爱提分中考复习 10二轮-全等综合-第01讲 全等综合（一）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱全等综合（一）知识精讲一．全等三角形的判定方法：边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等．角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二．全等三角形的应用：1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2．能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．三．全等三角形辅助线的作法1．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（是底边的中线)．2．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：（1）由角平分线上的一点向角的两边作垂线；（2）过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；（3），这种对称的图形应用得也较为普遍．3．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．三点剖析一．考点：1．全等三角形的判定2．全等三角形辅助线的作法二．重难点：1．全等三角形的判定2．全等三角形辅助线的作法三．易错点：1．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样，对应顶点要对应．2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；3．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．全等与三角形综合例题例题1、如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）将图1中的绕点B旋转，当A，B，E三点在同一条直线上时（如图2），判断的形状并说明理由；（2）将图1中的绕点B旋转到图3的位置时（A，B，M三点在同一条直线上），（1）中的结论是否扔成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）是等腰直角三角形；理由：因为和均为等腰直角三角形，，，，，，，，A，B，E三点在同一条直线上点M为DE的中点在和中，在和中，，是等腰直角三角形．（2）是等腰直角三角形；如图3，A，B，N三点在同一条直线上；，，；，∵A，B，N三点在同一条直线上，，由（1）可得，，，在和中，，是等腰直角三角形．例题2、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，直线a于M，直线a于N，连接PM、PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2），=1\*GB3①求证：；=2\*GB3②求证：．（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时还成立吗？不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）成立．【解析】（1）证明：=1\*GB3①如图2：直线a于点M，CN直线a于点N，又为BC的中点又=2\*GB3②在中，．（2）成立，如图3证明：延长与的延长线相交于点直线a于点M，CN直线a于点N，又为中点又在和中，则中，．（3）如图4，四边形是矩形，根据矩形的性质和P为BC边中点，得到，得成立，即“四边形MBCN是矩形”，则PM=PN成立．例题3、把两个全等的和（其直角边长均为4）叠放在一起（如图=1\*GB3①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图=2\*GB3②）（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系，四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=X，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使的面积恰好等于面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；（2）；（3）存在．【解析】（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变证明：连接CG、KH，为等腰直角三角形，为其斜边中点，，与均为旋转角，在与中，，（2），，，由得由，得到．（3）存在；根据题意，得解这个方程，得，即当或时，的面积均等于的面积的．例题4、如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE=CF，AB=CD，BD与AC相交于点G．（1）求证：EG=GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．（3）若点E、F分别在线段CA的延长线与反向延长线上，其余条件不变，（1）中结论是否成立？（要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由）【答案】（1）见解析（2）成立，见解析（3）成立【解析】（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．（2）（1）中结论依然成立．理由如下：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．（3）（1）中结论依然成立．如图所示：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．例题5、等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如图（1），延长BH到点E，连接AE，当∠EAB=90°，AE=1，F为AB的三等分点，且BF＜AF时，求BE的长；（2）如图（2），若F为AB中点，连接FH，求证：BH+FH=CF；（3）如图（3），在AB上取点K，使AK=BF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G为CP的中点，请直接写出AH、BH、PG所满足的数量关系．