2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高三（上）学情检测数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高三（上）学情检测数学试卷（8月份）一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z1=1+i，z2=2+bi，若z1A.−2 B.2 C.−1 D.12.血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差服从正态分布X～N(30,σ2)，若P(26≤X≤30)=0.40，则随机变量X的第90百分位数的估计值为A.42 B.38 C.36 D.343.已知cos(α+β)=13,tanαtanβ=1A.1 B.13 C.23 4.已知函数f(x)=3sin2x+cos2x，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)A.在[π4,π2]上是增函数 B.其图象关于直线x=−π4对称

C.函数5.已知数列{an}满足，a1=a2=1，an+2=aA.624 B.625 C.626 D.6506.已知点P引圆x2+y2−6x−8y+24=0的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，若△PAB为等边三角形，则A.[4,6] B.[3,7] C.[3,6] D.[2,8]7.已知不等式x+alnx+1ex≥xa对x∈(1,+∞)A.−e B.−e2 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.加斯帕尔・蒙日是18−19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(如图所示).当椭圆方程为x2a2+y2b2切，则下列说法正确的是(

)A.椭圆M的离心率为12B.若G为正方形，则G的边长为25

C.椭圆M的蒙日圆方程为D.长方形G的面积的最大值为149.现有甲、乙两个盒子，甲盒装有6个白球3个红球，乙盒装有5个白球5个红球，则下列说法正确的是(

)A.甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是521

B.乙盒有放回地取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是38

C.甲盒不放回地取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是13

10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，NA.B1C//MN

B.B1C⊥平面MNC1

C.A到直线MN的距离为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(4)+f(5)=______．12.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN=13.如图，一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动，每次移动要么以13的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移动一步；要么以23的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移动一步.设移动2n(n∈N∗)步后回到点A的概率为An，到达点C的概率为Cn，则A1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=7，sinC=265．

(1)若cosB=57，求b的值；

(2)15.(本小题15分)

记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．

(Ⅰ)求an和Sn；

(Ⅱ16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

(1)证明：直线CE//平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M−AB−D17.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，右顶点为E(2,0).A，B为双曲线C右支上两点，且点A在第一象限，以AB为直径的圆经过点E．

(1)求C的方程；

(2)证明：直线AB恒过定点；

(3)若直线AB与x，18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x(aex−x−2)(a∈R)．

(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程；

(2)若f(x)的极大值为f(−1)，求a的取值范围；

(3)若a≥1，证明：当x>0时，f(x)−(a−2)x+参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.C

6.B

7.C

8.ACD

9.BC

10.ACD

11.−1

12.13213.59

(14.解：(1)因为B∈(0,π)，cosB=57，所以sinB=1−2549=267，

由正弦定理bsinB=csinC可得b=csinBsinC=7×267265=5；15.解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d>0)，

因为S5=5a3=85，所以a3=17，

由a6=7a1得，a3+3d=7(a3−2d)，

所以17+3d=7(17−2d)，解得d=6，

所以a1=a316.解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，

因为E是PD的中点，

所以EF/​/AD，EF=12AD，

又AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，

∴BC/​/AD，

∴EF/​/BC,EF=BC，

∴四边形BCEF是平行四边形，

可得CE/​/BF，

又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

∴直线CE/​/平面PAB；

(2)如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，

由于△PAD为正三角形，则PO⊥AD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂侧面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

又CO⊂平面ABCD，

所以PO⊥CO．

因为AO=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC=90∘，

所以四边形ABCO是矩形，

所以CO⊥AD，

以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系O−xyz，

不妨设AB=BC=12AD=1，则OA=OD=CO=1，OP=3．

又因为△POC为直角三角形，OP=3OC，

所以∠PCO=60∘．

作MN⊥CO，垂足为N，连接BN，

因为PO⊥CO，所以MN/​/PO，

又PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，

所以∠MBN即为直线BM与平面ABCD所成的角，即∠MBN=450．

设CN=t，因为∠PCO=60∘，

所以MN=3t，BN=BC2+CN2=t2+1．

因为∠MBN=45∘，所以MN=BN，

即3t=t2+1，解得t=22，

所以ON=1−22，MN=6217.解：(1)由题右顶点E(2,0)，则a=2，

又e=ca=62，解得c=3，则b=c2−a2=1，

所以双曲线C的方程为：x22−y2=1；

(2)证明：由题，直线AB的斜率不为0，

则可设直线AB：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程

x=my+tx22−y2=1，消去x得(m2−2)y2+2mty+t2−2=0，

则m2−2≠0Δ=−8(m2+t2−2)>0，即m2≠2m2+t2<2，则y1+y2=−2mtm2−2，y1y2=t2−2m2−2，

因为以AB为直径的圆经过点E，

所以kAE18.解：(1)当a=2时，f′(x)=2ex−x−2+x(2ex−1)=2(x+1)ex−2x−2=(x+1)(2ex−2)．

则f′(0)=(0+1)(2e0−2)=0，即曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率为0，

所以切线方程是y=0；

(2)若a>2e，则对x∈(−∞,ln2a)∪(−1,+∞)有f′(x)=(x+1)(aex−2)>0，对x∈(ln2a,−1)有f′(x)=(x+1)(aex−2)<0．

从而f(x)在(−∞,ln2a)和(−1,+∞)上递增，在(ln2a,−1)上递减，故f(x)的极大值为f(ln2a)>f(−1)，不满足条件；

若0<a<2e，则对x∈(−∞,−1)∪(ln2a,+∞)有f′(x)=(x+1)(aex−2)>0，对x∈(−1,ln2a)有f′(x)=(x+1)(aex−2)<0．

从而f(x)在(−∞,−1)和(ln2a,+∞)上递增，在(−1,ln2a)上递减，故f(x)的极大值为f(−1)，满足条件；

若a=2e，则对x∈(−∞