高考数学一轮复习 第5章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和学案-人教版高三全册数学学案

第3讲等比数列及其前A项和

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

2019年等比数列为必考内容，主

1.能够根据等比数列的概念判断数列

2017I等比数列1712要类型有：①等比数列基本运算；②等

是否为等比数列.

比数列性质应用；③等比数列的求和与

2016III等比数列17122.会熟练地利用等比数列的通项公式、

最值；④等比数列与等差数列综合；⑤

前n项和公式及其相关性质解题.

等比数列与函数、不等式的综合.

2015II求数列的项135

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1等比数列的有关概念

1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为

1

丁/

2.等比中项

如果a,G,6成等比数列，那么互叫做a与6的等比中项.即：G是a与人的等比中项

<=>a,G,b成等比数列=《=ab(ab#O).

考点2等比数列的有关公式

1.通项公式：atl=a\Q~\

na,<7=1,

Ia(l—a\—

［必会结论］

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a.=ar(T5,®GN*).

(2)若〃+〃=p+o=2★(如n,p,q,AGN*),则aja”=a。•a°=a：

⑶若数列｛&｝,㈤(项数相同)是等比数列，贝!尚，｛描，｛a“・4｝,热4W0)

仍然是等比数列.

(4)在等比数列｛a｝中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为,&+*,a-,a„

+3”…为等比数列，公比为/

(5)公比不为一1的等比数列｛a,,｝的前〃项和为S”则S,宓一S,瓯一瓯仍成等比数列，

其公比为Q.

4>0,或，g时，3｝是递增数列；满足low或

(6)等比数列｛2｝满足

。》1

水0,

时，｛a.｝是递减数列.

">1

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数

列.()

(2)满足a.+,=g,,(〃GN*,。为常数)的数列｛a,,｝为等比数列.()

(3)。为a,6的等比中项od=a6.()

(4)如果｛a｝为等比数列，6“=a2i+的”则数列｛"｝也是等比数列.()

(5)如果数列｛4｝为等比数列，则数列｛Ina｝是等差数列.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)X

2.［2018•河南名校联考］在各项均为正数的等比数列｛a.｝中，&=3,曲,则公

比g的值为()

A.72B.小C.2D.3

答案D

解析由国=a全&得aq'=a",所以/=状，因为等比数列｛a.｝的各项都为正数，所

以0=句=3.故选D.

3.［课本改编］等比数列｛&｝的前〃项和为S,己知S=&2+10a,a=9,则8=()

1111

A-3B--3C-9D'_9

答案C

解析由已知条件及S=a+检+a3,得&=9&,设数列｛a0｝的公比为g,则/=9.

所以8=9=a•/=81&,得&=，.故选C.

4.［2018.黄冈调研］设等比数列｛a｝中，公比k2,前〃项和为S”则细值()

77

145C_-

B.4D.2

答案A

ai(l-4)

解析根据等比数列的公式,得"三*=悬=言3=学

5.[2015•全国卷I]在数列｛&｝中，4=2,“尸2a,S为｛品｝的前〃项和.若S,=126,

则n=.

答案6

解析,**51=2,切叶1=2&,

・,・数列｛a｝是首项为2,公比为2的等比数列.

又・・・$=126,・•・一~~~=126,：.n=&,

1—2

6.[2018•衡中检测]在等比数列｛a｝中，若a一々=6,这一2=15,则&=__.

答案4或一4

解析设等比数列｛a｝的公比为g(gWO),则

E/—ag=6,Q9i

\4r两式相除，得TZjT^=E，即2——5q+2=0,解得g=2或9=5.

[.a<2-a=15,1+<752

,,fa=-16,

1—1(

所以《c或彳1故a=4或&=-4.

[g=2g=].

板块二典例探究•考向突破

考向四等比数列的基本运算

例1(1)12017•全国卷H]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍

巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共

挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

答案B

解析设塔的顶层的灯数为a,七层塔的总灯数为S,公比为g,则由题意知S=381,

(7=2,.•.£=叫—。)一曰1-：)=381,解得团=3.故选B.

