答案：A的行最简形和其等价标准形都是知识点解析：暂无解析18、求矩阵的秩和列向量组的极大无关组，并用其表示向量组中其余向量．标准答案：设A=(α1，α2，α3，α4)，(α1，α2，α3，α4)=所以r(A)=3，α1，α2，α3为向量组的一个极大无关组，且α4=α1一α2+α3．知识点解析：暂无解析19、已知向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，14)T，α4=(1，一2，2，0)T，α5=(2，1，5，10)T．求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出．标准答案：(α1，α2，α3，α4，α5)=所以α1,α2，α4是一个极大线性无关组，且α5=2α1+α2+0α4，α3=3α1+α2+0α4．知识点解析：暂无解析20、已知矩阵相似，求x，y．标准答案：由于A，A相似，所以它们的行列式和迹相同，即知识点解析：暂无解析21、设求一个正交矩阵P，使得p-1AP为对角矩阵．标准答案：矩阵的特征多项式为得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．对于特征值λ1=1，求解方程组(E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ2=2，求解方程组(2E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ3=5，求解方程组(5E—A)x=0，得到一个特征向量因为特征值不相等，则ξ1，ξ2，ξ3正交，将ξ1，ξ2，ξ3单位化得令P=(p1,p2，p3)=则有P-1AP=知识点解析：暂无解析22、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+ax32+2x2x3的矩阵A的一个特征值为1，求a的值并写出该二次型的标准形．标准答案：由于二次型f的矩阵A=1是A的特征值，所以|E—A|==2一a=0，a=2．所以f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x2x3则二次型f(x1，x2，x3)的标准形为知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设A，B为n阶方阵，试证明：标准答案：证明：由于两边取行列式得知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第3套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1标准答案：A知识点解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案为A.2、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*｜A｜nC、A*A=｜A｜ID、A*A=｜A｜nI标准答案：C知识点解析：A．A*=｜A｜I．答案为C。3、二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同标准答案：A知识点解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩阵A与B一定合同．只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B既相似又合同．答案为A.4、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对，而(α1，α2，α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C5、行列式()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，,答案为D6、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩阵P，使P－1AP＝B标准答案：B知识点解析：暂无解析7、的根为()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4标准答案：D知识点解析：提示2、3、4列加到第一列．答案为D。8、设n(n≥3)阶矩阵若矩阵A的秩为n一1，则a必为()A、1B、C、一1D、标准答案：B知识点解析：由r(A)=n一1，必｜A｜=0．若a=1，则r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n-1(1一a+na)=(1一a)n-1[1一(1一n)a]因a≠1，故仅当时，｜A｜=0且r(A)=n一1(即｜An-1｜≠0)．答案为B9、若向量组α1＝(1，t+1，0)，α2＝(1，2，0)，α3﹦(0，0，t－1)线性无关，则实数tA、≠0B、≠1C、≠2D、≠3标准答案：B知识点解析：，要使α1，α2，α3线性无关，则r(A)＝3，即t－1≠0，得t≠l，故B项正确．10、的充要条件为()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1标准答案：C知识点解析：答案为C11、设A为m×n矩阵，秩为r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C。12、已知向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量组的秩为A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：由A＝(α1，α2，α3)，则r(A)＝3，故此向量组的秩为3．13、没A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n—1C、5-n—1D、5-n标准答案：C知识点解析：14、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A+BC、A(A+B)-1．BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1．