11.1.3多面体与棱柱课件高一下学期数学人教B版

第十一章立体几何初步多面体与棱柱人教B版

数学

必修第四册课程标准1.了解多面体的定义及其分类.2.理解棱柱的定义和结构特征.3.在棱柱中构造恰当的特征图形,研究其中的线段数量关系和位置关系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1多面体的概念定义一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为

,围成多面体的各个多边形称为多面体的

;相邻两个面的公共边称为多面体的

;棱与棱的公共点称为多面体的

凸多面体把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.本书说到的多面体如不特别声明,均指凸多面体面对角线、体对角线一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的

;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的

多面体

面棱顶点面对角线体对角线截面一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个

表面积多面体所有面的面积之和称为多面体的

(或

)

截面表面积全面积名师点睛1.如图,进一步了解多面体中的概念.2.多面体至少有四个面、四个顶点、六条棱,并不是所有的多面体都有体对角线.3.面对角线和体对角线是两个不同的概念.过关自诊1.[2023安徽高一练习]如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是(

)A.该几何体是多面体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形D解析

根据几何体的直观图,得该几何体是多面体,且棱为MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条.顶点是M,A,B,C,D和N,共6个.且有平面MAB,平面MBC,平面MCD,平面MDA,平面NAB,平面NBC,平面NCD和平面NDA,共8个,且每个面都是三角形.故选项A,B,C正确,选项D错误.故选D.2.[2023广东高一课时练习]如图所示的多面体,其各个面都是边长为4cm的等边三角形.(1)写出多面体的顶点数、棱数;(2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置关系,用符号表示,并判断AB与CD所在直线的位置关系;(3)求这个多面体的表面积.解(1)多面体的顶点数为4,棱数为6.(2)AB所在直线与△ACD所在平面有且只有1个公共点,即AB∩平面ACD=A,AB与CD所在直线的位置关系是异面,理由是:AB∩平面ACD=A,CD⊂平面ACD,A∉CD,则AB与CD所在直线的位置关系是异面.知识点2棱柱的概念定义多面体,有两个面互相

,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为

底面、侧面、侧棱、高、侧面积棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的

(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的

,两个侧面的公共边称为棱柱的

,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的

,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的

平行棱柱底面侧面侧棱高侧面积直棱柱、斜棱柱、正棱柱如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为

(不是直棱柱的棱柱称为

),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为

三棱柱、四棱柱、五棱柱棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为

、

、

直棱柱斜棱柱正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的棱柱也称为

,侧棱与底面垂直的平行六面体称为

.在平行六面体中,相对的面都是互相

的

平行六面体直平行六面体平行名师点睛四棱柱的演变

过关自诊1.

如图所示的是一个五棱柱,则下列判断错误的是(

)A.该几何体的侧面是平行四边形B.该几何体有七个面C.该几何体恰有十二条棱D.该几何体恰有十个顶点C解析

根据棱柱的定义可知,该几何体的侧面是平行四边形,故A正确;该五棱柱有七个面,十五条棱,十个顶点,故B,D正确,C错误.故选C.2.[2023河北邢台高一]已知三棱柱有a个顶点,b条棱,则a-b=(

)

A.-3 B.3

C.4

D.-4A解析

因为a=6,b=9,所以a-b=-3.故选A.重难探究·能力素养全提升探究点一棱柱的结构特征【例1】

(1)(多选题)下列四个命题中,真命题为(

)A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行BCD解析

正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,故A为假命题;B,C,D均为真命题.(2)[2023山东潍坊高一单元测试]满足下列条件的棱柱中,一定是直棱柱的是(

)A.底面是矩形B.有一个侧面与底面垂直C.有一个侧面是矩形D.相邻两个侧面是矩形D解析

如图所示是底面是矩形的斜四棱柱,故A错误;当侧面ABB1A1与底面ABCD垂直,侧面BCC1B1不与底面ABCD垂直时,不是直棱柱,故B错误;当侧面ADD1A1是矩形,但侧面不与底面ABCD垂直时,不是直棱柱,故C错误;当相邻两个侧面是矩形时,则这两个侧面的交线与底面垂直,即侧棱与底面垂直,则该棱柱一定是直棱柱,故D正确.故选D.规律方法

棱柱的性质(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.(4)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.变式训练1[2023河北邢台高一期中]下列说法正确的是(

