与三角形相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（解析版）

专题22与三角形相关的压轴题

一、选填题

1.（2021•山东淄博市•中考真题）如图，在RhABC中，NACB=90°,CE是斜边AB上的中线，过点£作

石尸交AC于点若8C=4,△AM的面积为5,贝Usin/CEF的值为（）

C

A.-B.—C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】由题意易得△人£/设CE=5E=AE=X,则有A8=2X,则有=记，

］（）4J4f-16

EF=—,然后可得而=一"一—，过点C作CHLAB于点H,进而根据三角函数及勾股定理可求解

x—

x

问题.

【详解】解：；，NACB=9（）°,

二ZAEF=ZACB=90°,：.^AEF^ACB，

CE是斜边AB上的中线，，CE=BE=AE=-AB,

2

设CE=5E=AE=x,则有AB=2x,

3C=4,由勾股定理可得AC=y/AB2-BC2=J4f-16，

•..△4所的面积为5,；.£7;'=此，

X

BCAC4_44厂-16

42

^,AEF^^ACB,/.=——,即10x,化简得：x—25x+100=0»

EFAE—

x

解得：丁=5或元2=20,当f=5时，贝I4c=2,与题意矛盾，舍去；

・♦,当％2=2。时，即工=2石，过点。作于点从如图所示：

c

AB=4逐,AC=8,CE=2非，EF//CH,：.ZCEF=ZECH.sinZB=—=—

AB5

•••CH=BCsinZB=--HE=^CE2-CH2=—.

55

HE3

AsinZC£F=sinZECH=—=-；故选A.

CE5

【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形

的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

2.（2021•湖北鄂州市•中考真题）如图，中，NACB=90°,AC=2日8C=3.点P为八48c

内一点，且满足Ef+.当月?的长度最小时，AACP的面积是（）

A.3B.36C.D.-

42

【答案】D

【分析】由题意知NAPC=90。，又AC长度一定，则点尸的运动轨迹是以AC中点。为圆心，-ACK

2

为半径的圆弧，所以当8、P、。三点共线时，BP最短；在汝公夕?。中，利用勾股定理可求8。的长，井

得到点P是80的中点，由线段长度即可得到APCO是等边三角形，利用特殊Rt^APC三边关系即可求解.

【详解】解：•.•242+尸。2...ZAPC=90°

取AC中点。，并以。为圆心，LAC长为半径画圆

2

由题意知：当8、尸、。三点共线时，最短.\AO=PO=CO

・•.CO=；4c=gX="3C=3...BO=VfiC2+CO2=2G

BP=BO-PO=道•••点P是BO的中点

•••在Rt\BCO中，CP=、B0=6=P0：.^PCO是等边三角形，ZACP=60°

2

在Rt\APC中，AP=CPxtan60°=3SMPC=<APxCP==亭.

【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，

中档难度.解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆.

3.（2021•辽宁中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果AABC

是锐角（或直角）三角形，则其费马点尸是三角形内一点，且满足NAPB=NBPC=NCR4=120°.（例

如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=币,BC=28，尸为AAbC的费马点，则

PA+PB+PC=；若A6=2G,3C=2,AC=4,P为AABC的费马点，则以+P5+PC=

【答案】52不

【分析】①作出图形，过B,C分别作ND5P=NZ）CP=300,勾股定理解直角三角形即可

②作出图形，将绕点A逆时针旋转60。，P为AMC的费马点则B,P,P',C'四点共线，即

PA+PB+PC=BC'，再用勾股定理求得即可

【详解】①如图，过A作AOLBC,垂足为ZX

过氏C分别作NDBP=ZDCP=30°,则PB=PC,P为△ABC的费马点

A

AD=^AB2-BD2=V7^3=2PA+PB+PC=5

②如图：

•••AB=2>j3,BC=2,AC=4..-.AB2+BC2=\6,BC2=16

AB2+BC2=AC2ZABC=90°

sinABAC=—=-=sin30°ABAC=30°

AC2

将△APC绕点A逆时针旋转60°由旋转可得：/XAPC^AAP'C

AP'=AP,PC=P'C,AC=ACZCAC'=NPAP=60°

.•.△AP尸是等边三角形，，NB4C'=90°

•••P为△ABC的费马点即B,P,P',C四点共线时候，PA+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC'=AB'+AC2=7（273）2+42=2近

故答案为：①5,②2币

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的

关键.本题旋转△PAB,aPBC也可，但必须绕顶点旋转.