B=B-1．B=I，所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．答案为C。15、设A为二阶可逆矩阵，且(3A)－1＝，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：16、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2标准答案：D知识点解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案为D。17、设矩阵A＝，则A中A、所有三阶子式都为零B、所有二阶子式都不为零C、存在一个三阶子式不为零D、所有二阶子式都为零标准答案：C知识点解析：暂无解析18、若二阶矩阵A相似于矩阵B＝，E为二阶单位矩阵，则与矩阵A－2E相似的矩阵是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因A～B，故A的特征值为1，3，则A一2E的特征值为－1，1．因相似矩阵必有相同的特征值，所以只有B项正确．19、设A，B为n阶方阵，则下列各式一定成立的是()A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、(A+B)2=A2+AB+BA+B2C、(A+B)(A-B)=A-B2D、(A-B)(A+B)=A2一B2标准答案：B知识点解析：矩阵乘法不满足交换律．20、设A，B均为n阶可逆矩阵，则必有()A、A—B可逆B、BA可逆C、AB--BA可逆D、A+B可逆标准答案：B知识点解析：因A，B均为n阶可逆矩阵，故|A|≠0，|B|≠0因此|B||A|=|BA|≠0，所以BA可逆；当A=B时A—B=O，AB一BA=O，当A=一B时A+B=O．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设矩形，则2AB﹦______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：22、若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r，则当________时，方程组有唯一解；当_____时，方程组有无穷多解．FORMTEXT标准答案：r=n，r＜n知识点解析：当r=n时，方程组有唯一解；当r＜n时，方程组有无穷多解．23、已知α1=(1，1，2，2，1)，α2=(0，2，1，5，一1)，α3=(2，0，3，一1，3)，α4=(1，1，0，4，一1)，则秩(α1T，α2T，α3T，α4T)=________．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：24、已知α1＝(－1，1，0)T，α2＝(2，－1，1)T是四元非齐次线性方程组Ax＝b的两个解向量，则对应的齐次线性方程组Ax＝0必有一个非零解向量ξ＝_______．FORMTEXT标准答案：(3，－2，1)T知识点解析：ξ＝α2－α1＝(3，－2，1)T．25、已知矩形方阵AX＝B，其中，则X＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：26、的根为_______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：f(x)=3x+6+12—27+4x+2=7x一7=0,x=1．27、若线性方程组无解，则λ=________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有，当λ一2≠0时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2，因此方程有解；当λ一2=0时，增广矩阵的秩=2，而系数矩阵的秩=1，方程无解，所以λ一2=0，即λ=2．28、二次型f(x1，x2，x3)=(2x1—x2+3x3)2的矩阵为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：f(x1，x2，x3)=(2x1—x2+3x3)2=4x12一4x1x+12x1x3+x22一6x2x3+9x32，由二次型矩阵的定义知，矩阵为．29、设向量组I的秩为r1，向量组Ⅱ的秩为r2，且Ⅰ可由Ⅱ表出，则r1、r2的关系为________．FORMTEXT标准答案：r1≤r2知识点解析：向量组Ⅰ可由Ⅱ表出，故向量组Ⅰ的秩≤向量组Ⅱ的秩，即r1≤r2．30、三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，则B=E+A*的特征值为_______．FORMTEXT标准答案：3，一1，0知识点解析：设λ为三阶矩阵A的特征值，｜A｜=一1×1×2=一2．A-1的特征值为一1，1，，A*的特征值为2，一2，一1，故得：B的特征值为：3，一1，0．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、求R4中由向量组生成的子空间的一个基和维数．标准答案：向量组α1,α2,α3,α4的一个极大无关组就是其生成子空间的一个基，α1,α2,α3,α4的秩就是生成空问的维数．因此α1,α2,α3就是由α1,α2,α3,α4生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为3．知识点解析：暂无解析32、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2tx1x2+2x1x3+2tx2x3正定，求t的范围．标准答案：二次型的矩阵为需即知识点解析：暂无解析33、设|A|=计算A41+A42+A43+A44，其中A4j(j=1，2，3，4)是|A|中元素a4j的代数余子式．标准答案：A41+A42+A43+A44=知识点解析：暂无解析34、计算行列式D＝的值．标准答案：数值行列式计算：一般利用倍加性质，将数值较大的元素变换成数值较小的元素，再进行计算．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设n阶矩阵A满足A2+2A－4E＝O，证明A可逆，并求A－1．