8.1.3向量数量积的坐标运算课件高一数学人教B版

第八章向量的数量积与三角恒等变换向量数量积的坐标运算人教B版

数学

必修第三册课程标准1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点向量数量积的坐标表示1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=

.

x1x2+y1y24.a⊥b的充要条件是a·b=0,因此a⊥b⇔

.x1x2+y1y2=0名师点睛1.公式a·b=|a||b|cos<a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.过关自诊

A2.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(1,-2),c=(-2,4),则下列结论正确的是(

)A.b∥c

B.|a+c|=50C.(a+b)⊥bAC

重难探究·能力素养全提升探究点一向量数量积的坐标运算【例1】

已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).(1)求(a+b)2;(2)求(a+b)·(a-b).分析利用u·v=x1x2+y1y2(其中u=(x1,y1),v=(x2,y2))等基本公式计算.解

(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.变式探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.规律方法

向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解.变式训练1[人教A版教材习题]已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2).求a·b,(a+b)·(a-b),a·(b+c),(a+b)2.解

因为a+b=(0,7),a-b=(4,-1),b+c=(-3,2),所以a·b=-4+12=8,(a+b)·(a-b)=0×4+7×(-1)=-7,a·(b+c)=-3×2+3×2=0,(a+b)2=02+72=49.探究点二利用向量数量积解决长度和垂直、夹角问题【例2】

(1)[2023四川资阳模拟]已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若a⊥(ka+b),则k=(

)B解析

因为向量a=(1,2),b=(-2,3),所以ka+b=k(1,2)+(-2,3)=(k-2,2k+3),因为a⊥(ka+b),所以a·(ka+b)=k-2+2(2k+3)=5k+4=0,解得k=.故选B.(2)[北师大版教材习题]已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角是135°,求k的值.当k=5时,不合题意,舍去.所以k=-5.(3)[人教A版教材例题]若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC是什么形状?证明你的猜想.解如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现△ABC是直角三角形.证明如下.规律方法

利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.(3)求夹角θ的余弦值cos

θ.(4)求角.由向量夹角的范围及cos

θ求θ的值.【例3】

(1)[2023江西南昌三模]平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,则|a-b|=(

)D解析

已知平面向量a=(-2,k),b=(2,4),∵a⊥b,∴-2×2+4k=0,∴k=1,∴a-b=(-4,-3),(2)[北师大版教材例题]已知向量a=(2cosθ,sinθ),求|a|的最大值和最小值.又0≤cos2θ≤1,故|a|的最大值为2,最小值为1.变式训练2已知a=(x,1),b=(4,-2).(1)当a⊥b时,求|2a-b|;(2)若a和b的夹角为钝角,求x的取值范围.探究点三利用向量数量积的坐标运算求解几何问题【例4】

已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.证明以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设AB=2,则B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).规律方法

向量法证明平面几何中BE⊥CF的方法方便建立平面直角坐标系时,建立坐标系,把向量计算证明问题转化为向量的坐标运算,可以起到事半功倍的效果,本题先求

的坐标,再计算

的值为0,从而得到几何结论BE⊥CF.变式训练3

在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,P是△ABC所在平面上的任意一点,则

的最小值为(

)A.1 B.2 C.-2 D.-1C成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151617181920212223241.[探究点一·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(

)A.-5 B.-3 C.3 D.5B解析

∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.123456789101112131415161718192021222324A1234567891011121314151617181920212223243.[探究点二]已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2A解析

∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·b=0,即[λ(1,2)+(-1,1)]·(-1,1)=0,得(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.1234567891011121314151617181920212223244.[探究点三]在等腰直角三角形ABC的斜边AC上有一点D.已知

A1234567891011121314151617181920212223245.[探究点二]已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=

;|a+b|=

.

2解析

∵a·b=2,∴x=2.∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.1234567891011121314151617181920212223246.[探究点二]已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为

.

解析

由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=.1234567891011121314151617181920212223247.[探究点二·2023四川模拟]已知向量a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的夹角为

.

1234567891011121314151617181920212223248.[探究点一]已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,1),求(b·c)a.解

(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,所以λ=4,所以a=(4,8).(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).1234567891011121314151617181920212223249.[探究点二·2023河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).(1)求a+2b的坐标与|a-b|;(2)求向量a与a-b的夹角的余弦值.解

(1)a=(-1,2),b=(3,-1),则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3),123456789101112131415161718192021222324B级关键能力提升练10.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(

)A.直角三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.等边三角形A123456789101112131415161718192021222324P的坐标是(

)A.(-3,0) B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)C12345678910111213141516171819202122232412.[2023黑龙江龙凤校级模拟]已知非零向量a,b满足|a+2b|=|2a+b|=|a|,则a,b的夹角θ的值为(

)A.45°

B.60° C.90°

D.120°B12345678910111213141516171819202122232413.[2023上海奉贤校级期中]已知平面向量a,b,c,对任意实数x,y都有|a-xb|≥|a-b|,|a-yc|≥|a-c|成立.若|a|=2,则b·(c-a)的最大值是

.

12345678910111213141516171819202122232414.[2023陕西鄠邑期中]已知向量a=(-4,2),b=(2,t),则下列说法正确的是(

)A.当a⊥b时,t=4B.当a∥b时,t=-1C.当a与b的夹角为锐角时,t的取值范围为(4,+∞)D.当a+2b=0时,t=1ABC12345678910111213141516171819202122232415.(多选题)[2023广东梅州二模]已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),c=(0,1),则下列说法正确的是(

)A.当且仅当tanθ=时,a∥bB.a在c上的投影的数量为1C.存在θ,使得b=a-cD.存在θ,使得|a+b|=|a-b|ABD12345678910111213141516171819202122232416.[2023北京西城校级期中]已知点P(cosθ,sinθ),点A(-2,0),O为原点,则

的最小值为

.

212345678910111213141516171819202122232417.[2023河南月考]已知向量a=(-4,2),b=(1,-4).(1)若(a-3b)⊥(λa+b),求λ的值;(2)若c=(3μ-2,-μ),向量a+b与c的夹角为锐角,求μ的取值范围.解

(1)若(a-3b)⊥(λa+b),则(a-3b)·(λa+b)=0,∴λa2+(1-3λ)a·b-3b2=0,∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a2=20,b2=17,a·b=-4-8=-12,∴20λ-12(1-3λ)-3×17=0,解得λ=.123456789101112131415161718192021222324(2)向量a+b与c的夹角为锐角,则(a+b)·c>0,∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a+b=(-3,-2),123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324C级学科素养创新练19.已知向量a=(1,-1),b=(3,2),则sin<a,b>=(

)C解析

∵向量a=(1,-1),b=(3,2),1234567891011121314151617