4.（2021•山东枣庄市•中考真题）如图，NBOD=45°,30=00,点A在OB上，四边形ABCD是矩

形，连接AC,BD交于点、E，连接OE交AD于点厂.下列4个判断：①OELBD；②NAOB=30°；

③DF=OAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是

.（填序号）

DC

AB

【答案】①③④

【分析】先根据矩形的性质可得BE=上，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的

性质可得NODB=NOBD=67.5°，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得NOR4=45°,然后根据角

的和差即可判断②；先证WAAOFM&4Z）3,从而可得"=AB，再设Q4=AD=2a（a>0）,从而可

得Af=（2血一2）a,OF=（4—2&）a,由此即可判断③；先证出AAOGM△ADE，从而可得

AG=AE,NQ4G=/DAE,再根据等腰三角形的定义可得△AEG为等腰三角形，然后根据角的和差可

得ZE4G=90°,由此即可得判断④.

【详解】解：•.•四边形ABC。是矩形，，AO，A8,8E=DE=LB。，

2

'：BO=DO,：.OE±BD（等腰三角形的三线合一），则①正确；

BO=DO,ZBOD=45°，,ZODB=ZOBD=1（180°-NBOD）=67.5°,

又•.♦ADL4B，.•.•△OD4是等腰直角三角形，

:.ZODA=45°,OA=AD,ZADB^ZODB-ZODA^67.5°-45°^22.5°,则②错误；

•.•BO=0O,8E=r>E,.•.NAOE22.5°=NAQ8（等腰三角形的三线合-），

2

ZAOF=ZADB

在“OF和ZVIDB中，<OA=OA,

ZOAF=NDAB=90°

:.^AOF=^ADB(ASA),,-,AF=AB，

设OA=4。=2a(a>0),•缈=OD=《O#+3=2缶,

AF=AB=OB—OA=2>/2a—2a=(2>/2—2)。»

DF=AD-AF^2a-(2^-2)a=(4-272)«,

•••与=(，—产皿=V2,DF=OAF，则③正确；

AF(2V2-2)a

•/^AOF=^ADB,/.OF=BD，

•••点G是线段O尸的中点，.•.OG='OE=L60=OE,

22

OA=DA

在AAOG和△?1£)£中，\^AOG=ZADE,:.^AOG=^ADE(SAS),

OG=DE

AG=AE,ZOAG=NDAE,,.^AEG为等腰三角形，

•.•NQ4G+NDAG=ZOAD=90°,/.ZDAE+ZDAG=90°,即NEAG=90°,

.•.△AEG为等腰直角三角形，则④正确；综上，判断正确的是①③④，故答案为：①③④.

【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知

识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键.

5.（2021•内蒙古呼和浩特市•中考真题）已知菱形ABCD的面积为2百，点E是一边8C上的中点，点尸

是对角线3。上的动点.连接AE，若AE平分N&4C,则线段PE与PC的和的最小值为,最

大值为.

【答案】百2+V7

【分析】先作出图形，根据E是8c的中点，AE平分NR4c可知AC=A5,根据将军饮马知识即可求出

最小值，当P与点。重合时求出最大值.

【详解】如图，连接PC,：E是BC的中点，AE平分NBACBE=EC,NCAE=NBAE

设点E到43、AC的距离为点A到8c的距离为c

•••4E平分㈤=b（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

AQrArc

SMEC=A5xa=BEXC,S^-ACxb=ECxc-

ECBEaECb

•••a=b,BE=CE；.AB=AC--△ABC是等腰三角形

•/£是3c的中点,AE平分4c.•.AE_L3C（三线合一）

又•.•西边形ABC£>是菱形AB=6C，△A3C是等边三角形

己知菱形ABCD的面枳为2G设菱形的边长为a（a>0）

则AE='。2一（^）2=手4...s=BCxAE.­-26=ax孚a解得：a=2:.AE=&

•.•A、。关于BO对称PE+PC=PE+A4»AE=g则PE+PC最小值为：73

当点P与点。重合时PE+PC最大过E作垂足为H

•••四边形A8CO是菱形.•.EH〃OC

•••E是BC的中点,••.£H=LOC=，AC=L.OH=-OB=—

24222

.\DH=DO+OH=->/3

2

在RtADHE中OE=^DH2+HE2^(|V3)2+(1)2=出

则DE+OC=2+，7PE+PC最大为：2+J7

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，三线合一，勾股定理，线段和最值问题，由于题目没

有给图形，能够根据题中信息正确的作出图形，并判断出AABC是等边三角形是解题的关键.