标准答案：因A2+2A－4E＝O整理变形为A2+2A＝4EA(A+2E)＝4EA·=E．故A可逆．且A－1=知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第4套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、行列式D＝的第三行第二列元素的代数余子式A32＝A、2B、－1C、﹣2D、1标准答案：C知识点解析：由A32＝(－1)3＋2＝－2．故选C．2、设A为四阶方阵，若＝1，则｜2A－1｜＝A、－1B、2C、1/2D、1标准答案：D知识点解析：3、已知三阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1，2，4，则｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7标准答案：A知识点解析：相似矩阵必有相同的特征值，因A～B，则A与B有相同的特征值，即B的特征值为1，2，4，则｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故选A．4、设矩阵A与对角矩阵D＝相似，则A2＝A、－EB、EC、DD、A标准答案：B知识点解析：由于A～D，则存在可逆矩阵P，使D＝P-1AP．所以A＝PDP-1，A2＝PDP-1·PDP-1＝PEP-1，由D2＝＝E，得A2﹦PE2P-1＝E．故本题选B．5、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：故r(A)＝4，则二次型f的秩也为4．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设四阶行列式D的第3行元素分别为－1，2，－3，4，对应的余子式为2，－1，1，0，则D＝_______．FORMTEXT标准答案：-3知识点解析：D＝(－1)×(－1)3＋1×2＋2×(－1)3＋2×(－1)＋(－3)×(－1)3＋3×1＋4×(－1)3＋4×0＝－3．7、设，则A－2B＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：8、设矩阵A＝，则行列式｜2A*A－1｜＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：由A＝，得｜A｜＝－1，又因｜A*｜＝｜A｜2-1＝｜A｜，｜A-1｜＝，所以｜2A*A-1｜＝22｜A-1｜＝22·｜A｜·＝4．9、设矩阵A＝，矩阵B＝A＋E，则矩阵B的秩r(B)_______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由B＝A＋E＝，故r(B)＝2．10、设向量组α1＝(0，3，1，2)T，α2＝(1，－2，2，0)T，α3＝(1，－1，2，4)T，α4＝(3，0，7，14)T，则该向量组的极大无关组是_______．FORMTEXT标准答案：α1，α2，α3(或α1，α2，α4)知识点解析：，故可得α1，α2，α3(或α1，α2，α4)为此向量的一个极大无关组．11、设A为三阶矩阵，且方程组Ax＝0的基础解系含有一个自由解向量，则r(A)＝_______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：暂无解析12、设非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵为(A，b)＝，若方程组有唯一解，则a的取值为_______．FORMTEXT标准答案：a≠1知识点解析：由(A，b)＝，得当a≠1时，r(A)＝r(A，b)＝3，此方程组有唯一解．13、已知A～，则r(A＋E)＋r(A－2E)＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：矩阵的非零特征值个数就是其秩，因A～，所以A的特征值为1，－1，2，则A＋E的特征值为2，0，3，A－2E的特征值为－1，－3，0，故r(A＋E)＝2，r(A－2E)＝2．因此r(A＋E)＋r(A－2E)＝4．14、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22－x32＋2x1x2＋2x2x3的秩为_______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：故r(A)＝3，所以次二次型的秩也为3．15、矩阵是合同矩阵，即存在可逆矩阵P，使PTAP＝B，其中P＝_______．FORMTEXT标准答案：[*]知识点解析：由题知A的特征值为－1，1，1，当λ1＝－1时，A的对应的特征向量为α1＝，当λ2＝λ3＝1时，A的对应的特征向量为α2＝，α3＝．故A可相似于对角阵，又因A为实对称矩阵，故存在可逆正交矩阵P＝(α2，α1，α3)或(α3，α1，α2)，使得P-1AP＝PTAP＝三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、设行列式＝2，计算行列式的值．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设三阶方阵A、B满足A－AB＝E，且AB－2E＝，求A，B．标准答案：由AB－2E＝＝﹣E，得AB＝E．故A，B互为逆矩阵，即A-1＝B，B-1＝A．又因A－AB＝E，则A－AB＝A－E＝E，知识点解析：暂无解析18、设向量组α1＝(1，1，2，2，1)T，α2＝(1，1，0，4，－1)T，α3＝(0，2，1，5，－1)T，α4＝(2，0，1，5，－1)T，求此向量组的一个极大无关组和秩．标准答案：设A＝(α1，α2，α3，α4)，则A＝(α1，α2，α3，α4)＝得r(A)＝3，即此向量组的秩为3．再由首非零元素所在的列知，α1，α2，α3是此向量组的一个极大无关组(注：极大无关组不唯一)．知识点解析：暂无解析19、已知线性方程组有同解，求a，b的值．标准答案：(Ⅱ)的未知数个数3明显大于方程个数，故(Ⅱ)有无穷多解，则(I)也有无穷多解，令A为(I)的系数矩阵，则r(A)<3．由r(A)<3，得a－2＝0，即a＝2．于是方程组(I)的基础解系为(－1，－1，1)T．将(x1，x2，x3)T代入(Ⅱ)可得b＝1．