1—q1—2

7

(2)[2017•江苏高考]等比数列｛区｝的各项均为实数，其前〃项和为Sn.己知&=-,&

63小

=彳，则38=.

答案32

解析设｛a,,｝的首项为a“公比为°,

'a(1-d)_7

l—q一“

则《

ai(l—Q)63

、1—q4

两式相除得那=(1_3)(:+/)=[

'_1

解得一一7所以a="x2，=2s=32.

。=2,

触类旁通

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量&,n,q,a,”

$,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是

熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简

化运算的过程.

【变式训练1】(D[2018•东北师大附中月考]已知等比数列｛a,,｝的前〃项和为S”a,

+83=5，且生+劭=彳，则(=()

24&

A.4"-'B.4"一1C.2"-'D.2"-1

答案D

解析设等比数列的公比为g,由题意，

Iai(l+/)='!，

ax—2,

<一解得《1

,,5q=.

ai式1+。)=?

则a,,=a-(3'T=券’Sk；=吟口所以?=2"-1.故选D.

1-2

(2)[2018•安徽皖江名校联考]已知$是各项均为正数的等比数列｛a〃｝的前n项和，若

愚•a=16,Ss=7j贝！J徐=.

答案128

解析・.・4•&=扇=16,・・.&=4（负值舍去），

4,

22（1-/）了（1+。）（1一。）

"：a=axq=\,W=7,：.q^l,~~=-------:------------=3,

31—q1—q

22

，3/—4q—4=0,解得g=一鼻或g=2,Va^O,.•・,=一可舍去，:.q=2,ai=l,:.

OO

a=2'=128.

考向2等比数列的性质

▼施题角.度.L…笠比数列.性质的应用

例2(1)已知各项均为正数的等比数列｛4｝中，。同外=5,4备麴=10,则国&5戊=

()

A.572B.7C.6D.4m

答案A

解析(aa续)X(a7a84)=/=50,a新小=d=5y[2.选A.

⑵等比数列｛4｝的前〃项和为S,若为＞0,q〉l,&+&=20,a2a6=64,则&=________.

答案31

解析&a=&&=64,因为^4-55=20,所以&和&为方程/—20^+64=0的两根，

因为品＞0,q＞l,所以的＜a，所以戈=16,劣=4,所以q=\^=、J^=2,所以4=我=

41-o'

1=1,所以&=­j=31.

41—g

2位题角度2.…笠比数列前4项和性质的应用

例3(1)设等比数列｛a｝中，前〃项和为S,,已知£=8,$=7,则与+a+麴等于()

A—1D--1r——57n——55

8888

答案A

解析因为生+2+a&=S—矣，且S,$—W,W—W也成等比数列，即8,—1,$一

友成等比数列，所以8($-&)=1,即$一冬=4.故选A.

O

⑵各项均为正数的等比数列｛a,,｝的前〃项和为S,若S,=2,£,,=14,则S”等于()

A.80B.30C.26D.16

答案B

解析由题意知公比大于0,由等比数列性质知S,S〃一S”S“一S",几一W",…仍为

等比数列.

设S〃=x,则2,*—2,14—x成等比数列.

由(X-2)2=2X(14—x),

解得x=6或x=-4(舍去).

:*Sn,SzLS",Sin-Sin,S^—Sin,…是首项为2,公比为2的等比数列.

又'；W"=14,.•.£“=14+2X23=30.故选B.

触类旁通

等比数列的性质应用问题

(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是

前〃项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的

突破口.

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

等比数列的判定与证明

例4[2018•兰州模拟]已知数列｛a｝满足对任意的正整数n,均有&+尸5&-2•3”,

且团=8.

(1)证明：数歹U｛a“一3"｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

⑵记b,.=^,求数列｛&,｝的前n项和T...

O

解(1)因为a0+i=5a"-2•3”,

,1

所以an+i-3"=5a„-2•3"—3”'=5(a〃-3"),

又国=8,所以四一3=5W0,

所以数列｛&-3"｝是首项为5、公比为5的等比数列.

所以a“-3"=5",所以&=3"+5".