6.(2021•河南中考真题)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在Rtz^ABC中，ZACB^90°，

N8=30。，AC=1.第一步，在A3边上找一点。，将纸片沿CO折叠，点A落在A'处，如图2,第二

步，将纸片沿C4'折叠，点。落在次处，如图3.当点次恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的

长为.

图1

【答案】g或2—6

【分析】因为点M恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当I落在AB边上和8c边上两种情况分析,

勾股定理求解即可.

【详解】解：当以落在AB边上时，如图(1)：设。。'交于点E，

由折叠知：ZEA'D=ZA=mo.AD=AD=A!D'.DiyLAE.A'CAC

•.♦ZACB=90°,ZB=30。，AC=1A8=2,BC=百

设AD=x，则在中，A'E=-x在RhECB中,EC=-BC=—

222

•.♦AC=AC;.L+立=1即X=2-G

22

B

B

当〃落在3c边上时，如图（2）因为折叠，ZACD=ZAfCD=ZA,CD,=30°,

A'D'=-A'C=-A'B,A'C=A'B=AC=\.\AD=A'D'=

222

故答案为：—或2—

【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30。的性质，正确的作出图形是解题的关键.

7.（2021•四川达州市•中考真题）如图，在边长为6的等边A4BC中，点E,尸分别是边AC,8c上的

动点，且AE=CF,连接BE,AE交于点P，连接CP,则CP的最小值为.

【答案】273.

【分析】首先证明NAPB=120。，推出点P的运动轨迹是以。为圆心，OA为半径的弧.连接C。交©0

于尸'，当点P运动到P'时，CP取到最小值.

【详解】如图所示，：边长为6的等边△A8C,

AC^AB=6，ZACB=ZCAB=60°

乂：AE=CF△ACF^ABAE（5?IS）；.ZCAP^ZPBA

：.ZEPA=/PBA+ZPAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60。

ZAPB=120。；.点P的运动轨迹是以。为圆心，04为半径的弧此时ZAOB=\2Q°

连接CO交。。丁P，当点P运动到尸时，CP取到最小值

yCA=CB.CO=CO.OA^OB：.△ACO=^BCO{SSS）

：.ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=ZBOC=60°；.ZCAO=ZCBO=90°

73厂OC=AB.=二=4百

又•••AC=6O尸=OA=ABtan30°=6xJ=2V5，cos30°百

3T

:.CP'=OC-OP'=4曲-26=2百即CRin=2百故答案为：2百

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关

键是学会添加辅助线，该题综合性较强.

8.（2020•黑龙江牡丹江市•中考真题）如图，在RMABC中，CA^CB,M是AB的中点，点D在上，

AE1CD,BFLCD,垂足分别为E,F,连接.则下列结论中：①BF=CE；②ZAEM=ZDEM；

③AE-CE=6ME；®DE2+DF2^2DM2^⑤若AE平分NS4C，则EF:BE=V^:1；@

CF・DM=BM・DE,正确的有.（只填序号）

B

【答案】①②③④⑤⑥

【分析】证明ABCFWz^CAE,得至|JBF=CE,可判断①；再证明△BFMgZ\CEM,从而判断AEMF为等腰

直角三角形，得至I」EF=J^EM,可判断③，同时得至l」NMEF=/MFE=45°,可判断②；再证明△DFM^4

NEM,得到ADMN为等腰直角三角形，得到DN=J^DM,可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出

DE=EM,再证明△ADEWZVKCE,得到DE=CE,则有空=空=空=也也=正，从而判断⑤：最

BFCEDEDE

后证明ACDMsADE,得到色■=3”结合BM=CM,AE=CF,可判断⑥.

