数分2练习试题

数分2练习题

一、单选题

1.设/(x)=」3,则/(X)的一个原函数为(

).

1-X

.111—X

A.arcsinxB.arctanxC.—In----

21+x

2.设/=j[dx,则/=(

).

13

A.-4X-5+CB.---T-+CC.—+CD.-X-3+C

3x333

1+COSX,,

3、不定积分J----；——ax-().

x+sinx

A.ln|14-sinA|+CB.ln|x+cos^4-C

C.ln|x+sinA|+CD.ln|l+cosx|+C

4、一竺在一的一个原函数为().

1+sinxcosx

A.ln(l+sin2x)B.ln(2+sin2x)

C.ln|x+sin2^D.ln(2-sin2x)

5、设/(x)为定义在［—a,a］上的连续奇函数，且当x>0时，/(x)>0则由

丁=/(1)，1=一。，1=。及工轴围成的图形面积不是(C).

A.£|/(x^xB.2.小人

C.「/(X)公+J"/(x)dxD.£/(x)Jx-£/(x)6k

6、若连续曲线y=./；(x)与y=^(x)在上关于二轴对称，则积分

f/2(外心的值为().D

A./{x}dxB.2^f2(x)dxC.2J[ft(x)dx-f2(x^\dxD.O

a

7、设/(x)在[-a,a]上连续，则J./i(一x)dx=()D

-a

aaa

A.0B.2jf{x}dxC.-Jf(x)dxD.Jf(x)dx

0-a-a

8、设/(x)在给定区间上连续，则『//(f心=().B

*0

B加了心C.2(xf(x)dxD.£xf(x)dx

1

,3.<4

'兀sinxcosx

9、定积分J—dx=()B

』71+7

A.一兀B.0C.71D.In

10、定积分「无?sin尤dx=（).A

J-兀

A.OB.lC'.-ID.-2

32

,,士工n八1%sinx

11、定积分1-----—、-dx=).B

42

J-4X+2X+2

A.1B.0C.-lD.-2

12、f的值为()..B

J-2x+3

A.2In2B.ln50D.不存在

且『ln(l+产功=(

13、).D

dx3x

222x

A.ln(l+x)B.-2xln(l+x)C.——rD.—ln(l+厂)

1+X~

设，=,«一1）3（，-2）力，则§

14.).A

A-0

A.2B.-2C.-5D.5

15.下列积分中不属于广义积分的是（).B

r+co/、B「上

AJ,ln(l+x)dxD.dx

x2-\3

16.--^dx的值为().D

A.-2B.2c.oD.不存在

).C

c.oD.不存在

18、设级数”的前〃项和S“,则收敛是｛S“｝有界的（）.B

n=lA=1〃=1

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.无关条件

opnoc

19、设级数“的前”项和S“=Z散，则｛S.｝有界是收敛的（）-C

M=1k=\〃=1

A.充分必要条件B.充分非必要条件C必要非充分条件D.无关条件

20.设正项级数的前”项和S,,=，＞*，则｛S“｝有界是收敛的（）.A

n=\欠=1?i=l

A.充分必要条件B,充分非必要条件

C.必要非充分条件D.无关条件

2

21.下列级数中发散的是（）.D

c1

A.Z最B.Z(-1尸Z号D.

+1J/。+1

22.下列级数中发散的是（）.D

2白12〃+l丫n-\

A.B，5D.Z(T)"

3n+2)n

23.下列级数中发散的是（).A

『3"〃！『10"2"〃!