(2)由(1)知，儿=^=%2=1+得"，

JJ\O/

则数列伍｝的前"项和7；=1+^0+1+^|^---Fl+^0—/?+------—

5

2,

触类旁通

等比数列的判定方法

⑴定义法：若吧=q(Q为非零常数，"GN*)或匹=q(q为非零常数且后2,〃3*),

QnQn—\

则｛&｝是等比数列.

（2）等比中项公式法：若数列｛a｝中，a“WO且成+i=a“•&+式〃6“），则数列｛a｝是等比

数列.

（3）通项公式法：若数列通项公式可写成a,,=c・g''（c,q均是不为0的常数，〃GN"）,

则｛&｝是等比数列.

（4）前n项和公式法：若数列｛a｝的前n项和S„=k-Q-k（k为常数且宁0,q#0,1）,

则｛a〃｝是等比数列.

提醒前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中.

【变式训练2]已知数列｛2｝满足2a+4a+…+2>”=必产.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列｛a,,｝的前〃项和T„.

解（1）证明：当〃=1时，由2al=1,得ai=g,

当时，由24+4a2H----卜2'2"=网"：得

2a1+4a2H-----F2"'

于是2"a产至产―一：

整理得又&符合上式,

所以数歹曙）是等比数歹人

办北=1X(5+2X©2+3X(5+…+〃X图,①

（2）由（1）得，an=n

》=，出+2义映+3*/+…+〃X&。②

由①一②得》,=（/+&）+（））+（5+…+（3"一〃义(1)

"=2-2X8〃—

即T=\+◎HIM处…+凯-nX

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1—

2

MR-崇

,----------------------'。幺师签记•[怫领惜I--------------------------------------------------------------------------------------------------

IMIN<(Sllini|lCx^CalllKAtJKCiVl1

。核心规律

1.已知d、q、n、&、S,中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.

2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法用于选择、填空题中的

判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

。满分策略

1.求解等比数列的问题，要注意等比数列性质的应用以减少运算量，而提高解题速度.

2.在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对q=l与q于1分类讨论，防止因忽略

9=1这一特殊情形而导致解题失误.

板块三启智培优•破译高考

易错警示系列7——数列中的思维定式致误

[2018•武汉检测]已知等比数列｛d｝中加=1,则其前3项的和S的取值范围是()

A.(—8,—1]B.(一8,0)U[1,+8)

C.[3,+°°)D.(-8,-1]u[3,+8)

错因分析本题易错的原因是受Q>0的思维定式的影响，遗漏当晨0时的情况，认为

S='+1+q23.

(7

解析因为等比数列｛&｝中az=l,设其公比为q,所以$=&+勿+@3=电e+1+，=1

+g+‘.

Q

当公比°>0时，S=l+?+->l+2A/9«-=3,当且仅当°=1时，等号成立；

q\]Q

当公比※0时，s=l一2、/—q•(一：)=—1,当且仅当9=—1时，等

号成立.

所以£6(—8,-1]U[3,+8).

答案D

答题启示等比数列的公比60时，相邻两项一定异号•，相隔一项的两项符号一定相同;

等比数列的公比00时，数列中的各项符号相同；用等比数列前〃项和公式时，如果其公比

<7不确定，要分4=1和两种情况进行讨论.

,跟踪训练

已知｛&｝为等比数列，51+57=2,全景=-8,则d+前)=()

A.7B.5C.-5D.-7

答案D

f&+a?=2,

解析由已知得C

1a5戊=。1&=-8,

a=4,<3i=-2,

解得或一

@_2n_4.

当劭=4,a?=—2时，易得~~—8,3io=1>

从而8+功0=-7；

当a=-2,&=4时，易得Hio=-8,a=1,

从而a+aio=-7.

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.在等比数列｛a｝中，$表示前"项和，若as=2S+l,&=2W+1,则公比q等于()

A.3B.-3C.-1D.1

答案A

解析两等式相减得科一a3=2a,从而求得且=3=°.故选A.