AEDE

【详解】解：VZACB=90°,ZBCF+ZACE=90°,VZBCF+ZCBF=90°,AZACE=ZCBF,

XVZBFD=90°=ZAEC,AC=BC,/.△BCF^ACAE(AAS),，BF=CE,故①正确；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,；.AE-CE=CF=CE=EF,连接FM,CM,

•点M是AB中点，；.CM=LAB=BM=AM,CM1AB,

2

在ABDF和RDM中，ZBFD=ZCMD,ZBDF=ZCDM,

，/DBF=NDCM,又BM=CM,BF=CE,；.△BFM也△CEM,；.FM=EM,ZBMF=ZCME,

VZBMC=90°,；./EMF=90。，即aEMF为等腰直角三角形，:.EF=OEM=AE-CE，故③正确，

NMEF=NMFE=45。，：NAEC=90。，；.NMEF=NAEM=45。，故②正确，设AE与CM交于点N,连接DN,

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,AADFM^ANEM,，DF=EN,DM=MN,

.♦.△DMN为等腰直角三角形，；.DN=&DM,而/DEA=90。，

/•DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正确；VAC=BC,ZACB=90°,，NCAB=45。,

TAE平分NBAC,AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,VZDEM=45°,AZEMD=67.5°,即DE=EM,

VAE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,「•△ADEg/XACE,ADE=CE,

•••△MEF为等腰直角三角形，.•.EF=&EM，：.—=—=—=^EM=42,故⑤正确;

BFCEDEDE

：NCDM=NADE,ZCMD=ZAED=90°,/.△CDM^ADE,二——=----=-----,

ADAEDE

：BM=CM,AE=CF,：.也,：.CF-DM=BM-DE，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥.

CFDE

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.

4

9.（2021•湖南中考真题）如图，在6c中，AB=5,AC=4,sinA=《，3。_LAC交AC于点。.点

P为线段BO上的动点，则PC+^PB的最小值为.

【答案】y

3

（分析］过点P作PH1AB于点H,由题意易得875=4,则有AD=3,然后可得PH=-PB,进而可得

33

PC+=PB即为PC+PH,若使PC+二PB的值为最小，也就相当于PC+PH为最小，则有当点C、P、

55

H三点共线时，PC+PH的值为最小，最后问题可求解.

【详解】解：过点尸作于点H,如图所示:

_________.3

,■AD-yAB2—BD2=3，•,sinNABD=—,

33

PH=PB-sinZABD=-PB,PC+-PB=PC+PH，

55

3

若使PC+《P8的值为最小，也就相当于尸C+P”为最小，

当点C、P、，三点共线时，PC+P”的值为最小，如图所示：

416

VAC=4,AC/7=AC-sinA=4x-=—,

55

PC+3PB的最小值为收；故答案为3.

555

【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用"胡不归’'模型找到最小值的情况，然后进行

求解即可.

10.（2021•湖北鄂州市•中考真题）如图，四边形A5DC中，AC=BC,ZACB=90°,AD_L80于点。.若

【答案】2而

【分析】设A。、BC交于点F,过C作CE_LAD，用求出C尸、BF,即求出8c的

长，又因为AC=3C，NACB=90。从而求得AS.

【详解】如图，设AD、BC交于点F,过C作CELAD，

、、、、

✓、

*\\

/、

、

a

C

4cB=90。AD1BD.-.A、B、a。在以AB为直径的圆上

•.•AC=BC，ZACB=90。•.，^ABC=45。...Ac=AC/.ZADC=ZABC=45°

CD=472:.CE=ED=4♦:AD上BD，CE1AD..BD//CE

“DFB2二=：」^」二。八2EF上

/\CEFsAABDF-

在Rt^CEF和RNBDF中CF=A/CE2+EF2=产+于=羊

BF=yjDF2+BD-=^(1)2+22=/.BC=：CF+BF=^^+^1=2713

33

AC=BC.ZACB=90°AB=25/26

【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为90°,同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质,

勾股定理，本题能找到ZADC=ZABC=45°是解题的关键.

11.（2021•江苏宿迁市•中考真题）如图，在“BC中，AB=4,BC=5,点D、尸分别在BC、AC上，CD=2BD,

CF^2AF,BE交4。于点F,则AAFE面积的最大值是________.

A

D

4

【答案】一

3

【分析】连接DF,先根据相似三角形判定与性质证明一=一，得到工诋=士5加",进而根据CD=2BD,

AE35

CF^2AF,得到S^AEF=—S^ABCM^ABC中,A6=4,8c=5,得到当4B_LBC时，A48C面积最大，即

可求出AAFE面积的最大值.

