2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b为正实数，且满足a+2b=1，则2a+1bA.42 B.4+22 C.2.已知全集U=R，集合A={y|y=x2+1}，B={x|−1≤x≤2}，则∁A.(−∞,−1) B.(1,+∞)

C.(−∞,−1)∪(2,+∞) D.(−∞,1)∪(2,+∞)3.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=4，且BC=CD=BD=2，则四面体ABCD的体积为(

)A.2 B.6 C.5 D.4.若(1+2x)(1−2x)7=a0+A.−2 B.−3 C.253 D.1265.下列说法错误的是(

)A.若随机变量ξ、η满足η=2ξ−1且D(ξ)=3，则D(η)=12

B.样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62

C.当P(B)>0时，若事件A、B相互独立，则P(A|B)=P(A)

D.若A、B两组成对数据的相关系数分别为rA=0.8，rB6.如图，可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)，设A.∃x∈R，ℎ(x)>0

B.∀x∈R，ℎ′(x)<0

C.ℎ′(x0)=0，x=x0是ℎ(x)的极大值点

D.ℎ′(7.已知函数fx=ex+e−x−siA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=32，c=3，AB⋅A.332 B.2213二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于函数f(x)=−cosx的图象和性质，叙述正确的有(

)A.f(x)是R上的奇函数

B.f(x)值域为[−1,1]

C.将f(x)图象向右平移2024个单位，则所得函数图象关于y轴对称

D.当x∈[−π,π]时，f(x)有两个零点10.已知圆锥SO的侧面积为4π，底面圆的周长为2π，则(

)A.圆锥的母线长为4

B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为14

C.圆锥的体积为153π11.已知定义在R上的函数f(x)，对任意x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=12；当x>0时，f(x)>0，则(

)A.f(x)为R上的单调递增函数

B.f(x)为奇函数

C.若函数f(x)为正比例函数，则函数g(x)=f(x)ex在x=0处取极小值

D.若函数f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z−i=3−zi，其中i是虚数单位，则|z−3z−|=13.一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是______．14.若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x)，对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数)，则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cos(2x+π6)(x∈[四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为23(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望;(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．16.(本小题12分)如图，AE⊥平面ABCD，E,F在平面ABCD的同侧，AE//DF，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=1(1)若B,E,F,C四点在同一平面内，求线段EF的长；(2)若DF=2AE，平面BEF与平面BCF的夹角为30∘，求线段AE17.(本小题12分)

全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计．年份201820192020202120222023年份编号x123456销售量y/百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：

(1)求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；

(2)求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量．

附：经验回归方程y=bx+a，其中b=i=1n(xi−18.(本小题12分)

已知函数f(x)=xe12x−ex+1．

(1)证明：∀x>0，总有f(x)<0成立；19.(本小题12分)

图是一个11阶的杨辉三角：

(1)求第22行中从左到右的第3个数；

(2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5？若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由．

(3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当m，n∈N∗，n≥m，(m+1)C参考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.BD

10.ACD

11.AB

12.413.31614.(−∞,−4]∪[4,+∞)

15.解：(1)由题意，得X的取值可能为0，1，2，3，

则P(X=0)=(1−23)3=127，

P(X=1)=C31×X0123P1248

故X的期望E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2．

(2)16.解：(1)∵AD//BC，BC⊂面BCEF，AD⊄平面BCEF，

∴AD/​/平面BCEF，∵AE/​/DF，则A,E,F,D四点共面，∵AD//平面BCEF，AD⊂平面ADFE，平面BCEF∩平面ADFE=EF，

∴AD/​/EF，又AE/​/DF，则四边形ADFE是平行四边形，∴EF=AD=1；(2)因为AE⊥平面ABCD，而AD，AB⊂平面ABCD，故AE⊥AD，AE⊥AB，

而AD⊥AB，

故以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=λ(λ>0)，则E0,0,λ，F0,1,2λ，B(1,0,0)，C1,2,0，

BE=(−1,0,λ)，BF设m=(x1由m⋅BE=0m⋅BF=0，得−x设n=(x2由n⋅BC=0n⋅BF=0，得2y依题意|cos解得λ=12，

17.解：(1)因为x−=1+2+3+4+5+66=3.5，y−=2.02+2.21+3.13+6.7+10.8+14.146=6.5，

所以i=16xi2−6x−2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5，i=16yi2−6y−18.解：(1)证明：令t=e12x，则因为x>0，t>1，t2=ex，x=2lnt，

f(x)=xe12x−ex+1，

即为g(t)=2tlnt−t2+1，

则g′(t)=2(lnt+1)−2t=2(lnt−t+1)，

又令φ(t)=lnt−t+1，则φ′(t)=1t−1=1−tt，

当t>1时，φ′(t)<0，φ(t)在(1,+∞)上单调递减，

所以φ(t)<φ(1)=0，

所以t>1时，g′(t)<0，g(t)在(1,+∞)上单调递减，

所以g(t)<g(1)=0，

即∀x>0，总有f(x)<0成立；

(2)证明：由(1)知2tlnt<t219.解：(1)第22行中从左到右的第3个数为：C222=22×212×1=231．(k+1)Ckm=(k+1)⋅k!m!(k−m)!；

(2)设