【答案】见解析【解析】（1）∵BH⊥CF，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE∽△BCF，∴BF=AE=1，∵F为AB的三等分点，且BF＜AF，∴AB=3BF=3，∴BE==；（2）证明：过点A作AD⊥AB交BH的延长线于点D．∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠BCF，在△ABD与△BCF中，，∴Rt△BAD≌Rt△CBF，∴AD=BF，BD=CF．∵F为AB的中点，∴AF=BF，∴AD=AF，在△ADH与△AFH中，，∴△AHD≌△AHF，∴DH=FH．∵BD=BH+DH=BH+FH，∴BH+FH=CF；（3）如图4，AH+BH=PG，理由是：过A作AM⊥AB，交BH延长线于M，由（2）证得△MAB≌△FBC，∴AM=BF=AK，∠AMB=∠CFB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵∠MAB=90°，∴∠MAH=45°，∴∠MAH=∠CAB，在△MAH与△KAH中，，∴△MAH≌△KAH，∴∠AMB=∠AKH，∴∠AKH=∠CFB，∵∠AKH=∠PKF，∠CFB=∠PFK，∴∠PKF=∠PFK，∵FC⊥BH，G是PC中点，∴CH=PH，∴∠AHK=2∠P，在△PFK中，∠PKF==90°﹣∠P，则90°﹣∠P+45°+2∠P=180°，解得∠P=30°，在CH上取一点R，使RH=BH，连接BR，∴∠RHB==60°，∴△RHB是等边三角形，∴BH=BR=RH，∵∠CAB=∠ACB=45°，∠AHB=180°﹣60°=120°，∠BRC=180°﹣60°=120°，∴∠ABH=∠RBC，在△ABH与△CBR中，，∴△ABH≌△CBR，∴AH=CR，∵cos30°=，∴CH==CG，∴RH+RC=BH+AH=CG，∵PG=CG，∴BH+AH=CG．例题6、已知：等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上，且．（1）如图1，当时，，分别在边，上时，请写出、、三者之间的数量关系；（2）如图2，当时，，分别在边，上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点在边上，点在的延长线上时，请直接写出线段、、三者之间的数量关系．【答案】（1）（2）（3）【解析】该题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定．（1）如图1，在上截取，连接，，，∵是边和垂直平分线的交点，是等边三角形，∴，也是等边三角形三个角的平分线交点，∴∴，∴，∵在和中（SAS），∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中∴（SAS），∴，∵，∴……2分（2）如图2，过点作，易得，，在边上截取，连接，∵，，，∴，……4分∴，∴，∴∴易证……4分∴∴∴，∴（3）如图3，延长到，使，连接，，，∵是边和垂直平分线的交点，是等边三角形，∴，由三线合一定理得：，，∴，∵在和中，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中，∴（SAS）∴，∵，∴．……7分随练随练1、如图，将两个全等的直角三角形、拼在一起（图1），不动，（1）若将绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1的CE向上平移，不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得，，，，即，在和中，．（2）MB=MC．理由如下：如图3，延长、AE相交于，延长EC交AD于F，，是ED的中点，B是的中点，，同理，．（3）MB=MC还成立．如图4，延长交CE于F，，，是ED的中点在和中，．随练2、如图，在中，，，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且，CG平分交BD于点G，（1）求证：CF=BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作交BE的延长线于点P，求证：；（3）在（2）问的条件下，当时，若，BG=6，求AC的长．【答案】见解析；【解析】解：（1）如图1，，平分，在和中，．（2）如图2，，，，．（3）如图3，过E作，交于M，由（2）得：设，则，，在中，，是AG的中点，在中，，．随练3、如图1，在中，，AB=AC，的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF//BC交AB于F，将绕点A逆时针旋转角（）得到，连结，，求证：；（3）在（2）的旋转过程中是否存在//AB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵AB=BC，，又∵BE平分，，，，．（2）证明：∵AC=AB且EF//BC，；由旋转的性质可知：，，在和，；．（3）存在，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：=1\*GB3①当点E的像与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，又，=2\*GB3②当点E的像与点N重合时，由得，所以当旋转角为或时，．随练4、如图1，在中，AB=BC，P为AB边上的一点，连接CP，以PA、PC为邻边作，AC与PD相交于点E，已知．（1）求证：；（2）是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC的中点，连接FP，将绕点E顺时针旋转适当的角度，得到（点M、N分别是的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析．【解析】（1）证明：在和中，，，在中，，．（2）解：是矩形，理由如下：∵是平行四边形，，∵由（1）知，，则，∴是矩形．（3）解：证明：，由（2）知，，F是BC的中点，绕点E顺时针旋转适当的角度，得到，，即在和中，．随练5、（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD，BE之间的数量关系为____________．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AD=BE;∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°（2）AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．随练6、(2013中考西城区一模)在Rt△ABC中，，，点P在△ABC的内部．（1）如图1，，，点M、N分别在AB、BC边上，则_______，△PMN周长的最小值为_______；（2）如图2，若条件不变，而，，，求△ABC的面积；（3）若，，，且，直接写出的度数．