东北三省六校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学答案

东北三省六校2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合、集合，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵、，∴，故选B。2．“”是“且”的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若时，推不出且，充分性不成立，若且，能推出，必要性成立，∴“”是“且”的必要不充分条件，故选B。3．设、，则与的大小关系是（）。A、B、C、D、无法确定【答案】C【解析】∵、，∴，∴，故选C。4．不等式的最小整数解为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】原不等式可化为或或，解得，∴最小整数解是，故选C。5．已知集合、集合，，则的值可以是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】集合、集合，∴，∵，结合选项可得，故选B。6．已知且，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵且，∴，，∴，∴，则令，当时，单调递增，∴当时，取得最小值为，即的最小值为，当且仅当、时取最小值，故选A。7．关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵关于的不等式的解集为，∴、，∴可化为，即，∴，∴，解得，故选C。8．设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由已知得，当且仅当，即时等号成立，则，∴，当时，取最大值为，故选D。点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正：各项均为正；二定：积或和为定值；三相等：等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。9．下列命题中是真命题的是（）。A、“”是“”的充分不必要条件B、命题“，都有”的否定是“，使得”C、不等式成立的一个充分不必要条件是或D、当时，方程组有无穷多解【答案】ACD【解析】A选项，“”可以推出“”，而“”推出或，∴“”是“”的充分不必要条件，对，B选项，命题“，都有”的否定是“，使得”，错，C选项，不等式成立，即或，∴不等式成立的一个充分不必要条件是或，对，D选项，当时，方程组等价于，即两条直线重合，∴方程组有无穷多解，对，故选ACD。10．下列说法中，正确的有（）。A、的最小值是B、的最小值是C、若，则D、若，则【答案】CD【解析】A选项，当时，，错，B选项，，当且仅当，即时取等号，不可能，错，C选项，由得，即，当且仅当时取等号，对，D选项，由得、、，∴，当且仅当时取等号，对，故选CD。11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（）。A、若，则且B、若，则关于的不等式的解集也为C、若，则关于的不等式的解集为D、若，且，则的最小值为【答案】ACD【解析】A选项，若，即一元二次不等式无解，∴且，对，B选项，令（），则、、，∴可化为，当时，可化为，其解集为，当时，可化为，其解集不等于，错，C选项，若，则且和是一元二次方程的两根，∴、，∴、，∴关于的不等式可化为，可化为，∵，∴，∴，∴或，即不等式的解集为，对，D选项，∵，∴且，∴，∵，∴，令，则，∴，当且仅当，则时，等号成立，∴的最小值为，对，故选ACD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．命题“若，则”的否定为。（用文字表达）【答案】若，则或。【解析】原命题的形式为“若则”，则命题的否定的形式为“若则”，∴命题的否定为：若，则或。13．若关于的不等式的解集为，则实数的值为。【答案】【解析】不等式等价于不等式，令，解得、、，∵不等式的解集为，∴且，解得。点睛：本题考查分式不等式的解法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题。14．已知：；：；：关于的不等式（），若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为。【答案】【解析】由解得：，由解得：，（1）当，由解得：，若是的必要不充分条件，则，则①，且是的充分不必要条件，则，则②，由①②得：；（2）当时，由解得：，若是的必要不充分条件，不成立，也不成立，不存在值，（3）当时，由解得：为，不成立，不存在值，综上所述，，即实数的取值范围为。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分分）已知集合、集合（）。（1）若，求实数的取值范围；（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。【解析】（1）由题意可知，2分又，当时，，解得，当时，，或，解得，综上所述，实数的取值范围为；6分（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，8分当时，，解得，9分当时，（等号不能同时成立），解得，12分综上所述，实数的取值范围为。13分16．（本小题满分分）已知命题：，，命题：，。（1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。【解析】（1）若命题为真命题，即，，∴，∴，2分若命题为真命题，即，，∴，解得，4分命题和命题有且只有一个为假命题，当命题为假、命题为真时，，解得，当命题为真、命题为假时，，无解，∴，即实数的取值范围为；8分（2）若命题和命题都为假命题，则，即，10分∵命题和命题至少有一个为真命题，∴或，即实数的取值范围为。15分17．（本小题满分分）已知实数、满足：。（1）求和的最大值；（2）求的最小值和最大值。【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为，4分∵，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；7分（2）∵，∴，∵，∴，即，当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为，11分又，∴，即，当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为。15分点睛：本题考查基本不等式在求最值中的应用，在使用基本不等式的过程，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑，本题属于中档题。18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）已知，集合、集合、集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；（2）已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围。【解析】（1），1分∵，∴或或，若，则，的值不存在，若，则，，若，则，的值不存在，综上所述，，4分∵，∴或或或，若，则，，若，则，的值不存在，若，则，的值不存在，若，则，综上所述，或，7分∴存在、的值，当、或、时，满足、；8分（2）∵、是方程的两个实根，∴、，∴，∴当时，，由不等式对任意实数恒成立可得：，即，解得或，∴命题为真命题时，，12分命题：不等式有解，当时，原不等式一定有解，当时，只需，解得，不等式有解时，又命题是假命题，∴，16分∴命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为。17分19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）若、、。①求证：；②求证：；③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由。（2）设，求证：成立的充要条件是。【解析】（1）①∵，且、，∴，∴；2分②∵，∴，又∵，∴，∴，∴，4分∵、，∴，又由（1）可知，∴，∴；6分③∵，，∴或（只要写出其中一个即可）；8分（2）证明：①充分性：如果，则有和两种情况，9分当时，当时，则、，∴等式成立，当时，则、，∴等式成立，∴当时，等式成立，