专题10圆的对称性压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题10圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3【考点三利用垂径定理求值】 5【考点四利用垂径定理求平行弦问题】 8【考点五垂径定理的推论】 11【考点六垂径定理的实际应用】 13【过关检测】 15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【考点三利用垂径定理求值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【考点四利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（）个①对角线相等的四边形是矩形

②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等

④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A．1 B．2 C．3 D．4【过关检测】一、单选题1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴2．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（

）A．5 B．6 C．8 D．104．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（

）

A． B． C． D．二、填空题6．（2023春·九年级单元测试）为的直径，弦于，且，，则．7．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是．-8．（2023春·九年级单元测试）半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是，最长的弦长是．9．（2023·河南南阳·校联考二模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为．10．（2023·浙江·九年级专题练习）图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，，点，点离地高度均为，水平距离．则．当半径转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点离地高度应小于．三、解答题11．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，是的直径，，，求的度数．

12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．13．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．(1)求的半径长；(2)连接，作于点F，求的长．14．（2023·河北衡水·校考模拟预测）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．15．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，(1)求证：．(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．

专题10圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3【考点三利用垂径定理求值】 5【考点四利用垂径定理求平行弦问题】 8【考点五垂径定理的推论】 11【考点六垂径定理的实际应用】 13【过关检测】 15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．【答案】见解析【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【答案】见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三利用垂径定理求值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【答案】【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．【详解】解：连接，

∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．【答案】【分析】过点作于点H，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圆心到的距离．【详解】解：如图，的半径为，弦的长为，过点作于点H，

则，，∴，即圆心到的距离为，故答案为：【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离；所以与之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12−5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【答案】【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接，设的半径为R，则，由题意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，则的半径为米．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米．由题意得厘米，在中，厘米，∴厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【答案】【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，，，为的半径，∴，设半径为，则，在中，，∴，解得：，∴直径为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴，，但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（）个①对角线相等的四边形是矩形

②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等

④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB把圆周分成两部分，∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆心角的度数为，优弧的度数为：，即：优弧所对的圆心角的度数为，∴弦AB所对圆心角的度数为或；故选C．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接，∵线段是的直径，于点E，，∴，∴在中，可有，∴半径是10．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点，∴，，，∴，，而不一定成立，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，∴，，设，则，又∵，∴，即，解得：，∴半径，即直径为，故选B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．二、填空题6．（2023春·九年级单元测试）为的直径，弦于，且，，则．【答案】【分析】由垂径定理可知，在中由勾股定理可求得即的值．【详解】解：如图：依题意可知，为的直径，弦于，，在中，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识．7．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是．-【答案】/34度【分析】先由平角的定义求出的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2023春·九年级单元测试）半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是，最长的弦长是．【答案】610【分析】过点的最短的弦是垂直于的弦，过点的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，在直径上，于点P，过点的最短的弦是垂直于的弦，即的长，，由勾股定理得：，，过点的最短的弦长是6；过点的最长的弦是直径，即的长，，．过点的最长的弦长是10，故答案为：6；10．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．（2023·河南南阳·校联考二模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为．【答案】2或8【分析】根据作图可知，为的中垂线，则必过圆心O，连接，利用垂径定理求出的长，分点在劣弧上和点在优弧上两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意，得：是弦的中垂线，为的中点，如图，连接，则：，∴，∵，∴三点共线，∴，∴；①当点在劣弧上时：；②当点在优弧上时：；故答案为：2或8【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到是的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．10．（2023·浙江·九年级专题练习）图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，，点，点离地高度均为，水平距离．则．当半径转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点离地高度应小于．【答案】【分析】根据垂径定理构造直角三角形即可得到的长度；根据题意做出示意图再利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图，∵，，∴，∵点，点离地高度均为，∴，∴在中，，∴，∴，故答案为；过点作，垂直于地面，垂足分别是，如图，∵，设，，∴，∴在中，，在中，，∴，∴．∴则点离地面的高度应小于．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等相关知识点，熟记垂径定理是解题的关键．三、解答题11．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，是的直径，，，求的度数．

【答案】【分析】根据圆的性质进行计算即可得．【详解】解：在中，AB是的直径，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等．12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：连接，设的半径是，，，，的半径是5．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．13．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．(1)求的半径长；(2)连接，作于点F，求的长．【答案】(1)的半径长为5(2)的长为【分析】（1）连接，设的半径长为