2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=(

)A.{x|1≤x≤3} B.{x|0≤x≤4} C.{x|0≤x≤1} D.{x|3≤x≤4}2.复数z=3−i1−i(i是虚数单位)的虚部是A.2 B.−2 C.1 D.−13.下列命题中错误的是(

)A.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

B.以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球

C.棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点

D.用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台4.已知平面向量a与b不共线，向量m=xa+b,n=aA.1 B.−13 C.1或−13 5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=2bcosA，asinA−bsinB=c(sinC−sinB)，则角B=(

)A.2π3 B.π6 C.π36.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为(    )米．A.45(6−2) B.45(7.函数y=sin(ωx+φ)(其中常数ω>0，|φ|≤π3)的最小正周期是π，若其图像向右平移A.关于点(π12,0)中心对称 B.关于点(5π12,0)中心对称

C.关于直线x=8.已知向量a、b、c满足：b为单位向量，且a+2b和a−2b相互垂直，又对任意λ∈R不等式|A.1 B.635 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是(

)A.当a=22，A=30°，C=45°时，有两解

B.当a=5，b=7，C=60°时，有一解

C.当a=2，b=1，A=30°时，有一解

D.当a=6，10.已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为z1−，zA.z1+z1−∈R B.z11.设非零向量a，b的夹角为θ，定义运算a∗b=|aA.若a∗b=0，则a//b

B.若|a|⋅|b|=1，则(a∗b)min=−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tanα=22，则sin2α=13.若a>0，b>0且满足2a+b=2，则4a+a14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−b2=2c2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=120°，AB=33，CD=2，AD=1．

(1)求点C到AD所在的直线的距离；

(2)以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积．16.(本小题15分)

如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=2EB,M是线段CE上一动点．

(1)ME=mMA+nMB,m,n∈R，求m⋅17.(本小题15分)

在△ABC中，D是线段BC上的一点(不含端点)，∠ADC=π3．

(1)若AC⋅sinC=32，求AD的长；

(2)若∠CAD=2∠BAD18.(本小题17分)

对于三个实数a，b，k，若(1+a2)(1+b2)≥k|a−b||1−ab|成立，则称a，b具有“性质k”．

(1)∀x∈R，判断x，0是否具有“性质2”？

(2)∀y∈(π6,π4)，判断tany，0是否具有“性质4”？

(3)若存在x0∈[3π19.(本小题17分)

已知函数f(x)=logax−1x(a>1)．

(1)若f(x)在[2,4]上的最小值为12，求a的值；

(2)证明：f(x)参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.C

6.B

7.D

8.D

9.BC

10.AB

11.AC

12.213.4+214.(2,815.解：(1)如图所示，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，点C到AD所在的直线的距离为CE，

在Rt△CDE中，sin(180°−∠ADC)=sin60°=CECD，

所以CE=CD⋅sin60°=2×32=3，即点C到AD所在的直线的距离为3．

(2)以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，

该几何体可以看成以AE所在的直线为轴，旋转一周形成圆台AE，挖去圆锥DE的组合体，

所以它的体积为圆台16.解：(1)因为ME=MA+AE=MA+2EB=MA+2(MB−ME)，

化简得ME=13MA+23MB，

因为ME=mMA+nMB,m,n∈R，

所以m=13，n=23，mn=29；

(2)因为CA=−AB−AD，CE=CB+BE=−AD17.解：(1)在△ACD中，D是线段BC上的一点(不含端点)，∠ADC=π3，AC⋅sinC=32，

由正弦定理得：ADsinC=ACsin∠ADC，所以AD=AC⋅sinCsin∠ADC=3232=1．

(2)设∠CAD=2∠BAD=2α，则B=π3−α，C=2π3−2α，

在三角形ABD中，由正弦定理得：BDsinα=ADsin(π3−α)，

18.解：(1)对∀x∈R，1+x2=1+|x|2≥2|x|，当且仅当|x|=1时取等号，

所以x，0具有“性质2”．

(2)令t=tany∈(33,1)，而1+t2−4|t|=t2−4t+1=(t−2)2−3，

函数f(t)=(t−2)2−3在(33,1)上单调递减，f(t)<f(33)=43(1−3)<0，

即∀t∈(33,1)，1+t2−4|t|<0，因此∀y∈(π6,π4)，1+tan2y≥4|tany|不成立，

所以tany，0不具有“性质4”．

(3)由sinx0，1具有“性质2”，得(1+sin2x0)⋅2≥2|sinx0−1||1−sinx0|，

则1+sin2x0≥(1−sinx0)219.解：(1)因为a>1，

所以函数y=logax在(0,+∞)上为增函数，

又函数y=−1x在(0,+∞)上为增函数，

所以函数f(x)=logax−1x在[2,4]上为增函数，

所以当x=2时，f(x)取最小值，最小值为loga2−12，

所以log