5.4.2第2课时正弦函数余弦函数的性质单调性值域课件高一上学期数学人教A版

第五章三角函数正弦函数、余弦函数的性质第2课时单调性、值域人教A版

数学必修第一册课程标准1.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.基础落实·必备知识一遍过知识点

正弦函数、余弦函数的图象和性质函数y=sin

xy=cos

x图象

定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期为2π最小正周期为2π奇偶性奇函数偶函数

对称中心的横坐标是函数的零点

名师点睛对正弦函数、余弦函数的单调区间的理解(1)k取Z内的每一个值,都对应着一个单调递增区间及单调递减区间.(2)正弦函数或余弦函数取最值时,对应着函数图象的最高点或最低点.思考辨析提示

正弦函数有无数多个单调递增区间,借助着k就可以将这些单调递增区间表示出来,k每取一个整数就得到正弦函数的一个单调区间,例如k=0自主诊断1.函数y=cosx在[0,4π]上的单调递增区间为

.

2.比较sin250°与sin260°的大小.[π,2π],[3π,4π]解

∵sin

250°=sin(180°+70°)=-sin

70°,sin

260°=sin(180°+80°)=-sin

80°,sin

70°<sin

80°,∴-sin

70°>-sin

80°.∴sin

250°>sin

260°.3.[人教B版教材习题]求函数y=sinx-的所有零点组成的集合.重难探究·能力素养速提升探究点一求三角函数的单调区间【例1】

求下列函数的单调递减区间:

规律方法与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin

z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则先利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究点二单调性在三角函数中的应用【例2-1】

[苏教版教材例题]不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:D规律方法比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间的化至同一单调区间.变式训练2(1)比较大小:

探究点三与三角函数有关的函数的值域问题角度1.形如y=Asin(ωx+φ)+k的值域

[-2,2][-1,3]角度2.化为f(sinx)或g(cosx)型的函数求值域【例3—2】

求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;角度3.分离常数法求值域或最大(小)值

规律方法与三角函数有关的函数的值域(或最大(小)值)的求解思路(1)求形如y=asin

x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的值域(-1≤sin

x≤1)求解.(2)对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,

|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.(3)求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最大(小)值,求解过程中要注意换元后自变量的取值范围.(4)求形如y=

,ac≠0的函数的值域,可以用分离常数法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.7学以致用·随堂检测促达标12345A.单调递增

B.单调递减C.先减小后增大 D.先增大后减小C123452.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为(

)

C解析

因为sin

x∈[-1,1],所以当sin

x=-1,即x=-+2kπ(k∈Z)时,ymax=3.123453.下列关系式中正确的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°C解析

sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-