考研数学二分类模拟题182

考研数学二分类模拟题182选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.

下列命题正确的是______A.若AB=E，则A必可逆且A-1=BB.若A，B均为n阶可逆矩阵，则A+B必可（江南博哥）逆C.若A，B均为n阶不可逆矩阵，则A-B必不可逆D.若A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆正确答案：D[解析]因A，B不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A||B|=0，AB不可逆．A项中AB=E，但未指出是方阵，若，则AB=E，但A，B均无逆可言；B项中，取B=-A，则A+B=A-A=O不可逆；C项中，取均不可逆，但A-B=E是可逆矩阵．

2.

设A，B是n阶矩阵，AB=O，B≠O，则必有______A.(A+B)2=A2+B2B.|B|≠0C.|B*|=0D.|A*|=0正确答案：D[解析]AB=O，不一定有BA=O，故A项中(A+B)2=A2+B2，不成立；B≠O，|B|可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故B，C项不成立；B≠O，AB=O，AX=0有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A|n-1=0．

3.

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：

①若A可逆，则B可逆；

②若A+B可逆，则B可逆；

③若B可逆，则A+B可逆；

④A-E恒可逆．

正确的个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：D[解析]由于(A-E)B=A，可知当A可逆时，|A-E||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知①是正确的．

当A+B可逆时，|AB|=|A||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知②是正确的．

类似地，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A||B|≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的，

最后，由AB=A+B可知(A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆．可知④也是正确的．

综上，四个命题都是正确的，故选D．

4.

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是______

A．如果|A|＞0，则|B|＞0

B．如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E

C．如果，则|B|≠0

D．存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B正确答案：A[解析]两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同．

当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B-1B=E，可见B项中命题成立．的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故|B|≠0，可见C项中命题也是成立的．矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知D项中命题也是成立的．

故唯一可能不成立的是A项中的命题．事实上，当|A|＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即|B|≠0，不一定有|B|＞0．故选A．

5.

设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O，则A和B的秩______A.必有一个等于零B.都小于nC.一个小于n，一个等于nD.都等于n正确答案：B[解析]AB=Or(A)+r(B)≤n．又A≠O，B≠O，即r(A)≥1，r(B)≥1，则

r(A)＜n，r(B)＜n．

6.

设A为4阶矩阵，其秩r(A)=3，那么r((A*)*)为______A.0B.1C.2D.3正确答案：A[解析]由于(A*)*=|A|n-2A，由于A不满秩，故|A|=0．于是(A*)*=O，r((A*)*)=0，故应选A．

7.

设

则必有______A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P1P2A=BD.P2P1A=B正确答案：C[解析]B由A第一行加到第三行(A左边乘P2)再将第一、二行对换(P2A左边乘P1)得到，故C成立．

8.

设

其中A可逆，则B-1等于______A.A-1P1P2B.P1A-1P2C.P1P2A-1D.P2A-1P1正确答案：C[解析]因B=AP2P1，所以

9.

A是n阶矩阵，则______A.(-2)n|A*|nB.2n|A*|nC.(-2)n|A|n-1D.2n|A|n-1正确答案：D[解析]

10.

A是n阶矩阵，则______A.(2)n|A|nB.(4|A|)nC.(-2)2n|A*|nD.|4A|n正确答案：B[解析]

11.

已知A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，且A3=E，则______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[考点]本题考查分块矩阵的运算，其中写出P2及A100=A3×33+1是解题的关键，考生应加强在运算过程中寻找规律的能力，这在历年考研试题中均有所体现．

12.

设，则(P-1)100A(Q99)-1=______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]易知P2=E，故P-1=P，进一步有

(P-1)100=P100=(P2)50=E．

利用归纳法易证，则

故，由于右边乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将A第2列的99倍加到第1列，计算可知应选B．

13.

已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论中：

①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3相关；

②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；

③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出，

正确的个数为______A.0B.0C.2D.3正确答案：C[解析]如果α1，α2，α3线性无关，由于α1，α2，α3，α4为4个3维向量，故α1，α2，α3，α4线性相关，则α4必能由α1，α2，α3线性表出，可知①是正确的．

令，则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关．可知②是错误的．

由向量组等价

[α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，

[α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，

可知

r(α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，

r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，

故当r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，也有

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，

因此α4可以由α1，α2，α3线性表出，可知③是正确的，故选C．

14.

设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中

是导出组Ax=0的解向量的个数为______A.4B.3C.2D.1正确答案：A[解析]由Aα1=Aα2=Aα3=b可知

A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，

A(α1-2α2+α3)=Aα1-2Aα2+Aα3=b-2b+b=0，

A(α1+3α2-4α3)=Aα1+3Aα2-4Aα3=b+3b-4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选A．

15.