故当(I)与(II)有同解时，a＝2，b＝1．知识点解析：暂无解析20、设A为四阶方阵，满足｜3E＋A｜＝0，AAT＝2E，｜A｜<0，其中E是四阶单位矩阵，求矩阵A*＋2E的一个特征值．标准答案：由｜3E＋A｜(－1)4｜－3E－A}＝｜3E－A｜＝0，得A有一个特征值为－3．又因AAT＝2E，则｜AAT｜＝｜A｜｜AT｜＝｜A｜2＝｜2E｜＝24＝16，得｜A｜＝±4，因｜A｜<0，故｜A｜＝－4．若A的特征值为λ，则A*的特征值为，故A*T有一个特征值为．因此A*＋2E有一个特征值为知识点解析：暂无解析21、设矩阵A与B相似，其中，(1)求参数x和y的值；(2)求可逆矩阵P，使P－1AP＝B．标准答案：(1)由题得｜A｜＝－1，｜B｜＝－y．因A～B，所以｜A｜＝｜B｜，即－1＝－y，得y＝1．又因A～B，则tr(A)＝tr(B)，即1＋x＝y＝1，得x＝0．(2)由A～B，故A的特征值就是B的对角元－1，1，1．当λ1＝－1时，知识点解析：暂无解析22、求二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x2＋2x2x3经可逆线性变换所得的标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设矩阵A为2n阶矩阵，且满足A2＝A，证明：A的特征值只有0或1．标准答案：因A2＝A，整理变形得A2－A＝0．即A(A－E)＝0．则｜A｜A－E｜＝0．故得｜A｜＝0或｜A－E｜＝0．①当｜A｜＝0时，｜－A｜＝(－1)2n｜A｜＝0，即｜0?E－A｜＝｜－A｜＝0．故｜A｜＝0时，A有一个特征值为0．②当｜A－E｜＝0时｜A—E｜＝(－1)2n｜E－A｜＝0，即｜E－A｜＝0．故｜A－E｜＝0时，A有一个特征值为1．因此，A2＝A时，A的特征值只有0或1．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第5套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若A，B均为n阶方阵，且AB=0，则()A、A=O或B=OB、A+B=OC、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0标准答案：C知识点解析：AB=0→｜AB｜=0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案为C。2、设A=，则Ax=0的基础解系含有_________个解向量．()A、1B、2C、3D、0标准答案：A知识点解析：由于V(A)=3，所以基础解集含有4—3=1个向量．答案为A。3、已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为()A、(5，一3，一1)B、C、D、标准答案：A知识点解析：将四个选项代入验证Ax=0是否成立即可．答案为A。4、齐次线性方程组的自由未知量是()A、x1，x2B、x2，x3C、x2，x4D、x1，x4标准答案：C知识点解析：对系数矩阵作初等变换得：所以x2，x4为自由未知量．答案为C。5、若只有零解的充要条件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4标准答案：D知识点解析：方程组只有零解的充要条件．因方程组只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，则－a－4≠0，得a≠﹣4．6、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵(m≠n)，则下列运算结果是n阶方阵的是()A、A．BB、AT．BTC、BT．ATD、(A+B)T标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知AT．BT是n阶方阵．答案为B。7、已知三阶矩阵A有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝2，则2A*的特征值是A、1，－1，2B、－2，2，－1C、－4，4，－2D、2，－2，4标准答案：C知识点解析：由题知｜A｜＝λ1·λ2·λ3＝－2，而2A*的特征值是2·，其中λi是A的特征值，故2A*的特征值为－4，4，－2．8、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I标准答案：C知识点解析：A.A*=｜A｜I．答案为C.9、若齐次线性方程组只有零解，则A应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B。10、行列式()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，,答案为D11、设A为3阶方阵且｜A｜=，则｜一2A｜=()A、一4B、4C、一1D、1标准答案：A知识点解析：｜一2A｜=(一2)3｜A｜=一8×=一4．答案为A。12、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=O，则B=OD、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式标准答案：D知识点解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D．答案为D。13、已知A、B为n阶方阵，且满足A2＝B2，则必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B标准答案：B知识点解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B项正确．14、的根为()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4标准答案：D知识点解析：提示2、3、4列加到第一列．答案为D。