_CFCD2

【详解】解：如图，连接。凡•.,8=28，CF—2AF,••----------——,

CACB3

DFCD2

•：ZC=ZC,:.△CDFsA/\CBA,：.——=——=一、NCFD=NCAB,

BACG3

““DFDE2.3

：.DF//BA,:.△DFEs/^ABE,：.——=——=二§，・・S&AEF——S"0万,

ABAE

CF=2AF,S^ADF=—SAADCS^AEF=­i'△AOC、

22

CD-2BD,S^=—5S&AEF=p

ADCAAec)

•r△ABC中，AB=4,BC=5,.*.当AB_L8c时，△A8C面积最大，为4x5=10,

2

244

此时△人「£面积最大为10x—=—.故答案为：

153

A

DR2

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到一=—,理解等高三角

AE3

形的面积比等于底的比是解题关键.

二.解答题

1.（2021•四川资阳市•中考真题）已知1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

E

AA

图-D图3

图1

(1)如图1,已知点。在3C边上，ZDAE^90°,AD^AE,连结CE.试探究BD与CE的关系；

(2)如图2,已知点。在下方，ZDAE=90°,AD=AE,连结CE.若B£>，AD,AB=2710-

CE=2,AD交于点尸，求AE的长；

(3)如图3,已知点。在8c下方，连结A。、BD、CD.若NC8D=30°,Z5AD>15°,AB2=6,

A£>2=4+6，求sinNBC。的值.

【答案】(1)BD=CE,理由见详解；(2)A尸=5；(3)sinZBCD=—

14

【分析】

(1)由题意易得NRM>=NC4E,则易证△ABD也AACE,然后根据全等三角形的性质可求解；

(2)过点A作于点”，由题意易得AH=BH=2亚，^ABD^AACE,然后可得BD=CE=2,

进而根据勾股定理可得AO=6,设。f=x,则AE=6—x,易得ABDFSAAHF，则有

"="=9=巨所以BF=^(6-x),HF=^x，最后问题可求解；

AFHFAH55''

(3)将△"£>绕点A逆时针旋转90。得到"CG,过点A作APL8C于点P,作OTL8C于点T,分别过点

G作GMLBC,GN_LAP,交BC的延长线于点M,交AP于点、N,由题意易得NABC=NACB=45°,

=2百，则有ZABD=ZACG=75°,BD=CG,AD=AG,然后可得NP=GM,NG=PM、设

CM=x,NP=GM=瓜,NG=PM=&x,AN=超-瓜,进而根据勾股定理可求解x的值，然

后根据三角函数可进行求解.