出

2.已知等比数列｛a｝满足&&=4(a-1),则&=()

11

2BC--

A.2D.8

答案c

解析设等比数列｛8｝的公比为q,必=1,&&=4(a—1),由题可.知月1,则a\q•axq

=4(国/—1),,6=4(；X/—1),二^—160'+64=O,/.(^3—8)2=0,q=8,/.q

=2,，/二号故选。

3.[2018•江西九江一模]已知单调递增的等比数列｛a｝中，/・a=16,a+e=10,

则数列｛4｝的前〃项和5=()

A.2〃T—；B.

C.2"-1D.2"+1-2

答案B

解析因为a-a6=16,所以a3•全=16,又33+35=10,等比数列｛a,,｝单调递增，所

11K

15。-2)1

以桀=2,a$=8,所以公比g=2,团=万，所以==_J_?=2"T_].故选.

4.[2018•延庆模拟]等差数列｛aj的公差为2,若念，&,,成等比数列，则｛aj的前

"项和£=()

A./?(/?+1)B./7(/?—1)

Cm+1)D-〃-1)

答案A

解析•:改,a”a成等比数列,

=

**•ci\Q：I•3&,即(囱+3-2=(8+4(a+7d),

将d—2代入上式，解得ai=2,

S,=2〃+«'"W----=/?(/?+1).故选A.

5.［2015•全国卷H］已知等比数列｛a｝满足ai=3,劭+曲+戊=21,则由+&+胡=

()

A.21B.42C.63D.84

答案B

解析设等比数列｛a｝的公比为仍则&(1+不+/)=21,又功=3,所以/+/-6=0,

所以q2=2(/=—3舍去)，所以用=6,55=12,4=24,所以曲+&5+e=42.故选B.

1Q

6.已知｛a｝为等比数列，S是它的前〃项和.若2%=彳顼，且国与4的等差中项为曰

4o

则W等于()

A.35B.33C.31D.29

答案C

解析设等比数列｛a｝的公比是S所以为&=备6=［国，得功成=3,即生=土.又8+

Z1

4

\-

助=2X*解得&=2,所以，琮所以词,a=16,故&罟与32

31.故选C.

7.［2018•昆明模拟］设$，是等比数列｛a,,｝的前〃项和，若微=3,则擀=()

02OI

73

A.2B.-C.-D.1或2

答案B

解析设S=hS=3k由数列｛a｝为等比数列，得S,S—S,W—S为等比数列，

:・Sz=k,S、一&=2k,4-&=4h

.・.&=7A,S=34,・4=咎=］故选民

S\3k3

8.已知数列1,4,a%9是等差数列，数列1,4，&,公9是等比数列，则七一的值

旬十愈

为.

答案而

解析因为1,国，@,9是等差数列，所以4+4=1+9=10.又1,b\,MA9是等比

数列，所以8=1X9=9,易知坛>0,所以庆=3,所以/-=磊.

国十410

9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a,

最高销售限价6（力a）以及实数x（0〈水1）确定实际销售价格c=a+x（b—a）.这里，x被称为

乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c—a）是（6—c）和（6—a）的等比中项.据此

可得，最佳乐观系数x的值等于.

外军T+,

112

解析已知解一a）是知一。）和是一a）的等比中项,即（c—a）2=（8—c）（6一a）,把c=a

+x（6一a）代入上式,得/（力一a）'=[力一a—x（6—a）]式—a）,即x｛b—a）2=（1—x）（/?—a）2.

因为。>a,所以b—aHO,所以V=l—x,即V+x—1=0,解得x=-1；"或x=—]2邓

（舍去）.

10.等比数列｛a｝满足：对任意〃《22（4+2-&）=3%+i,&+1>&,则公比q=________.

答案2

解析由题知2（4/-4）=3&g,即2/—3g—2=0,解得。=2或g=一/又为+1>d，

故q=2.

[B级知能提升]

1.已知等比数列｛a/的前〃项和为S=x・3"T一1，则x的值为（）

6

1111

民C

3--3-2-D.-2-

答案c

1V1

解析解法一：・・・$=才・3'1_£=[・3”—£,

636

由上述结论，得事=3'

解法二：当〃=1时，akS=T

当"22时，a„=S-S„-x=2x•3"7.

：｛4｝是等比数列，."=1时也应适合a,=2『3