15、若四阶实对称矩阵A是正定矩阵，则A的正惯性指数为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：暂无解析16、若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1=()A、A一2IB、2I一AC、一(A—2I)D、(A一2I)标准答案：D知识点解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案为D。17、的充要条件为()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1标准答案：C知识点解析：答案为C18、设2阶矩阵则A*=()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由伴随矩阵的定义即得．答案为A19、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等列变换得到矩阵B，则B等于()A、一个m阶初等矩阵左乘AB、一个n阶初等矩阵右乘AC、一个m阶初等矩阵右乘AD、一个n阶初等矩阵左乘A标准答案：B知识点解析：对矩阵施行一次初等列变换，相当于右乘一个初等矩阵，义根据乘法的定义，右乘矩阵的行数等于矩阵A的列数，因此B是正确的．20、设A，B为n阶矩阵，且A，B相似，则以下错误的是()A、A，B有相同的特征值B、r(A)=r(B)C、A，B有相同的特征向量D、|A|=|B|标准答案：C知识点解析：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，选C．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设矩阵A为4×6矩阵，如果秩A=3，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数为_______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：由于AX=0是6个未知量的齐次线性方程组．6一r(A)=6—3=3，所以基础解系中含有3个解向量．22、FORMTEXT标准答案：211知识点解析：依据行列式计算法则：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3一0×0×(一2)×0×3—0×3×0×0×(一2)一0×(一2)×0×0×3—0×3×0×(一2)×0一(一2)×0×0×3×0=一32+243一0=211．23、已知α＝(1，1，－1)T是矩阵A＝的一个特征向量，求a＝______．FORMTEXT标准答案：-3知识点解析：由题知Aα﹦λα,24、设向量α=，则α与β的内积(α，β)=__________．FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：(α，β)=1×2×2×1+(一2)×2+1×(一2)=一3．25、当k=______时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，一3，2)，α2=(2，一1，1)线性表出．FORMTEXT标准答案：一8知识点解析：α1，α2线性无关，故只需得k=一8．26、设则Ax=0的通解为_________．FORMTEXT标准答案：x=k(1，1，1)T知识点解析：则基础解系ξ1=(1，1，1)T，通解为x=kξ1，其中k为任意常数．27、齐次线性方程组有非零解，则a=_______。FORMTEXT标准答案：8知识点解析：齐次线性方程组有非零解即a=8．28、设三阶矩阵A的特征值为1，4，6，对应的特征向量分别为则矩阵A=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据特征值和特征向量的定义，有→(Ap1，Ap2，Ap3)=(P1，4p2，6p3)，即A(p1，p2，P3)=(p1，4p2，6p3)，29、设矩阵A＝，则A2－E＝_______．FORMTEXT标准答案：O知识点解析：又AE＝EA，所以A2－E＝(A+E)(A－E)30、设矩阵A的伴随矩阵则A-1=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、已知矩阵A＝，解矩阵方程AX=A＋2X．标准答案：因AX＝A＋2X，所以(A－2E)X＝A，知识点解析：暂无解析32、设矩阵A＝，已知线性方程组Ax＝b有无穷多解，求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．标准答案：知识点解析：暂无解析33、设矩阵A=，求A在初等变换下的标准型并求A的秩．标准答案：对矩阵A作初等变换，有为A在初等变换下的标准型，并且r(A)=2．知识点解析：暂无解析34、二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋2x22＋2x32＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3的正定性．标准答案：得A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝4，全部大于零，故A正定，则f是正定二次型．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、已知向量组α1，α2，…，αm与向量组α1，α2，…，αm，β有相同的秩，证明：β可由α1，α2，…，αm线性表示．标准答案：设是α1，α2，…，αm的一个极大无关组，由于α1，α2，…，αm，β的秩也是r，所以也是α1，α3，…，αm，β的一个极大无关组，所以β可由线性表示，而仅是α1，α2，…，αm的一个部分向量组，所以β也可由α1，α2，…，αm线性表示．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第6套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、已知可逆方阵A的逆矩阵，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为()A、(5，一3，一1)B、C、D、标准答案：A知识点解析：将四个选项代入验证Ax=0是否成立即可．答案为A。3、方程组，的一组基础解系由个向量组成．