【详解】

解：(1)BD=CE,理由如下：

ABAC=90°,NDAE=90°,

/.ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°，

NBAD=NCAE,

,:AB=AC,AD=AE,

•*-BD=CE；

(2)过点A作。于点H,如图所示：

A

,E

B

7HC

D图2

•••ABAC=90°,AB=AC,

.•.△BAC是等腰直角三角形，

•••A8=2面，

•••AH=BH=2后，

ZDAE=90。,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°,

/.ZBAD^ZCAE,

AD^AE，

：./\ABD^/\ACE{SAS),

CE=2,

：.BD=CE=2,

•:BD±AD，

AD=\lAB2-BD2=6，

ZADB=ZAHF=90°,/DFB=NHFA,

/.ABDFS^AHF，

设OF=x,则AF=6—x，

.BFDFBD_2后

BF=~(6~x),HF=y/5x，

BH=BF+HF=^(6—x)+&=2y/i，

解得：x=\,

二4尸=5；

(3)将"BD绕点A逆时针旋转90。得到AACG,过点A作APL8C于点P,作QT1.BC于点T,分别过点

G作GMLBC,GN±AP,交BC的延长线丁点M,交.AP于点、N,如图所示：

VZBAC=90°,AB=AC,AB2=6-

...△8AC是等腰直角三角形，

二ZABC=ZAC3=45。，BC=2。

，AP=CP=B

'：ZCBD=3Q0,

二ZABD^75°,

由旋转的性质可得AABDgA4CG，

二ZABD=ZACG=75°,BD=CG,AD=AG,

：.ZBCG=ZACB+ZACG=120。，

/.NGCM=60°，

VGM1BC,GNLAP,APLBC,

二四边形GMPN是矩形，

NP=GM,NG=PM,

设CM=x,NP=GM=氐,

：.NG=PM=PC+CM=&x,AN=AP—NP=#>—KX,

在RmANG中，AN2+NG2=AG2=AD2-

AD2=4+73，

化简得：4x~-（6-2>/5）x+2-yjs-0,

解得：x=—,x=-——

122-2

ABAD>15°,

.•.当x=2z立时，易知与NB4D>150相矛盾,

2

1

•.x——,

2

二BD=CG=l,

DT=-BD=-,BT=y/3DT=—<

222

-"-TC=BC-BT=^，

2

二在RmDTC中，DC=yjDT2+TC2=J7，

DT，万=S.

AsinZBCD

Be-77--L4

【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、

相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键.

3

2.（2021•浙江金华市•中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-/万,（）），点B在直线/：y=6%上，

O

过点3作AB的垂线，过原点O作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

（1）如图，点B,C分别在第三、二象限内，BC与A。相交于点D

①若BA=BO,求证：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四边形A80C的面积.

（2）是否存在点B,使得以A8,C为顶点的三角形与ABCO相似？若存在，求的长；若不存在，请

说明理由.

【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则NR4D=NAO5,根据等角的余角相等和对顶角相等，得到

/CDO=NCOD,根据等角对等边，即可证明8=CO；

②添加辅助线，过点A作于点H,根据直线/的解析式和角的关系，分别求出线段A氏8cOB、

%的长，则S四边形Moe=SAABC+SQCBO—22*OCJ；

（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，ZACB=ZCBOBl；②当点C在第二象限内，

NACB=/BCO时；③当点C在第四象限内，/AC6=NCBO时.

【详解】解：（1）①证明：如图1,

'：BA=BO,AZ1=Z2.

二BA1BC，：.N2+N5=90。.

而N4=N5，

N2+N4=90°.

OBYOC，AZl+Z3=90°.

N3=N4,

.*CD=CO.

3

②如图1,过点A作A”，08于点儿由题意可知tan/1=—，

8

A//3

在Rt^AHO中，tanZ1=-----=—.设AH=3m，OH=8m.

OH8

VAH2+OH2=OA2»（3m）2+（8/?2）2=（V73），解得加=1.

：.AH=3,OH=8.

・；NCBO=45。,ZABC=90°，

:.ZABH=45°,

___AH_._AH£7

:.BH=--------=3,AB=---------=3A/2

tan45°sin45°

：・OB=OH—BH=5.

VOBIOC,"30=45。，

/.OC=OBxtan45°=5,BC=-°B—=572,

cos45°

S.ABC=；ABxBC=2必5母=15,

1125

CB：

S“CB。O=-2OBxOC=2-x5x5=2—

§四边形AB"=S4ABe+S.CBO=Q'

（2）过点A作A”J.OB于点H,则有AH=3,OH=8.

①如图2,当点C在第二象限内，ZACB=ZCBO^,设OB=t

•••ZACB=Z.CBO，,ACIIOB.

又,：AHLOB,OCLOB,

：.AH=0C=3.

'：AHVOB,ABIBC,

...Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

r.Z1=Z3,

.AH_HB

:・&AHBs^BOC

~BO~~OC

38—/

...一=——，整理得产—8r+9=0，解得r=4±J7.

•••OB=4土不.

②如图3,当点C在第二象限内，NACB=NBCO时，延长AB,CO交于点G,

则当GCB，:.AB=GB.

又,：AHLOB,OCVOB,

：.ZAHB=ZGOB=9QP,

而ZABH=ZGBO，

：.^ABH%GBO,

：.OB=HB=、OH=4

2

③当点C在第四象限内，ZACB=ZCBOW\，AC908相交于点E,则有班：=CE.

3）如图4,点B在第三象限内.

在R/AABC中，Zl+Z2=90°,ZACB+ZCAB=90°,/.Z2=ZCAB

二AE—BE-CE，

又•；

二ZAHE=/COE=9Q。,

而ZAEH=NCEO

:.AAHE乌ACOE，

：.HE=OE=-OH=4

2

AE=\lAH2+HE2=5,

BE=5,

...OB=BE+OE=9

(切如图5,点8在第一象限内.

在RMABC中ZACB+ZC4B=90°,ZCBO+NABE=90°

：.ZCAB=ZABE,：.AE^BE^CE.

