2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 1.2矩形的性质与判定（第2课时） 教学课件

第一章特殊平行四边形第二课时第一章特殊平行四边形1.2

矩形的性质与判定

矩形的判定学习目标1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点）2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

(难点)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质角边对角线对称性推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACBD矩形四个角都是直角对边平行且相等互相平分且相等是轴对称图形∵∠ACB=90°AD=BD,知识回顾用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?平行四边形一个角是直角∟矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.

矩形的判定(1)

知识讲解几何语言：∵在ABCD中,∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.ABCD∟有一个角是直角的平行四边形是矩形.下图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?矩形的判定(2)

定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定义）.ABDC几何语言：∵在

ABCD中,

AC=BD,∴ABCD是矩形.0定理：对角线相等的平行四边形是矩形.有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？矩形的判定(3)

已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形.ABCD∟∟∟证明：∵

∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC.同理可证：AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵

∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.定理：有三个角是直角的四边形是矩形.

例如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个□ABCD的面积.例题讲解∴∠ABC=90°.（矩形的四个角是直角）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD..又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴OA=OB=OC=OD=4，∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形）在Rt△ABC中，，1.下列说法正确的是 (

)(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.

A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)B

当堂检测2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:①②③④(1)先截出两对符合规格的铝合金窗框,如图①所示,即AB=CD,EF=GH;(2)这时窗框的形状是

,根据的数学道理是

.

平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格。这时窗框是

，根据的数学道理是

.矩形有一个角是直角的的平行四边形是矩形∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.3.如图所示,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求证四边形ABCD是矩形.证明:∵在△ABC中，

AB=6,BC=8,AC=10,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四边形NDMB为矩形．5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD.又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又