考研数学二分类模拟题185

考研数学二分类模拟题185解答题1.

计算正确答案：解：按第一行展开

得到递推公式

D5-D4=-x(D4-D3)=…=-x3(D2-D1)．

由于，D1=1-x，于是得

容易推出D5=-x5+x4-x3+D2=-x+x4-x3+x2-x+1．

2.

计算正确答案：解：按第一列展开，得

=an+(-1)1+nbn．

3.

计算正确答案：解：

4.

已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=O．证明A可逆，并求出其逆矩阵A-1．正确答案：证：

5.

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中，求矩阵B．正确答案：解：

6.

设可逆，其中A，D皆为方阵，证明A，D可逆，并求M-1．正确答案：证：

设M的逆矩阵为，由于，得

所以

7.

设矩阵，矩阵X满足AX+E=A2+X，其中E为3阶单位矩阵，试求出矩阵X．正确答案：解：．又|A-E|=-1≠0，则

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵

其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．8.

计算并化简PQ；正确答案：解：

9.

证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．正确答案：证：由第一小题得

故Q可逆

10.

设，求An，n≥3．正确答案：解：设，又EB=BE，Bn=O(n≥3)，所以

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．11.

计算ABT与ATB；正确答案：解：，ATB=a1b1+a2b2+…+anbn．

12.

求矩阵ABT的秩r(ABT)；正确答案：解：因ABT各行(列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(ABT)=1．

13.

设C=E-ABT，其中E为n阶单位矩阵，证明：CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1．正确答案：证：由于CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(E-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT，故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT，则BATABT-BBT=O，B(ATA-1)BT=O，即

(ATA-1)BBT=O．

因为B≠O，所以BBT≠O故CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

14.

A，B均是n阶矩阵，且AB=A+B，证明A-E可逆，并求(A-E)-1．正确答案：证：因AB=A+B，即AB-A-B=O，AB-A-B+E=E，A(B-E)-(B-E)=E，即

(A-E)(B-E)=E，

故A-E可逆，且(A-E)-1=B-E．

15.

已知A，B是3阶方阵，A≠O，AB=O，证明：B不可逆．正确答案：证：AB=O，(AB)T=BTAT=O，A≠O，BTX=0有非零解，故|BT|=0，即|B|=0，从而有B不可逆．

16.

设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B，证明B可逆，并推导A-1和B-1的关系．正确答案：证：记Eij为初等矩阵

则B=EijA，|B|=|EijA|=|Eij||A|=-|A|≠0，故B可逆，且

故

B的逆矩阵可由A的逆矩阵交换第i列和第j列之后得到．

17.

已知α1=[1，-1，1]T，α2=[1，t，-1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，-4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．正确答案：解：设x1α1+x2α2+x3α3=β，按分量写出为

对增广矩阵进行初等行变换得

由条件知，从而t=4，此时，增广矩阵可化为

其通解为，k为任意常数，所以

β=-3kα1+(4-k)α2+kα3，k为任意常数．

18.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明：B的列向量组线性无关．正确答案：证：n≥r(B)≥r(AB)=r(E)=nr(B)=n，则B的列向量组线性无关．

19.

设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r，证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．正确答案：证：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…ξr，(Ⅱ)的一个极大无关组为η1，η2，…，ηr．

因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr线性表示，于是

r(ξ1，β2，…，βr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r．

又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一个极大无关组，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证．

20.

求齐次线性方程组的基础解系．正确答案：解：系数矩阵，则方程组的解为

令，得方程组的基础解系

ξ1=[-1，1，0，0，0]T，ξ2=[-1，0，-1，0，1]T．

21.

问λ为何值时，线性方程组

有解，并求出解的一般形式．正确答案：解：其增广矩阵为

线性方程组有解，解得λ=1，其通解为

22.

λ为何值时，方程组

无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．正确答案：解：方程组改写为则有

当时，方程组无解；

当λ≠1且时，方程组有唯一解；

当λ=1时，方程组有无穷多解，且通解为

23.

已知线性方程组

(1)a，b为何值时，方程组有解；

(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；

(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．正确答案：解：

(1)a=1，b=3时，r(A)=r([A|b])，方程组有解．

(2)导出组基础解系为：ξ1=[1，-2，1，0，0]T，ξ2=[1，-2，0，1，0]T，ξ3=[5，-6，0，0，1]T．

(3)方程组通解：非齐次特解为η=[-2，3，0，0，0]T，故通解为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，k1，k2，k3为任意常数．

24.

已知方程组(Ⅰ)及方程组(Ⅱ)的通解为

k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[2，3，0，0]T，k1，k2为任意常数．求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．正确答案：解：将方程组(Ⅱ)的通解

k1[-1，1，1，0]T-k2[2，1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T=[-2-k1+2k2，-3+k1-k2，k1，k2]T代入方程组(Ⅰ)，得

化简得k1=2k2+6

将上述关系式代入(Ⅱ)的通解，得方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为：

[-2-(2k