)A.棱柱的每个面都是平行四边形B.一个棱柱至少有五个面C.棱柱有且只有两个面互相平行D.长方体是正四棱柱B解析

对于A,棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形,故A错误;对于B,面最少的棱柱是三棱柱,共有五个面,故B正确;对于C,长方体是棱柱,但是上下、左右、前后都是互相平行的,故C错误;对于D,正四棱柱是特殊的长方体,D错误.故选B.探究点二棱柱的相关计算【例2】

[2023河北高一课时练习]长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1=1,∠AA1B=∠A1D1B1=60°,则此长方体的体对角线长是(

)B规律方法

若长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则体对角线

变式训练2[2023辽宁高一课时练习]已知正四棱柱的底面边长为,高为3,则此正四棱柱的体对角线长为

.

5探究点三棱柱的侧面展开图及其应用【例3】

(1)某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(

)A解析

两个☆不能并列相邻,故B,D错误;两个※不能并列相邻,故C错误.故选A.(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,AA1=2,P,Q分别为棱AA1,C1D1的中点,则从点P出发,沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为(

)B解析

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为棱AA1,C1D1的中点.规律方法

求几何体表面上两点间的最小距离(1)将几何体沿着合适的棱剪开后展开,画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求出结果.变式训练3如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与棱AA1的交点记为M,则从点B经点M到点C1的最短路线长为(

)B解析

如图,沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,从点B经点M到点C1的路线最短.所以最短路线长为BC1=.故选B.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415A级必备知识基础练1.[探究点一·2023贵州贵阳高一]n棱柱(n∈N*,n≥3)的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则V+F-E=(

)A.-1 B.0

C.1 D.2D解析

由题可得,n棱柱的顶点数为2n,棱数为3n,面数为n+2,则V+F-E=2.故选D.1234567891011121314152.[探究点一]下列四种说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中,正确的个数是(

)A.1 B.2

C.3

D.4A解析

①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.1234567891011121314153.[探究点一·2023全国高一专题练习]（多选题）关于如下图所示的4个几何体,说法正确的是(

)①

②③④A.只有②是棱柱

B.只有②④是棱柱C.只有①②是棱柱

D.只有①②④是棱柱CD1234567891011121314154.[探究点三]把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如图),请根据各面上的图案判断这个正方体是(

)C1234567891011121314155.[探究点三·2023广西玉林高一校联考期中]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1=4,一小虫从点A途经三个侧面爬到点A1,则小虫爬行的最短距离为(

)A.4 B.5C1234567891011121314156.[探究点一]长方体是

.(写出所有正确选项的序号)

①直四棱柱;②正四棱柱;③正方体;④直棱柱.①④解析

长方体是底面为长方形的直四棱柱,所以长方体是直四棱柱,也属于直棱柱.1234567891011121314157.[探究点一·2023山东高一课时练习]在如图所示的五棱柱中,底面是

,侧棱是

,侧面是

.

平面ABCDE,平面A1B1C1D1E1AA1,BB1,CC1,DD1,EE1平面ABB1A1,平面CBB1C1,平面CDD1C1,平面DEE1D1,平面AEE1A11234567891011121314158.[探究点三]如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD

-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.

解析

由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2

cm,3

cm,故两点之间的距离是

cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是

cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.1234567891011121314159.[探究点二·2023天津高一课时练习]底面是菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1,它的体对角线BD1和AC1的长分别是9cm和15cm,侧棱AA1的长是5cm,则这个直棱柱的底面边长为

cm.

812345678910111213141512345678910111213141510.[探究点二]如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是棱CC1,BC的中点,AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.123456789101112131415123456789101112131415B级关键能力提升练11.一个正方体的六个面上分别有字母A,B,C,D,E,F,如下图所示是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是(

)图①

图②

A.B

B.E C.F

D.E或FA解析

根据两个不同放置的图形,明显可知C的对面不是A,B,D,E,故C的对面是F,则与D相对的面为E或B,若E面与D面相对,则A面与B面相对,这时与图②放置矛盾,故与D面相对的是B面.故选A.123456789101112131415D12345678910111213141513.[2023江苏高一专题练习]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有

个面.

图1图22612345678910111213141514.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有

条.

10解析

在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.123456789101112131415C级学科素养创新练