A.----B.〉---D-E

乙nn乙nln

24、函数列数=x",〃=l,2,…，在（一1,1］（）成立.A

A.收敛但非一致收敛B.一致收敛C.发散D.不能确定

25、函数列力==1,2,…，在［―］为］（)成立.B

B.收敛但非一致收敛B.一致收敛C.发散D.不能确定

qinJ?x

26>函数列<(])=-----在(-8,+00)内().A

n

A.一致收敛于0B.收敛于0但非一致收敛C.收敛于xD.发散

27、若Vxw/,V〃eN,有且级数收敛，则函数级数汇（工）在区

〃=1n=\

间/（）.C

A.条件收敛且一致收敛B.条件收敛且非一致收敛

C.绝对收敛且一致收敛D.绝对收敛且非一致收敛

28、在区间/上，”“（X）一致收敛于0是£”“（x）一致收敛的（

）.B

H=1

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

29、级数2方的收敛域为（

).D

n=l"

A、（-1,1）B、（-1,1］C、[-1,1)D>[-1,1]

CO/

30、级数21的收敛域为（

).C

A、（-1,1）B、（-1,1］C、[-1,1)D>[-1,1]

3

31、[―。一1）〃的收敛域为（）.C

小

A、（-1,1）B、（0,2]C、[0,2）D、[-1,1）

32、Za+1）的收敛域为（）.C

n

A.[-1,1）B.[-2,0]C.[-2,0）D.[0,2）

33、基级数£（—（凶<2）的和函数为（

）.C

n=12

22xX

A.B.C.D.

2-x2+x2+x2-x

34、幕级数fl,（W<2）的和函数为（）.

A

n=02”

2121

A.----B.-----C.-----D.

2—x1—2x2+1l+2x

35、基级数£（—1）"二，（同<2）的和函数为（

）.C

n=\2

x2xX

A.B.C.D.-----

2+x2-x2+x2-x

36、幕级数才（一1）”[，（W<2）的和函数为（

）.C

H=O2

1122

A.-----B.-----C.-----D1----

l+2xl-2x2+x2-x

37、函数/（x）=e”展开成x的基级数为（）.I）

f323

xXX

A、1+xH----1---F••,X£RB、1--x-\---------1---X

2!3!2!3!

6

-i2丁f9X，X

C^1+rd----1----1■…xwRD>1一厂T---------卜…

2!3!2!3!

38、函数=展成x的幕级数是（）.A

002ft+lOOW+1OO2/7oo2n+l

A.y--B.允Jc.D.-

n=0〃！〃=o"！〃=o"！士（2〃+l）!

4

39、设/(x)为定义在［-a,上的连续奇函数，且当x>0时，/(x)>0,则由

y=/(%),%=-a,x=a及x轴围成的图形面积A=()为不正确.C

A.。/(%粒B.2］；/(%卜］

pafO广。fO

c.£f{x}dx+^_J{x}dxD.£f{x}dx-^_J{x}dx

40、曲线y=L与直线y=x及x=2所围成的平面图形的面积为A,则A=().B

X

41、曲线y=ln(l—/)上一段弧长$=().B

C+dx

lo/T^D.fJl+［ln(j2)h

二、填空题

I、若/(x)=I，则f/S)dx=_________________.

JX

2、设厂(Inx)=1+x则/(x)=.

3、若［/(%)公=五+。，则，％"(1-/)公=.

4、若］70粒=d+c,贝uj4a—》2心=

7、设/(%)为连续函数，则［：产2［/(%)—/(一%)口=.答案：0

5

8、积分J；卜2_xpx=.

答案：—

6

9、(J：xiarctanxdx^=.

答案：0

10、〃x)=_J在［0⑵上的平均值为.

1+x

y-ln5

答案：4

11>/(X)=X2+$皿封05%在［0,4］上的平均值为.

1

答案：一万0“

3

/a)=V在［0,3］上的平均值为.

1/、

答案：3

「sin/力1

13、极限lim包~-dt=__________.答案：—

一。x33

14、设/(x)在句上连续，/(x)=x「fGdt贝If'(a)=.

Ja

答案：af(a)

jr

15、由平面曲线y=cosx,0<x<-绕X轴旋转所成旋转体的体积为

2

储

答案:

4

16、平面图形0WyWx,(04x4l)绕x轴旋转所得旋转体的体积为

〜

答案：一1乃

3

C4-001

17、若反常积分-3—冲=1,则常数。=_________

Joa+x

TT

答案：-

2

18、若反常积分r-一时=1,则常数卜=_________答案：

J-1+尸・兀

6

19、若反〃“收敛，则lim(%+cosun)=_________

/?—>00X

〃=1

答案：1

20、若Z〃“收敛，则lim(e"，+":)=.