设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示，则______A.当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关B.当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关C.当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关D.当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关正确答案：D[解析]利用“若向量组(Ⅰ)线性无关，且可由向量组(Ⅱ)线性表示，则r≤s”的逆否命题即知．

16.

向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是______A.α1，α2，…，αs均不为零向量B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余向量线性表出D.α1，α2，…，αs中任意s-1个向量均线性无关正确答案：C[解析]用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，A，B，D项都是向量组线性无关的必要条件，但不充分．

17.

n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是______A.存在一组全为零的数k1，k2，…，ks，使

k1α1+k2α2+…+ksαs=0B.α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关C.α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使

k1α1+k2α2+…+ksαs≠0正确答案：C[解析]可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs-1，线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾．故任意一个向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．A项对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=0的结论；B项必要但不充分，如α1=[0，1，0]T，α2=[1，1，0]T，α3=[1，0，0]T任意两个线性无关，但α1，α2，α3线性相关；D项必要但不充分，如上例α1+α2+α3≠0，但α1，α2，α3线性相关．

18.

设有两个n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βs，若存在两组不全为零的数k1，k2，…，ks，λ1，λ2，…，λs，使(k1+λ1)α1+(k2+λ2)α2+…+(ks+λs)αs+(k1-λ1)β1+…+(ks-λs)βs=0，则______A.α1+β1，…，αs+βs，α1-β1，…，αs-βs线性相关B.α1，…，αs及β1，…，βs均线性无关C.α1，…，αs，及β1，…，βs均线性相关D.α1+β1，…，αs+βs，α1-β1…，αs-βs线性无关正确答案：A[解析]存在不全为零的数k1，k2，…，ks，λ1，λ2，…，λs使得

(k1+λ1)α1+(k2+λ2)α2+…+(ks+λs)αs+(k1-λ1)β1+(k2-λ2)β2+…+(ks-λs)βs=0，整理得

k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+…+ks(αs+βs)+λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0,从而得α1+β1，…，αs+βs，α1-β1，…，αs-βs线性相关．

19.

若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则______A.α必可由β，γ，δ线性表出B.β必可由α，γ，δ线性表出C.δ必可由α，β，γ线性表出D.δ必不可由α，β，γ线性表出正确答案：C[解析]因α，β，γ线性无关，故α，β线性无关，而α，β，δ线性相关，故δ必可由α，β线性表出(且表出法唯一)．

20.

设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性无关，且αi(i=1，2，…，s)不能由(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性表出，βj(j=1，2，…，t)不能由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt______A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对正确答案：C[解析]只要对两种情况举出例子即可．

①取线性无关，线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个3维向量必定线性相关；

②取线性无关，线性无关，且显然不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关．

由①，②知，应选C．

21.

已知n维向量的向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量组可能线性相关的是______

A．(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量加到第2个分量得到的向量

B．(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改变成其相反数的向量

C．(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改为0的向量

D．(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第n个分量后再增添一个分量的向量正确答案：C[解析]将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关．A，B属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，D增加向量分量也不改变线性无关性．

22.

已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r2，且BY=β无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)=r，则______A.r=r1+r2B.r＞r1+r2C.r=r1+r2+1D.r≤r1+r2+1正确答案：D[解析]由题设

r(α1，α2，…，αn，α)=r1，r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，

故

r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r1+r2+1．

23.

设n(n≥3)阶矩阵，若矩阵A的秩为n-1，则a必为______

A．1

B．

C．-1

D．正确答案：B[解析]因

由r(A)=n-1，有1+(n-1)a=0，

24.

已知

其中a＜b＜c＜d，则下列说法错误的是______A.ATX=0只有零解B.存在B≠O，使AB=OC.|ATA|=0D.|AAT|=0正确答案：D[解析]由，a＜b＜c＜d，知r(A)=3．

r(AAT)=r(A)=3，|AAT|≠0，故|AAT|=0是错误的，其余A，B，C正确．

25.

设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是______A.A-E；A+EB.A-E；(A+E)-1C.A-E；(A+E)*D.A-E；(A+E)T正确答案：D[解析]由于(E+A)x=0只有零解，知r(E+A)=n，所以存在(E+A)-1且|E+A|≠0．

方法一因

(A+E)(A-E)=A2-E=(A-E)(A+E)，(*)

故A+E，A-E可交换，故A成立．

(*)式两端各左边、右边乘(A+E)-1，得

(A-E)(A+E)-1=(A+E)-1(A-E)，(**)

故(A+E)-1，A-E可交换，故B成立．

(**)式两边乘|A+E|(数)，得

(A-E)(A+E)*=(A+E)*(A-E),

故(A+E)*，A-E可交换，故C成立．

由排除法知，应选D，即(A+E)T，A-E不能交换．

方法二(A+E)(A-E)=(A+E)(A+E-2E)=(A+E)2-2(A+E)