又：AHl.OB,OC±OB,

：.ZAHE=/COE=9Q。

而ZAEH=/CEO,：.^AHE^COE

：.HE=OE=-OH=4

2

•*-AE=yjAH2+HE2=5，

:.BE=5,

OB=BE-OE=T

综上所述，OB的长为4+J7,4-J7,4,9,I.

【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综

合性较强.在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑.

3.(2021•安徽中考真题)如图1,在四边形ABC。中，NABC=N」BCD,点£在边BC上，且AE//CD

,DE//AB,作CF//AD交线段4E于点尸，连接8尸.

(1)求证：AABF名△E4D；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长；

BE

(3)如图3,若8b的延长线经过A。的中点M,求一的值.

AAA

图1

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+J5

【分析】

（1）根据平行线的性质及已知条件易证NABE=NA£B，NDCE=NDEC，即可得=

DE=DC；再证四边形AFCO是平行四边形即可得A尸=CD,所以=根据SAS即可证得

△ABgAEAD；

（2）证明△EBFSAEW,利用相似三角形的性质即可求解;

ADAVDp

(3)延长5M、ED交于点G.易证可得——=—=——：设CE=1,BE=x，

DCDECE

DC=DE=a,由此可得AB=AE=ox，AF=CD=a-.再证明ZWlB且△M£>G，根据全等三角形

FAAB

的性质可得。G=AB=oc.证明48s△FEG,根据相似三角形的性质可得一=—,即

FEEG

a_axBF

解方程求得x的值，继而求得一上的值.

a(x-V)<z(x+1)EC

【详解】

(1)证明：-.-AE//CD,

:.ZAEB=NDCE；

-.■DE//AB,

：.ZABE=/DEC,Z1=Z2«

•;ZABC=/BCD,

:.ZABE=ZAEB4DCE=NDEC,

.'.AB=AE,DE=DC,

\-AF//CD,AD//CF,

四边形AFCO是平行四边形

AF^CD

:.AF=DE

在AABE与A£AD中.

AB=EA

«Z1=Z2,

AF=ED

：.^ABF^^EAD(SAS)

(2)-.-AASF^AEW.

:.BF=AD，

在OAFCD中，AD=CF,

：.BF=CF，

/FBC=NFCB,

又•••NFC5=N2,Z2=Z1.

：.ZFBC=Z1,

在AEBF与AEAB中.

JZEBF=Zl

\NBEF=NAEB'

.--△E8F^A£AB：

.EB_EF

"~EA~~EB：

\-AB=9,

：.AE=9；

•：CD=5,

：.AF=5；

.-.EF=4，

EB4

---=---,

9EB

：.BE=6或一6(舍)；

(3)延长8M、ED交于点、G.

•.•△ABE与AOCE均为等腰三角形，ZABC=NDCE,

/XABE^^DCE，

.AB_AE_BE

DC~1)E~~CE'

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则AB=AE=ax,AF-CD-a，

EF=a(x-l),

•：ABIIDG,

N3=NG；

在AWAB与△MDG中，

Z3=ZG

,N4=N5,

MA^MD

AMDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+\)；

-：ABIIEG，

..△MBs△此G,

FA_AB

"~FE~~EG'

aax.

a(x-l)«(x+l)

x(x-l)=x+l,

—2x—1-0>

(x-1)2=2，

x=1±V2,

%=1->/2(舍)，/=1+yfl，

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等

及相似是解决问题的关键.

4.（2021•四川乐山市•中考真题）在等腰AA6c中，AB=AC,点。是3C边上一点（不与点8、C重

合），连结AD.

（1）如图1,若NC=60°,点。关于直线A3的对称点为点E，结AE,DE,则=

（2）若NC=60°,将线段A£＞绕点A顺时针旋转6（）。得到线段AE，连结BE.

AnAT）

①在图2中补全图形；②探究与BE的数量关系，并证明；（3）如图3,若——=——=k,且

BCDE

ZADE=ZC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.

【答案】（1）30。；（2）①见解析；②CD=BE；见解析；（3）AC=A（3O+5E）,见解析

【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可

（2）①按要求补全图即可

②先根据已知条件证明△A8C是等边三角形，再证明/SAE哙八4£）。，即可得出C£）=BE

（3）先证明”=区，再证明4