BBB【答案】（1）；3（2）（3）【解析】该题考查的是三角形的综合．（1），△PMN周长的最小值为3；（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．∴，，．∵由（1）知，，，∴，，．∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线．∴，．∵△ADF中，，，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）．说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N．（如图7）由（2）知，．∵，，∴，．∴∠1=，．∴，．∴．∴．∴．图图6图7拓展拓展1、已知，，等腰直角，，BD=DE，点在线段AC上．（1）如图1，当，点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当，点E在BC外时，连接EC\、BD并延长交于点F，设ED与BC交于点N，图中是否存在与BN相等的线段？若存在，请加以证明．若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）．理由是：是等腰直角三角形∴又中，，同理，在和中，又∵中，，．（2），理由是：如图2，过E作，交AC的延长线于G，在和中，，，，是等腰直角三角形在和中，．拓展2、如图1，在中，是锐角，点D为射线BC上的一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，，=1\*GB3①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；=2\*GB3②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，=1\*GB3①中的结论是否依然成立，并说明理由；（2）如果AB=AC，是锐角，点D在线段BC上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：（1）=1\*GB3①正方形ADEF中，AD=AF，又，即．=2\*GB3②当点D在BC的延长线上时=1\*GB3①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，又，，即．（2）当时，（如图）．理由：过点A作交CB的延长线于点G，则，，，，（同角的余角相等），AD=AF，即．拓展3、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，．（1）操作发现如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：=1\*GB3①线段DE与AC的位置关系是；=2\*GB3②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是．（2）猜想论证当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//ABA交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使，请直接写出相应的BF的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）=1\*GB3①∵绕点C旋转点D恰好落在AB边上，，是等边三角形，又．=2\*GB3②，根据等边三角形的性质，的边AC、AD上的高相等的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即（2）如图，是由绕点C旋转得到，，,，在和中，的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）即；（3）如图，过点D作DF1//BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时；过点D作，，DF1//BE，，∵BF1=DF1，，，是等边三角形，，，点D是角平分线上一点，在和中，点F2也是所求的点，，点D是角平分线上的一点，DE//AB又，,故BF的长为或．拓展4、探究问题1，已知：如图1，三角形中，点D是AB的中点，，，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且，过点M分别作，，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析．【解析】解：（1），和都是直角三角形是AB的中点∴DE和DF分别为和的斜边中线，．（2）∵CB=CA，即，又∵∵D是AB的中点，即BD=AD又∵．（3）DE=DF，如图1，作AM的中点G，BM的中点H点D是边AB的中点，同理可得：，于E，H是BM的中点∴在Rt中，又，同理可得：DH=FG，，四边形DHMG是平行四边形，又在与中，．拓展5、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角中，AB=AC，，小敏将一块三角板中含角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分，则AE也平分．请你证明小敏发现的结论；（2）当时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将沿AD所在的直线对折得到，连接EF（如图2）小亮的想法：将绕点A逆时针旋转得到，连接（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当且时，等量关系仍然成立，先请你继续研究：当时（如图4）等量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：如图1，，，即平分（2）选择小颖的方法．证明：如图2，连接EF．由折叠可知，，AB=AF，BD=DF∵，由（1）可知，在和中，，．在Rt中，（3）当时，等量关系仍然成立．证明如下：如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G∵将沿AD所在的直线对折得到，，，．又，．又．在和中，，．在中，拓展6、如图1，已知中，AB=BC=1，，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．=1\*GB3①证明；=2\*GB3②在这一过程中，直角三角板DEF与的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长DE交AB于M，DM=DN是否仍然成立