2021-2022学年吉林省长春市农安县高一下学期学情调研数学试题解析版

2021-2022学年吉林省长春市农安县高一下学期学情调研数学试题一、单选题1．复数（）在复平面上对应的点不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数，由此能求出结果.【详解】，当时，，则复数对应的点在第四象限；当时，，则复数对应的点在第三象限；当时，，则复数对应的点在第二象限；当或时，或，则复数对应的点在坐标轴上，不属于任何象限.故复数对应的点不可能位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．2．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，，因为，，三点共线，故，即，解得，，故选：B.4．下列关于棱柱的说法错误的是（

）A．所有的棱柱两个㡳面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有5个面【答案】C【分析】根据棱柱的定义判断．【详解】由棱柱的定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，知A、B正确的；对于C，如图，有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，但它不是棱柱，所以C错误．三棱柱有五个面，棱柱有个面，D正确.故选：C5．现从中小学生中抽取部分学牛进行一次肺活量调查，据了解，某地小学､初中､高中三个学段学牛的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（

）A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样C．按学段分层随机抽样D．按肺活量分层随机抽样【答案】C【分析】依据题给条件结合分层抽样定义及适用条件即可确定抽样方法.【详解】选项A：因小学､初中､高中三个学段学牛的肺活量有较大差异，因此不适合简单随机抽样.判断错误；选项B：因同一学段男､女学生的肺活量差异不大，因此按性别分层随机抽样没有必要.判断错误；选项C：小学､初中､高中三个学段学牛的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，因而按学段分层随机抽样.判断正确；选项D：因肺活量是待测量的量，不可以作为分层的标准.判断错误.故选：C6．在中，角，，所对边的长分别为，，．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理表示出,将已知等式代入求出的值,进而求出的值,原式利用诱导公式化简后将的值代入计算即可求出值.【详解】,,为三角形的内角,,则.故选：B.7．某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,再求即可.【详解】由题,,即.又,即.代入有,解得或.故或.故.故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题.8．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选：.二、多选题9．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数，将数据整理绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（

）A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数的估计值为25B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数的估计值为C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32【答案】AD【分析】求得样本的中位数判断选项A；求得样本的众数判断选项B；求得该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数的估计值判断选项C；求得该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数的估计值判断选项D.【详解】选项A：该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数，落在的频率为，落在的频率为该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数的估计值为.判断错误；选项B：该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数的估计值为.判断正确；选项C：该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为.判断正确；选项D：该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为.判断错误.故选：AD10．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面四个命题中假命题是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】由题给条件得到两平面、的位置关系判断选项A；由题给条件得到直线m与平面的位置关系判断选项B；由题给条件得到两直线的位置关系判断选项C；利用面面平行性质定理判断选项D.【详解】选项A：若，则或、为两个相交平面.判断错误；选项B：若，则或或位置关系为相交.判断错误；选项C：若，则或互为异面直线.判断错误；选项D：若，则.判断正确.故选：ABC11．△ABC内角ABC对边分别是a，b，c．已知a=，b=2，=30，则可以是（

）A．45 B．60 C．120 D．135【答案】AD【分析】由正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】由正弦定理知：,所以，因为，所以，且所以或,故选：AD12．如图，在平面四边形ABCD中，等边的边长为2，，，点M为边上一动点，记，则的取值可以是（

）A． B． C．5 D．10【答案】CD【分析】建立平面直角坐标系将向量用坐标表示求解即可.【详解】以为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设.则.故在上为增函数,故.故选：CD【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系解决向量的问题,需要找到合适的坐标原点建系,利用平面向量的坐标表达求数量积再分析范围,属于中等题型.三、填空题13．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为___________.【答案】2【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长.【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为，又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故答案为2.14．设（为虚数单位），则__________．【答案】【分析】利用复数相等列出关于的等式，解得的值，即可得到的值.【详解】由可得即，则，解之得，则故答案为：15．已知，若和的夹角是锐角，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据夹角为锐角，得到，且与不共线，即可得到不等式，求解即可.【详解】因为所以，因为与的夹角是锐角，所以且，解得且，综上可得,故答案为：16．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种，种植了这种小麦25亩，所得亩产量数据（单位：千克）如下：，，则该组数据的第75百分位数为__________．【答案】430【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】数据从小到大排列为：，，，共25个数据，因为，所以该组数据的第75百分位数为第19个数据430.故答案为：430四、解答题17．已知：复数，其中x∈R.求证：复数不可能是纯虚数.【答案】证明见解析.【分析】假设复数z是纯虚数，可得，解之即可得到结果.【详解】假设复数z是纯虚数，则有,由得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.当x＝－1时，log2(x－3)无意义；当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)0矛盾，故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数.【点睛】本题考查复数的基本概念，涉及纯虚数、复数相等等知识，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.18．已知的内角的对边分别为，，(1)求；(2)若为锐角，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，与条件联立可求.（2）由余弦定理求，再根据三角形面积公式求的面积．【详解】(1)由正弦定理，可得，又，，所以，因为，所以，所以．

在中，因为，所以，所以为锐角，故．(2)由（1），得，因为为锐角，所以，由余弦定理，可得，解得（舍去）或，所以的面积为．19．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)与的长；(3)此三棱柱的表面积．【答案】(1)；(2)；；(3)【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可；（2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长；（3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决．【详解】(1)正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为．(2)将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线．设，即，在Rt中，由勾股定理得，解得，或（舍）所以，又因为，所以．(3)此三棱柱的表面积．20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以，分组的频率分布直方图如下图：(1)求直方图中的值；(2)求月平均用电量的平均数；(3)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？【答案】(1)(2)度(3)5户【分析】（1）根据频率之和为1求解；（2）根据频率分布直方图直接求平均值即可；（3）根据频率分布直方图求出用电量的户数，利用分层抽样确定抽取月平均用电量为的户数.【详解】(1)由直方图的性质可得解方程可得，所以直方图中的值是．(2)月平均用电量的平均数(3)月平均用电量为的居民有户），月平均用电量为的居民有户），月平均用电量为的居民有户），月平均用电量为的居民有户），所以抽取比例，所以在月平均用电量为的居民中应抽取户．21．如图，在直三棱柱中，，是的中点，.（1）求证：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）3【分析】（1）连接，交于点，连结，利用中位线定理证明平面．（2）通过平移，表示出异面直线和所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得．所以可得解．【详解】解法一：（1）连结，交于点，连结.在直三棱柱中，四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，.又平面，平面，，所以，，，所以.解法二：（1）证明：取的中点，连结，，，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，又是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）过作于，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，，又，，，所以.【点睛】