专题04完全平方公式的六种考法全攻略(原卷版+解析)

专题04完全平方公式的六种考法全攻略【知识点梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。类型一、乘法公式综合运用例.计算：【变式训练1】计算(1)(2)【变式训练2】计算____________．类型二、知二求二例1．已知实数a，b满足，，则a+b的值为______．例2．已知，则________________.【变式训练1】已知，则的值为_____．【变式训练2】已知，则的值为_____．【变式训练3】（1）已知实数x，y满足，，求的值．（2）已知实数a、b满足，，求的值．类型三、求字母取值例1．如果是一个完全平方式，那么k的值是（

）A．6 B．±6C．-6 D．±3例2.已知是完全平方式，则常数k等于（）A．8 B． C．16 D．8或【变式训练1】若，则________．【变式训练2】已知是一个完全平方式，则m的值为()A．2 B．±2 C．4 D．±4【变式训练3】多项式是一个完全平方式，则_______．如果是完全平方式，则的值是________．类型四、配凑完全平方式例1．若实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．【变式训练1】已知，，，则代数式的值为______．【变式训练2】已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________．【变式训练3】已知，满足，求的值．【变式训练4】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．类型五、整体思想求值例．已知，则代数式的值为______．【变式训练1】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；(2)根据（1）中的结论，若，，则______；(3)拓展应用：若，求的值．【变式训练2】阅读理解，若x满足，求的值．解：设，，则，，，归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足，则____________________．(2)若x满足，求的值．(3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？【变式训练3】图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．(1)直接写出图中的阴影部分面积；(2)观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系；(3)根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________；(4)已知，求的值．类型六、几何运用例．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．【变式训练1】将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：(1)若，，求的值；(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．【变式训练2】阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．【变式训练3】我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：，∵，∴，∴．(1)填空：（______）______．(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程．(3)求的最小值．【变式训练4】如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①．方法②；(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是；(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算：；(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．专题04完全平方公式的六种考法全攻略【知识点梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；=2\*GB3②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。类型一、乘法公式综合运用例.计算：【答案】【详解】解：===．【变式训练1】计算(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，（2）．【变式训练2】计算____________．【答案】【详解】解：原式，故答案为：．类型二、知二求二例1．已知实数a，b满足，，则a+b的值为______．【答案】【详解】解：∵∴故答案为：．例2．已知，则________________.【答案】5【详解】解：，，即：，故答案为：5．【变式训练1】已知，则的值为_____．【答案】25【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：25．【变式训练2】已知，则的值为_____．【答案】【详解】解：，，故答案为：．【变式训练3】（1）已知实数x，y满足，，求的值．（2）已知实数a、b满足，，求的值．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，，∴，，∴，，∴．类型三、求字母取值例1．如果是一个完全平方式，那么k的值是（

）A．6 B．±6C．-6 D．±3【答案】B【详解】解：是一个完全平方式，，即，故选：B．例2.已知是完全平方式，则常数k等于（）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【详解】∵是完全平方式∴，∴∴解得故选：D．【变式训练1】若，则________．【答案】【详解】解:∵，，∴m2=a；-6m=24∴m=-4，a=16，故答案为：16【变式训练2】已知是一个完全平方式，则m的值为()A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】C【详解】解：∵x2-4x+m是一个完全平方式，∴m=，解得m=4．故选：C．【变式训练3】多项式是一个完全平方式，则_______．如果是完全平方式，则的值是________．【答案】

16

【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，∴，∵是完全平方式，∴，，又∵，∴，故答案为：16，．类型四、配凑完全平方式例1．若实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，∴．故选：B．【变式训练1】已知，，，则代数式的值为______．【答案】3【解析】解：，，，，，，则原式，故答案为：3．【变式训练2】已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________．【答案】12【详解】解：，，，，，，解得，，，、2、5不能组成三角形，∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，∴这个等腰三角形的周长为：．故答案为：12．【变式训练3】已知，满足，求的值．【答案】6【详解】解：===，∵，∴，∴，∴，原式===．【变式训练4】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．【解析】（1）原式当时，代数式有最小值为1；（2）原式代数式有最小值为3．（3）原式当，时，多项式有最大值为17．类型五、整体思想求值例．已知，则代数式的值为______．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练1】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；(2)根据（1）中的结论，若，，则______；(3)拓展应用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即．故答案为：；（2）解：∵，，∴．故答案为：；（3）解：∵，又∵，∴，∴．【变式训练2】阅读理解，若x满足，求的值．解：设，，则，，，归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足，则____________________．(2)若x满足，求的值．(3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？【答案】(1)21(2)(3)平方单位【详解】（1）解：设，；则，，∴，故答案为：．（2）解：设，，则，，∴，故答案为：．（3）解：由题意得，，，∵长方形的面积为150，∴，∴，+设，，则，∴∴阴影部分的面积，平方单位，∴阴影部分的面积和为364平方单位．【变式训练3】图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．(1)直接写出图中的阴影部分面积；(2)观察图，请直接写出三个代数式之间的等量关系；(3)根据（2）中的等量关系：若，则的值为___________；(4)已知，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)6【详解】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；（2）图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，因此有；（3）由（2）可知，，，故答案为：；（4）设，，则，，∴，答：的值为类型六、几何运用例．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．【答案】(1)3，2，7(2)，(3)8【详解】（1）解：，又种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为，∴需种纸片3张，种纸片2张，种纸片7张，故答案为：3，2，7；（2）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为，∴，故答案为：；设，，则，，，∵，∴，则，∵，∴，∴；（3）解：由题意和图形知，，，则，则，∴，∴或（舍去），阴影部分的面积和为．【变式训练1】将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：(1)若，，求的值；(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：，，，，；（2）阴影部分的面积为：，，．【变式训练2】阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)2，5，>(2)，理由见解析【详解】（1）∵∴故答案为：2，5，>；（2）∴∵∴∴．【变式训练3】我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有