辽宁省沈阳市2023-2024学年高二下学期第二次质量监测+数学试卷（含答案）

沈阳市第120中学2003—2024学年度下学期高二年级第二次质量监测试题数学满分：150分考试时间：120分钟命题人：赵立强刘甫春审题人：孙爽一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．1.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（）A.﹣2020 B.﹣1010 C.﹣505 D.10102.等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A. B. C. D.3.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.4.在等比数列中，则为（）A. B. C. D.5.设等差数列的前n项和为，若，则()A3 B.4 C.5 D.66.已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（）A. B. C. D.7.已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数最大整数），又，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.过点且与曲线相切的直线的方程为（）A. B. C. D.10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.C.， D.11.对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（）A.若数列单调递增，则数列单调递增B.若数列是常数列，，则数列是周期数列C若，则数列没有最小值D若，则数列有最大值三、填空题：本题共3小题，满分15分．12.已知，则__________．13.已知，记，，，，则______．14.数列满足，前16项和为540，则______________.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15已知函数.（1）分别求出和的导数；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.16.已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.17.牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）18.过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：．19.已知数列的前项和为，且（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的通项公式；（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.沈阳市第120中学2003—2024学年度下学期高二年级第二次质量监测试题数学满分：150分考试时间：120分钟命题人：赵立强刘甫春审题人：孙爽一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．1.求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（）A.﹣2020 B.﹣1010 C.﹣505 D.1010【答案】B【解析】【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.【详解】.故选:B【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.2.等差数列和的前项和分别记为与，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解.【详解】因为，所以.故选：D.3.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.【详解】因为在上为递增函数，由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，所以，又由斜率定义可以，表示割线的斜率，所以，故选：A.4.在等比数列中，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.【详解】令的公比为，因为，所以，解得.根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，所以.故选：B.5.设等差数列的前n项和为，若，则()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，即，.故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.7.已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则，从而，结合化简得，若成等差数列，则，即，所以，故当时，有，即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”；反之，满足不一定是，如，，，满足，但不满足，即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”；所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件.故选：A8.已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到；可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.详解】因为，所以，所以，左右两边同时减得，即，左右两边同时除以得，，所以，，则，设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，则，点到直线的距离为，当即时，，故，当且仅当，时，等号成立，从而的最小值为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.过点且与曲线相切的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.【详解】设过点的切线与曲线相切于点，因为，则曲线在点处切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得或，故切线方程为或.故选：BC.10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.C， D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.【详解】根据题意，，则有，当时，，也满足，所以.，A选项错误；，B选项正确；，，C选项正确；，，D选项正确.故选：BCD11.对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（）A.若数列单调递增，则数列单调递增B.若数列是常数列，，则数列是周期数列C.若，则数列没有最小值D.若，则数列有最大值【答案】BD【解析】【分析】可通过反例说明A错误；令，可推导得到，由此整理得，知B正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD的正误.详解】对于选项：例如，则，，可知，故错误；对于选项：因为是常数列，可设，则，可得，又因为不是常数列，则，可得，整理得：，所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B正确；对于选项CD：若，则，①当为偶数时，且单调递增，则，所以且单调递增，此时；②当为奇数时，且单调递减，则，所以且单调递减，此时；综上所述：既有最大值，又有最小值，C错误；D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，满分15分．12.已知，则__________．【答案】1024【解析】【分析】对等式两边同时求导可得：，令即可得结果.【详解】因为，两边同时求导可得：，令，可得.故答案为：1024.13.已知，记，，，，则______．【答案】【解析】【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为，然后每四项组合在一起来求和.【详解】解：，，，，，则所以，故答案为：14.数列满足，前16项和为540，则______________.【答案】【解析】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）分别求出和的导数；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.【小问1详解】由导数公式得，由复合函数求导法则得；【小问2详解】由可得曲线在点处的切线的斜率，从而切线方程为，即.由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而，此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，即，故符合题意.16.已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.【小问1详解】由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，则由题意有，解得，所以和的通项公式分别为.【小问2详解】设数列的前n项和为，由（1）可得，所以，，两式相减得，所以数列的前n项和为.17.牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）【答案】（1），（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入【解析】【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.【小问1详解】由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，所以，；同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，所以，.【小问2详解】设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即，即，令，，则上式化为，即，解得，即，所以，，即，所以，所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．18.过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：．【答案】（1）（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；（2）由（1）可得，利用二项式定理放缩即可求解；（3）由（1）可得，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为，则，若切点是，则切线斜率，则切线方程为.①当时