爱提分中考复习 1一轮-数与式-第04讲 分式(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱分式知识精讲一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用，表示两个整式就可以表示成的形式．如果中含有字母，式子就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．

（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变用式子表示，()，其中,,为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：，．（、、、既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．三点剖析一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．分式的基本知识例题例题1、化简的结果是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】==，故选D．例题2、要使+有意义，则x应满足（）A.≤x≤3B.x≤3且x≠C.＜x＜3D.＜x≤3【答案】D【解析】根据题意得：，解得：＜x≤3．故选D．例题3、(2013初二上期中人民大学附属中学)当x____时，分式有意义；当x____时，分式无意义；当x____时，分式的值为0【答案】且；或；或【解析】该题考查的是分式的性质．分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，分式有意义，则，即，即，解得；分式无意义，则或，即或，解得或；分式的值为0，则，解得或．例题4、为何值时，分式:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)（2）或【解析】（1）分式值为则且，得；（2）要使分式无意义，则分母，得或例题5、若分式无论取何值时，分式的值恒为正，则的取值范围是_________．【答案】【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为，所以分母也一定为正时满足条件，将式子变形为，因，即当时，分式的值恒为正随练随练1、使代数式有意义的x的取值范围是____．【答案】x≥且x≠3【解析】根据题意得，2x-1≥0且3-x≠0，解得x≥且x≠3．故答案为：x≥且x≠3．随练2、如果分式的值是正数，那么的取值范围是________．【答案】【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为恒，又∵分式的值是正数，∴，解得：，故答案是．分式的运算及化简求值例题例题1、化简：=．【答案】【解析】原式==[故答案为：．例题2、已知实数a满足a2+2a-15=0，求-÷的值．【答案】【解析】-÷=-•=-=，∵a2+2a-15=0，∴（a+1）2=16，∴原式==．例题3、化简计算（式中，，两两不相等）．【答案】0【解析】随练随练1、取值时,有意义；当的值为，分式的值为．【答案】【解析】分式有意义则分母不为零，所以且，且，所以分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即且，故．随练2、当取何值时，分式有意义？【答案】且【解析】间接考虑，然后排除的情形即可.得或，或故要是分式有意义且即可．随练3、若，求的值．【答案】【解析】原式随练4、已知，，为实数，，，，求分式的值．【答案】【解析】由，，知，，均不为零，故，，，解得，，，故原式随练5、若使分式的值为整数，这样的整数有几个？若使分式的值为整数，这样的整数有几个？【答案】，【解析】若使分式为整数，只需满足为的因数即可，即，结果为或；分式为整数，需要将式子整理为，即只要为整数，，因此．随练6、已知：y=÷-x+3，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力．先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=÷-x+3=×-x+3=x-x+3=3．故不论x为任何有意义的值，y值均不变．随练7、已知，，则代数式的值为__________．【答案】【解析】由得，，代入原代数式可得原式拓展拓展1、若使分式没有意义，那么的值是（）A.B.或C.或D.或【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故或，所以或，故答案为D选项．拓展2、要使分式有意义，则的取值范围是_________．【答案】且【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为，首先，得；其次，得；故的取值范围是且拓展3、化简：．【答案】【解析】因为，，所以原式．拓展4、化简：÷﹣的结果为（）A.B.C.D.a【答案】C【解析】原式=×﹣=﹣=，拓展5、已知，其中、、为常数，求的值．【答案】【解析】原式右边，得，，，解得，，，从而拓展6、先化简，再求值：-÷，其中x为0＜x＜的整数．【答案】【解析】原式=-•=-==，∵x为0＜x＜的整数，∴x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=．拓展7、阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x2+1，可设-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b则-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1∴==+=x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）当x∈（-1，1），试说明的最小值为8．【答案】（1）x2+7+（2）见解析【解析】（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b则-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成