〃一>8

答案：1

21、若Z%；收敛，则lim(e“"+cos〃“)=

〃一>8

答案：2

22、已知级数：J。+"收敛,则。=.

„=i〃

答案：0

23、若£““(无)在区间出,可一致收敛于和函数S(x),且____________________________,

M=1

则和函数S(x)在区间［。向可积，且fS(.

答案：«„(%),(〃=1,2「-)在区间3,打上连续，£j)“(x)必：

88

24、函数级数的所有收敛点组成的集合，称为

〃=1n=l

的.答案：收敛域

25、设幕级数的收敛区间(—3,3),则塞级数£>%(1户的收敛区间为

〃=0"=0

•答案：(-2,4).

26、若X。/〃的收敛半径为R，则工为&+2)〃的收敛区间为.

答案：(―2—R,—2+R)

27、若的收敛半径为尺，则工%(工一2)”的收敛区间为.

答案：(2-R,2+R)

28、若函数/(x)在区间|-万，万］可积，则函数/(x)的傅立叶系数a=

1s兀

.答案：bn=—\f(x)sinnxdx

7

29、若函数/(x)在区间|-万，万]可积，则函数/(%)的傅立叶系数%=.

sn

答案：a=—1[/(x)costixdx

H万Jr

30、设/(x)是周期为2"的周期函数，且/(x)=x(F<xW〃)，则/(X)的傅里叶叶系

数4=.答案：fl„=0

31、设/(x)是周期为2%的周期函数，且(-乃<x«外，则/⑴的傅里叶系数

b“=.答案：超=0

三、计算题

1、Jxlnxdx

2、(xarctanxtix

rJx+1-1j

5、t——--dx

JVx+1+1

3

6、求曲线：y=x"0<x<4的弧长.

解：y'=|户所求弧长：s=—1)

7、r兀xcosxdx

lo

解：令〃=X,cosxdx=dv,则du=dx.v=sinx

£xcosAzZx=xsin,r|o-Jsinxdx=cosx|

0

8、J)"

解：Jo公=/e-2£xexdx=e-2(-£exdx\=e-2(e-ex^)=e-2

8

9、

J0

解:则x=ln（l+产）

且：x=0时,x=In2时/=1

,2

'['（1Uf）力=[2（/-arctanrL=2--

3dt=2

0Jo—厂2

4x+2,

10、~■/•clx

»0J2x+1

t2-l

解令+1=19则x=

2

2।

>4%+2.1^7-tdt（「+3）力=；（；/+3r）|：=7：

―/-dx—

10V2x+1

f2tCOStdtQrrner

lim^---------=lim-——=21=2

11、

“T01-COSXXTOsinx

[sin/JrJ；sin3

「sin%1

12、解：lim=lim----=—

2

XTOx•so2X2

[2tcostdtlim止竺吧=lim*吧=2」=1

lim^---------

13、解:

z01-cosxr->。1-cosxa。sinx

[teldt

Jo

14、lim-

X2

xsintdt

1°Jo

['te'dt2/J

解lim工-------=lim

2X£sinfJz+x2sinx

Jo

2

r2x

lim-----------------

v^（）2[sinfdf+xsinx

Jo

4x

=lim

D3sinx+xcosx

4

lim——：---------=1

x->o.smx

3----+cosx

x

9

>+ccxarctanx.

