考研数学二模拟401

考研数学二模拟401一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

函数的第二类间断点的个数为______A.0．B.1．C.2．D.3．正确答案：B[解析]利用当|x|＜1时，当|x|＞1时，不难得出

由此可见x=-1与x=1都是f(x)的第一类间断点，而x=0是f(x)的第二类间断点．

2.

当x→0时，与g(x)=xk是同阶无穷小，则______A.k=2．B.k=3．C.k=4．D.k=5．正确答案：D[解析]因f(x)和g(x)为同阶无穷小，则极限存在且不为0．

使存在且不等于0，必须满足k-5=0，即k=5．

此时，两者为同阶无穷小，且有

3.

函数z=(1+ey)cosx-yey极大值点的个数为______A.1．B.2．C.3．D.无穷多个．正确答案：D[解析]由极限存在的必要条件

得

从而有驻点(2nπ，0)，((2n+1)π，-2)，n=0，±1，…．

又

对点(2nπ，0)，有A=-2＜0，B=0，C=-1，B2-AC＜0，所以点(2nπ，0)为极大值点．

对点((2n+1)π，-2)，有A=1+e-2＞0，B=0，C=-e-2，B2-AC＞0，故点((2n+1)π，-2)不是极值点，所以该函数有无穷多个极大值点．

4.

设函数f(x，y)连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]积分区域D如下图所示，其中

观察积分区域，得

5.

设f(x，y)有连续的偏导数且f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由已知得du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy，所以

从而

由于偏导数均连续，所以

6.

已知x1=a＞0，y1=b＞0(a＜b)，则数列{xn}和{yn}______A.都收敛于同一值．B.都收敛，但不一定收敛于同一值．C.都发散．D.无法判断敛散性．正确答案：A[解析]根据常见不等式容易验证数列{xn}，{yn}的单调性和有界性，从而得出结论．

由已知易得xn＞0，yn＞0，又因为

所以

即数列{xn}单调递增，数列{yn}单调递减，又

a=x1≤x2≤…≤xn≤yn≤…≤y1=b

所以数列{xn}和数列{yn}都有界，根据单调有界准则，知都存在，故排除选项C和D．下面讨论两个数列是否收敛于同一值．

设由得

即

7.

已知若α1，α2是矩阵A属于特征值λ=1的线性无关的特征向量，α3是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，则矩阵P不能是______A.(α1，-α2，α3)．B.(α2，α1，α3)．C.(5α1，α1+α2，α3)．D.(α1，α2，α2+α3)．正确答案：D[解析]若Aα=λα，则A(kα)=λ(kα)，即若α是A属于特征值λ的特征向量，则kα(k≠0)仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量．

若Aα1=λα1，Aα2=λα2，则A(kα1+kα2)=λ(kα1+kα2)，即若α1，α2是A属于特征值λ的特征向量，则kα1+kα2(非零时)仍是A属于特征值λ的特征向量．

注意：若Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，λ1≠λ2，则α1+α2，α1-α2等都不是矩阵A的特征向量．

所以A、B、C均正确，而D中α2+α3不再是矩阵A的特征向量．

8.

设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，其中E为四阶单位矩阵，则矩阵B为______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]思路一：因|A*|=|A|n-1，由|A*|=|A|n-1=|A|3=8，得|A|=2．

又(A-E)BA-1=3E，有(A-E)B=3A，从而A-1(A-E)B=3E，由此得

(E-A-1)B=3E，即亦即(2E-A*)B=6E

又(2E-A*)为可逆矩阵，于是

思路二：同思路一，得|A|=2．

又由AA*=|A|E，对ABA-1=BA-1+3E先右乘A，再左乘A*，得

A*AB=A*B+3A*A，|A|B=A*B+3|A|E

即

(2E-A*)B=6E

于是

二、填空题1.

曲线在点(0，0)处的法线方程为______．正确答案：[解析]由参数方程易知，当t=1时，对应点(0，0)，又

则从而法线的斜率为

故法线方程为

2.

正确答案：[解析]

令t=x+1，则

3.

正确答案：[解析]I(a)是累次积分，可写为二重积分

其中D：0≤y≤2a，如图，它是半圆域：

x2+(y-a)2≤a2，x≥0．

由二重积分中值定理，使得

又ln(1+a2)～a2(a→0)，当a→0时，ξ2+η2→0，于是

4.