=(A+E-2E)(A+E)=(A-E)(A+E)．

(A+E)-1(A-E)=(A+E)-1(A+E-2E)=(A+E)-1(A+E)-2(A+E)-1

=(A+E)(A+E)-1-2(A+E)-1=(A+E-2E)(A+E)-1

=(A-E)(A+E)-1．

同理(A+E)*(A-E)=(A-E)(A+E)*．

故应选D．

方法三D不成立，可举出反例，如取，则

而

故(A+E)T(A-E)≠(A-E)(A+E)T，即D不成立．

26.

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题

①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；

②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；

③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；

④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．

其中正确的是______A.①④B.①②C.②③D.③④正确答案：B[解析]当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．

当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关的．由于x，Ax，…，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误，故选B．

27.

设

且

则______

A．存在aij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性无关

B．不存在aij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性相关

C．存在bij(i，j=1，2，3)使得线性无关

D．不存在bij(i，j=1，2，3)使得线性相关正确答案：C[解析]由

知向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关．因α1，α2，α3线性相关，故A，B不成立，因α2，α3，α4线性无关，故C成立，D显然不成立．

28.

向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，其秩为r，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs，其秩为r2，且βi(i=1，2，…，s)均可由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则必有______A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B.α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩为r1-r2C.α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D.α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1正确答案：D[解析]设α1，α2，…，αs的极大线性无关组为α1，α2，…，αr1，则αj(j=1，2，…，s)均可由α1，α2，…，αr1线性表出，又βi(i=1，2，…，s)可由(Ⅰ)表出，即可由α1，α2，…，αr1线性表出，即α1，α2，…，αr1也是向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的极大线性无关组，故r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)=r1，其余选项可用反例否定．

29.

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______A.当m＞n时，必有|AB|≠0B.当m＞n时，必有|AB|=0C.当n＞m时，必有|AB|≠0D.当n＞m时，必有|AB|=0正确答案：B[解析]Am×nBn×m是m阶方阵，当m＞n时，

r(AB)≤r(A)≤n＜m，故|AB|=0．

B项成立，显然A项错误．

C项取A=[1，2]，，则AB=0，|AB|=0，C项错误．

D项取A=[0，1]，，AB=1，|AB|=1，D项错误．

30.

设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有______A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案：A[解析]方程AX=0和ATAX=0是同解方程组．

31.

设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是______A.ATX=0只有零解B.ATAX=0必有无穷多解C.对任意的b，ATX=b有唯一解D.对任意的b，AX=b有无穷多解正确答案：C[解析]r(A)=4，AT是5×4矩阵，方程组ATX=b，对任意的b，方程组若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能r(AT)=r(A)=4≠r([AT|b])=5，而使方程组无解．

其余A，B，D正确．

32.

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则竹维列向量组P1，β2…，βm线性无关的充分必要条件为______A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2…，βm]等价正确答案：D[解析]A=[α1，α2，…，αm]，B=[β1，β2，…，βm]等价r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βm)β1，β2，…，βm线性无关(已知α1，α2，…，αm线性无关时)．

33.

要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为______

A．[-2，1，1]

B．

C．

D．正确答案：A[解析]因[-2，1，1]ξ1=0，[-2，1，1]ξ2=0．

34.

齐次线性方程组

的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则______A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案：C[解析]B≠O，AB=O，故AX=0有非零解，|A|=0，

又A≠O，故B不可逆，故λ=1，且|B|=0．

35.

齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4，P5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为

则______A.β1不能由β3，β4，β5线性表出B.β2不能由β1，β3，β5线性表出C.β3不能由β1，β2，β5线性表出D.β4不能由β1，β2，β3线性表出正确答案：D[解析]βi能否由其他向量线性表出，只需将βi视为非齐次方程的右端自由项(无论它原来在什么位置)，有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可．由阶梯形矩阵知，β4不能由β1，β2，β3线性表出．

36.

设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______A.m=n，且|A|≠0B.AX=0有唯一零解C.A的列向量组α1，α2，…，αn和α1，α2，…，αn，b是等价向量组D.r(A)=n，b可由A的列向量线性表出正确答案：D[解析]r(A)=n，b可由A的列向量组线性表出，即为r(A)=r([A|b])=n，故AX=b有唯一解．

A项是充分条件，但非必要条件，B项是必要条件，但非充分条件(可能无解)，C项是必要条件，但非充分条件(b由α1，α2…，αn线性表出，可能不唯一)．

37.

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]方程组有齐次解：2α1-(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故选C．

38.

设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则____