------―dx

2

15、l+x

xarctanx「xarctanxlim上；7t

解由于4=limx-limx-------；-•arctanx

2

XT400l+xxfx1+x~一位1+X

rr•4ooxarctanx

这里p=l,4=5,从而dr发散

Il+x2

+8xarctanx

16、dx

1+x3

3

xarctanxi.2xarctanxr71

解由于4=lim/-limx----------lim----r•arctanx

3~2

X->+ocl+x1+x—例1+X

他xarctanx.“

这里〃=2,2=从而I------；—dx绝对收敛

1l+x2

1

17>函数f(x)=展开成x的幕级数，并确定收敛域。

x2,—3x+2

111

解：f（x）

(x—l)(x—2)x—2x—1

而」118Y”

XLxe(-2,2)

x—22-5名2"^n+\

1--乙»=0n=0乙

2

1100

XC(T,1)

x—11—xn=0

2

因此/(x)=xe(-l,D

tn+l

n=02

1

18、将函数/（*）=展开成X的基级数，并确定收敛域.

x2-x-6

111

解：/（幻=一513-％2+x

111=立同这W，国＜3

3-x3J

1--n=07〃=0。

1xn

凶<2

2+x2

18n8"[8]

所以/(%)=-1[£前r+£(-1)"尹r]=一]£前+(一1)”

—2vxv2

,〃〃=0,n=0乙D«w=(0)_°

io

19、将/(x)=」一展成x—3的幕级数，并确定其收敛域。

1+x

切1111

解'/----=----------=----------•••

1+x4+U-3)4]।X-3

I00

又—=£/,|幻<1…

1-X〃=0

18_a

=Z(-1)，咛r)"…

I+.°n=04

4

i18丫_ax(-l)nu-3)n

故17r君W丁)‘露其中即-1a<7

4n+,

20、求幕级数£〃x"的和函数，并指出收敛域.

n=l

00+30QZX+00

解：设S(x)=£〃x",即出^=£〃/1

“=1M=1工W=1

所以：出upq二一

X11一XJ(1-x)

X

S(x)=———xe(-l,l)

(1一无广

8n+\

21、求幕级数5L-的和函数并指出收敛区间

£〃+i

解：基级数的收敛半径为R=l,收敛区间为(-1,1),

„=|"+1

s丫"+100Y

设：s(x)=Zj，贝|Js'(x)=£x〃=丁匚，

n=\鹿+1n=\1一元

故:s(x)=J?(M=J。三力=J；(-1-71T所

11

四、证明题

1.试证尸(。=fln(尸+2fcosx+l)公为偶函数.

J0

证明：F(-t)=fIn(产一2/cos%+l)公

Jo

令x=兀一u

F(-Z)=-Jln(r2+2/cosw+l)du

=fln(r2+2^cosx+Y)dx

Jo

=F«)

2.设/在口,司上连续，/=证明尸(x)=/(x).XG[a，U

证明:由于F(x)=J；=尤加(加-口(加

故/(X)=[；fgt+虫》)-V(x)=[:f3dt

F"(x)=f(x)

3.证明/(x)=te-dt当x>0时单调递增.

，

证明：因为/'(x)=([：7-'力)=2de-/,当x>0时，2///>0,f\x)=^te-'dt

当x>0时单调递增.

002”•山

4、Z

n=\n

2n-n

解：因为％=——

n

.u2"”・(〃+1)!〃"

则nilhlm—n+i=lrim----------：------=hrm

Z84〃〃-8(n+l),/+2?,n!〃―

1+-

n

由比值判别法该级数收敛，且为绝对收敛.

、-3"〃!

5、2/

n=\〃

3向(〃+1)!n"

解：因为！吧》:lim——卜lim331

-0(〃+1广

则由比值判别法该级数发散.

12

6、判别函数列力(x)=x"-x2n在[0,1]上是否一致收敛.

证明对xe[0,l],有lim力(©=0

n2"=

f't(x)=x-尤nx"-'(1-2x"),

令，'(x)=0,得X=击，而£(0)=力⑴=0,力(击)=；

于是limsup|力(x)-0]=!

w->oo.re[0,ll4

故函数列力(x)=%〃一/〃在[0,1]上非一致收敛.

X

7、判别函数列力(x)=――,〃=1,2,…在(-00,+oo)上是否一致收敛.

1+〃-厂

证明对任意的xe(-0+8),有lim力(©=0

n—>oo

又因为limsup|/r(x)-0|=limsup—=0

00xw-