设ρ=a(1+cosθ)，则正确答案：[解析]将ρ=a(1+cosθ)化为参数方程θ为参数．

x'θ=-asinθcosθ-a(1+cosθ)sinθ=-a(sinθ+sin2θ)，

y'θ=-asin2θ+a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos2θ)．

故

5.

函数f(x)=x+2cosx在上的最小值为______．正确答案：[解析]因f'(x)=1-2sinx，令f'(x)=0可得

即在内f(x)有唯一驻点且

又在端点x=0和处f(0)=2，

比较可得

故f(x)在上的最小值为

6.

设α=(1，1，1)T，β=(1，0，2)T，若矩阵αβT相似于则k=______．正确答案：3[解析]因αβT相似于根据相似矩阵有相同的特征值，得到αβT的特征值为k，0，0．

而αTβ为矩阵αβT的对角元素之和，所以1+2=k+0+0，因此k=3．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

正确答案：

设直线y=kx(k＞1)与曲线所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．2.

求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周所形成旋转体的体积V1与V2之和最小，并求最小值；正确答案：由方程组得直线与曲线交点为如图

则

令得

因为V"(k)＞0，所以当时，函数V(k)取最小值，且最小值为

3.

求此时的D1和D2面积之和．正确答案：因为则

4.

设z=f(x+y，ey，xy)，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与正确答案：

因此

5.

一新型传染病在某一人群中的传播是通过其中的感染者进行的，设该人群的总人数为N，在t=0时刻感染者人数为x0．在任意时刻t已感染者的人数为x(t)(可视x(t)为连续可微变量)．其变化率与已感染者和未感染者人数之积成正比，比例常数k＞0，求x(t)．正确答案：已感染者人数x(t)的变化率为由题意可建立初值问题

对微分方程分离变量得

积分可得

由初始条件确定

故所求函数为

6.

计算二重积分其中D：0≤x≤2，-2≤y≤2．正确答案：

如上图，用直线y=-x+2，y=-x将D分成D1，D2与D3．于是

7.

设y"+2my'+n2y=0，y(0)=a，y'(0)=b，求(其中a，b，m，n均为常数，m＞n＞0)．正确答案：思路一：特征方程为λ2+2mλ-n2=0，得则

对题设方程两边积分，得

思路二：由特征方程，得λ1，2=＜0，原方程的通解为y=C1eλ1x+C2eλ2x(C1，C2为任意常数)，可得又由初始条件，有

C1+C2=a，λ1C1+λ2C2=b，

故

8.

设函数f(x)与g(x)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)．

求证：使得f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)．正确答案：把ξ与η分离至等式两端可得

f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)f'(ξ)-g'(ξ)=-f'(η)+g'(η)

[f(x)-g(x)]'|x=ξ=-[f(x)-g(x)]'|x=η．

对函数F(x)=f(x)-g(x)应用拉格朗日中值定理，由于F(x)在上连续，在内可导，故存在使得

即

又由于F(x)在上连续，在内可导，故存在使得

即

将①式与②式相加，就有使得

即

f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)．

已知下列非齐次线性方程组

9.

求解方程组(ⅰ)用其导出组的基础解系表示通解；正确答案：对方程组(ⅰ)的增广矩阵作初等行变换

由于所以方程组(ⅰ)有无穷多解，得其导出组的基础解系为[1，1，2，1]T，非齐次方程组的一个特解是[-2，-4，-5，0]T，故方程组(ⅰ)的通解为

10.

当方程组(ⅱ)中的参数m，n，t为何值时，方程组(ⅰ)与(ⅱ)同解?正确答案：若方程组(ⅰ)与(ⅱ)同解，则(ⅰ)的解应是(ⅱ)的解，将(ⅰ)的通解代入(ⅱ)的三个方程，可分别求得参数m，n，t．

将x代入(ⅱ)的第一个方程，得

(-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5，

整理得(m-2)(k-4)=0，其中k是任意常数，故解得m=2．

将x代入(ⅱ)的第二个方程，得

n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11，

整理得(n-4)(k-4)=0，其中k是任意常数，故解得n=4．

将x代入(ⅱ)的第三个方程，得

(-5+2k)-2k=-t+1，

解得t=6．故(ⅰ)(ⅱ)同解m=2，n=4，t=6．又当m=2，n=4，t=6时，(ⅱ)的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为3．则(ⅱ)的解也是(ⅰ)的解．因此当m=2，n=4，t=6时，方程组(ⅰ)与(ⅱ)同解．

设二次型

11.

若二次型通过正交变换的标准形为求参数a；正确答案：由已知条件，知二次型矩阵为其特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．特征多项式为