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：方程组的基础解系中自由未知量的个数．，得r(A)＝2．故基础解系中自由未知量的个数为4－r(A)＝2．4、若只有零解的充要条件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4标准答案：D知识点解析：方程组只有零解的充要条件．因方程组只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，则－a－4≠0，得a≠﹣4．5、行列式()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，,答案为D6、方程组的一组基础解系由_________个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B。7、实二次型f(x1，…，xn)=ATx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B8、要使ε1=(1，0，1)T，ε2=(一2，0，1)T都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：ε1，ε2显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为3—2=1，只有D符合．9、若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三个线性组合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1标准答案：C知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。10、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()A、必要条件B、充分条件C、非充分、非必要条件D、充要条件标准答案：D知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故选D.11、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()A、方程个数m＜nB、方程个数m＞nC、方程个数m=nD、秩(A)＜n标准答案：D知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。12、若四阶实对称矩阵A是正定矩阵，则A的正惯性指数为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：暂无解析13、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1()A、A-1+B-1B、A+B.C、A(A+B)-1.BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)14、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2标准答案：D知识点解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案为D。15、设三阶实对称矩阵A的特征值分别为－1，－2，0，则A、A正定B、A负定C、A半正定D、A半负定标准答案：D知识点解析：正定矩阵特征值全大于0．负定矩阵特征值全小于0．半正定矩阵特征值中含0，而其余全大于0．半负定矩阵特征值中含0，而其余全小于0．16、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2标准答案：D知识点解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2∴｜A｜=｜B｜，｜AA｜=｜BB｜．∴｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2∴｜A｜2=｜B｜2．答案为D。17、线性方程组无解，则λ=()A、0B、1C、一1D、任意实数标准答案：A知识点解析：当λ≠0且λ≠一1时有惟一解，当λ=一1时有无穷多解．当λ=0时无解．答案为A。18、设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C’AC，则下述结论_______不成立．()A、A与B相似B、A与B等价C、A与B有相同的特征值D、A与B有相同的特征向量标准答案：D知识点解析：∵c是正交阵∴c=c-1，B=C-1AC，因此A与B相似．A对．c是正交阵｜C｜≠0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对．两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对．(λI—A)X=0与(λI—B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D答案为D。19、设2阶矩阵则A*=()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由伴随矩阵的定义即得．答案为A20、设A，B为n阶方阵，则下列各式一定成立的是()A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、(A+B)2=A2+AB+BA+B2C、(A+B)(A-B)=A-B2D、(A-B)(A+B)=A2一B2标准答案：B知识点解析：矩阵乘法不满足交换律．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、已知向量组α1=线性相关，则k=__________．FORMTEXT标准答案：k=2知识点解析：向量α1，α2，α3线性相关，故对α1，α2，α3组成的矩阵作初等变换，即由于α1，α2，α3线性相关，故k=2．