福建省南平市建瓯市芝华中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题B卷含解析

PAGE16-福建省南平市建瓯市芝华中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题（B卷）（含解析）一、选择题：1.设合集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设合集，，依据集合的补集的概念得到故答案为：B。2.函数的定义域是（）A.[1，+∞) B.(1,+∞) C.(2，+∞) D.[2，+∞)【答案】C【解析】本题考查函数的定义域.依据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.要使函数有意义，需使所以函数的定义域是故选C3.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】试题分析：由题意得，A中，若，则与平行或异面，所以不真确；B中，若，则与也可能是平行的，所以不正确；C中，若，则与平行或异面、相交，所以不正确；依据直线与平面平行的性质定理可知，D是正确，故选D．考点：线面位置关系的判定．4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以推断，即可得到既是偶函数又在上单调递增的函数．【详解】对于．，有，偶函数，但时为减函数，故解除；对于.，由，为奇函数，故解除；对于.，由于定义域，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故解除；对于.，由，为偶函数，当时，，是增函数，故正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，留意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算各区间端点的函数值，依据零点的存在性定理推断．【详解】在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A.1 B.3 C.6 D.2【答案】D【解析】【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.四棱锥的体积是.故选D.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需驾驭求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．7.函数与在同一坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的解析式，推断函数的图象，然后推断的形态即可．【详解】解：因为函数过，解除A；是减函数，且与轴的交点为，解除B和D，故选C．【点睛】本题考查函数的图象的推断，留意常见函数的性质的应用，是基础题．8.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】试题分析：如图所示斜二测画法下的三角形的面积为，那么原来平面图形的面积,故选B.考点：斜二测画法9.已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.【详解】若f（x）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满意即，整理得.故选：B【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，依据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.10.某正方体的平面绽开图如图所示，则在这个正方体中（）A.与相交 B.与平行 C.与平行 D.与异面【答案】B【解析】依据题意得到立体图如图所示：A与是异面直线，故不相交；B与平行，由立体图知是正确的；C与位于两个平行平面内，故不正确；D与是相交。故答案为：B。11.函数有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点，画出函数的图象，依据图象可得的取值范围．【详解】解：函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点点，函数的图象如下：依据图象可得，故选：．【点睛】本题考查的学问点是根的存在性及根的个数推断，数形结合思想，其中娴熟驾驭函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．属于中档题．12.若直角坐标平面内的两点满意条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是()A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意可作出函数图象，结合图象分析；【详解】①当时，作的图象(图1)，再作轴右边的图象的中心对称图形，与轴左边图象只有一个交点，符合题意.时，作的图象(图2)，再作轴右边的图象的中心对称图形，若对称的图象过点,则，所以要满意与轴左边的图象只有一个交点，则有.故选：B【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解。二、填空题13.计算：_______.【答案】【解析】【分析】依据指对数的运算性质计算，，【详解】原式【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题。14.在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角大小为______．【答案】【解析】【分析】连接、、，可得为异面直线与所成的角，利用三角形的性质可求．【详解】解：如图，连接、、，，分别是，的中点且故四边形为平行四边形故为异面直线与所成的角又因为为正方体，所以即三角形为等边三角形，所以故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，涉及到正方体的结构特征、三角形等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力，是基础题．15.棱长为2的正方体外接球的体积是______．【答案】【解析】【分析】求出外接球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：正方体的外接球直径为正方体的体对角线，．．故答案为：【点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查计算实力，属于基础题。16.已知，，，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：，，依据的单调性可知，故．故答案为：【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．三．解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】分和两种状况分类探讨，能求出实数的范围．【详解】由已知得，∵，∴①若，则，此时．②若，则．解得．由①、②可得，符合题意的实数的取值范围为．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意子集定义及性质的合理运用．18.已知函数的两零点为.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)恒成立，求的取值范围．【答案】(I)(II)【解析】试题分析：（1）令，得，可求出两根，进而求得；（2）图象是开口向上，对称轴为为抛物线，探讨轴和区间的关系，得到函数的最值即可。解析：(I)令，得，不妨设，解得，，所以.(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，(1)当即时，，符合题意；(2)当，即时，，故；综合(1)(2)得.19.如图所示，在正方体中，是的中点，分别是，和的中点，求证：（1）直线平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）连接，由已知得，再由线面平行的判定定理可得直线平面；（2）连接，由已知得，从而得平面，又平面，由此可证明平面平面．试题解析：（1）如图所示，连接．∵分别是的中点，∴．又∵平面，平面，∴直线平面．（2）连接．∵分别是的中点，∴．又∵平面，平面，∴平面．又平面，且平面，平面，，∴平面平面．考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面平行的判定．20.已知函数，且.（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）推断的奇偶性并证明.（Ⅲ）推断在上的单调性，并赐予证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（1）由题意，即可求出的值；（Ⅱ）推断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；其次步：计算并与比较；（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；【详解】（Ⅰ）由得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为关于原点对称，∴为奇函数；（Ⅲ）函数在上是单调减函数，证明如下：设，且因为，所以，∴所以，即，所以在上是单调减函数。【点睛】推断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；其次步：计算并与比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；其次步：作差；第三步：变形；第四步：推断符号；第五步：下结论。其中第三步主要采纳通分，因式分解的方法。21.如图，四棱锥中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在的中点满意要求，证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，即可证明平面．（2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得．又平面，所以平面，结合（1），即可证明平面平面．【详解】（1）证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，，又，．所以，，因此四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，所以，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面，由（1）可知平面，又，故平面平面，故存在的中点满意要求．【点睛】此题考查直线与平面平行的推断及平面与平面平行的推断，考查学生分析解决问题的实力，正确证明直线与平面平行是关键．22.定义在上的函数对随意，都有（为常数）.（1）推断为何值时，为奇函数，并证明；（2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取值范围；（3）设，是上的增函