22、二次型f(x1，x2，x3)=x12—2x22+x32一2x1x2+4x1x3+8x2x3对应的对称矩阵A=__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，一2，1x1x2的系数一2对应a12和a21的系数的和：∴a12=一1a21=一1x1x3的系数4对应a13和a31系数的和：∴a13=a31=2x2x3的系数8对应n23和a32的系数的和：∴a23=a12=4．23、设A、B均为3阶矩阵，｜A｜=3，｜B｜=一2，则｜一2T.B-1｜=_______。FORMTEXT标准答案：12知识点解析：=12．24、设A为实对称矩阵，α1=是A属于不同特征值λ1和λ2的特征向量，则a=__________．FORMTEXT标准答案：5知识点解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．25、设α=(1，1，0，一1)，β=(-2，1，0,0)，γ=(-1，一2，0，1)，则3α—β+5r=_______．FORMTEXT标准答案：(0，一8，0，2)知识点解析：3α—β+5γ=3(1，1，0，一1)一(一2，1，0，0)+5(一1，一2，0，1)=(0，一8，0，2)．26、设矩阵A=，则3AT一BT=________。FORMTEXT标准答案：知识点解析：3AT—BT=3．27、已知方阵A相似于对角矩阵，则A10=__________.FORMTEXT标准答案：E知识点解析：存在可逆矩阵P使因此A=P所以28、设A是三阶矩阵，其行列式|A|=5，则|(5A*)-1|=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：29、设，则Ax=0的基础解系含有______个解向量．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由于r(A)=2，所以基础解系含有4—2=2个解向量．30、设矩阵，则A+2B________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、设求(2E+A)-1(A2－4E)．标准答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一2E)知识点解析：暂无解析32、设f(x)是二次多项式，已知f(1)=1，f(一1)=9，f(2)=一3，求出f(3)．标准答案：设f(x)=ax2+bx+c，则有解得a=0，b=一4，c=5，从而f(x)=一4x+5，f(3)=一7．知识点解析：暂无解析33、当a、b为何值时，非齐次线性方程组有唯一解?有无穷多个解?并求有无穷多解时的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析34、求线性方程组的通解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有所以线性方程组的同解方程组为其中x4是自由未知量，方程组的通解为，k为任意实数．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设n阶矩阵A满足A2+2A－4E＝O，证明A可逆，并求A－1．标准答案：因A2+2A－4E＝O整理变形为A2+2A＝4EA(A+2E)＝4EA·=E．故A可逆．且A－1=知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第7套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、已知四阶行列式D中第二列元素依次为1，0，－1，2，它们的余子式依次为3，－2，5，1，则D＝A、7B、4C、0D、3标准答案：B知识点解析：由题知第二列元素的代数余子式为A21＝(－1)2+1·3＝－3，A22＝(－1)2+2·(－2)＝－2，A23＝(－1)2+3·5＝－5，A24＝(－1)2+4·1＝1，所以D＝1·A21＋0·A22＋(－1)·A23×2·A24＝4．2、设A、B为n阶可逆矩阵，下列选项等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1标准答案：D知识点解析：因为｜AB｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B、C也都符合矩阵运算的规律，故B、c成立．因此D不成立．3、已知可逆方阵A的逆矩阵，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、下列矩形阵列不是初等方阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵．注意：只能是一次变换，而D项是经过两次初等变换得到的，故不是初等方阵，故选D．5、若方程组，有非零解，则λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1标准答案：C知识点解析：齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、若向量组α1＝(－1，1，1)，α2＝(2，1，t)，α3＝(1，0，0)线性无关，则t的取值范围是______．FORMTEXT标准答案：t≠1知识点解析：7、若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)：α1＝(1，2，3)，α2＝(2，4，5)，α3＝(0，0，6)等价，则(I)的秩＝______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：等价向量组有相同的秩．8、若α1，α2，α3线性无关，α2，2α3，3α线性相关，则向量组α2，2α3，3α4的极大无关组是______．FORMTEXT标准答案：α2，2α3知识点解析：由α1，α2，α3线性无关，得α2，α3也线性无关，又因α2，α3，α4线性相关，则α4可由α2，α3线性表示．故α2，2α3，3α4的极大无关组是α2，2α3．9、若向量α3＝(1，k，3)T能由向量α1＝(1，－3，2)T，α2＝(2，1，－1)T线性表示，则k＝______．FORMTEXT标准答案：-22/5知识点解析：10、设向量α1＝(1，1，2，－2)，α2＝(1，1，－2，－4)，α3＝(1，1，6，0)，则向量空间V＝{β｜β＝x1α1＋x3α2＋x3α3，xi∈R，i＝1，2，3}的维数为______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：因V由向量组口α1，α2，α3生成，故向量组α1，α2，α3的最大无关组和秩就分别为V的基和维数．11、R3中向量β＝(3，0，0)在基α1＝(－1，1，0，α2＝(0，0，1)，α3＝(0，－1，0)下的坐标为______．FORMTEXT标准答案：(－3，0，-3)知识点解析：由题易知β＝(－3)·α1＋0·α2＋(－3)·α3．故β的坐标为(－3，0，－3)．12、齐次线性方程组，有非零解的充要条件是λ＝______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：因方程组有非零解，则｜A｜＝0，即r(A)<3，故λ－1＝0，得λ＝1．13、设线性方程组当λ______时，有唯一解．FORMTEXT标准答案：≠2知识点解析：得当λ－2≠0时，r(A)＝r(A，b)＝3，方程组有唯一解．故λ≠2．14、齐次线性方程组的一个基础解系为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：15、若η1＝(1，2，2)T，η2＝(3，2，1)T是Ax＝b的两个解，则此方程组的导出组Ax＝0也有一个解为______．FORMTEXT标准答案：(2，0，－1)T(或此向量的实数倍)知识点解析：导出组Ax＝0有一个解为η2－η1＝(2，0，－1)T．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算D＝的值．标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知矩阵A＝，解矩阵方程AX=A＋2X．标准答案：因AX＝A＋2X，所以(A－2E)X＝A，知识点解析：暂无解析18、求矩阵A＝的秩．标准答案：对A施行初等行变换将其化成阶梯形：知识点解析：暂无解析19、求向量组α1＝(1，－1，0，0)T，α2＝(－1，2，1，－1)T，α3＝(0，1，1，－1)T，α4＝(－1，3，2，1)T，α5＝(－2，6，4，1)T的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示出来．标准答案：故A的列向量组的一个极大无关组为α1，α2，α4，即α1，α2，α4是原向量组的一个极大无关组．从上述变换容易看出，知识点解析：暂无解析20、已知线性方程组(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多个解；(2)在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：(1)由增广矩阵(A，b)＝，得当λ≠1时，r(A，b)＝r(A)＝3，方程组有唯一解．当λ＝1时，r(A，b)＝r(A)＝1<3，方程组有无穷多解．因无论λ为何值方程组不存在r(A，b)≠r(A)，所以无论λ为何值此方程组都有解．(2)当λ＝1时，(A，b)→，得x1＋x2＋x3＝1，且r(A，b)＝r(A)＝1，令x2＝0，x3＝0，可求得特解η*＝而原方程的导出组Ax＝0，在λ＝1时有x1＋x2＋x3＝0，即x1＝－x2－x3，又因r(A)＝1，故基础解系中有3－r(A)＝2个自由解向量，分别令，可求得基础解系为，所以原方程组的通解为知识点解析：暂无解析21、设矩阵A＝(1)判定A是否可对角化，说明理由；(2)若A可与对角矩阵相似，求可逆矩阵P和对角矩阵A，使P－1AP＝A．标准答案：｜λE－A｜＝＝(λ－1)2(λ－3)＝0，得λ1＝λ2＝1，λ3＝3，即为A的全部特征值．当λ1＝λ2＝1时，解齐次线性方程组(λ1E3－A)x＝知识点解析：暂无解析22、设二次型f(x1，x2，x3)＝x12－2x22－2x32－4x1x2＋4x1x3＋8x2x3，用正交变换法x＝Py，将二次型化为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知A、B、A＋B均为n阶正交矩阵，且｜A＋B｜＝1，证明：｜A－1＋B－1｜＝1．标准答案：因A，B，A﹢B为正交矩阵，所以AT＝A﹣1，BT＝B﹣1，(A﹢B)T＝(A﹢B)﹣1，因此(A﹢B)﹣1＝(A﹢B)T＝AT﹢BT＝A﹣1﹢B﹣1．故︱A﹣1﹢B﹣1︱＝︱(A﹢B)﹣1︱＝．又因︱A﹢B︱＝1，故︱A﹣1﹢B﹣1︱＝1．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第8套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A=，当x与y满足_________时，有AB=BA．()A、2x=7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1标准答案：C知识点解析：由于解得y=x+1．答案为C。2、若齐次线性方程组只有零解，则A应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B。3、二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同标准答案：A知识点解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩阵A与B一定合同．只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B既相似又合同．答案为A.4、二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的规范形是A、z12＋z22+32B、z12－z22－z32C、z12＋z22﹣z32D、z12－z22标准答案：C知识点解析：，得A的特征值为λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正惯性指数为2，负惯性指数为1．故此二次型的规范型为z12＋z22－z32．5、设n维向量，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=()A、OB、一EC、ED、E+