理论力学-课件第6章

第6章

点的合成运动本章内容

1点的合成运动的概念

2点的速度合成定理

3牵连运动为平动时点的加速度合成定理

4牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理第一节点的合成运动的概念引例图6-1（a）所示的沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上的点

，对于固结在地面上的坐标系来说，其轨迹是旋轮线，但是对于固结在车厢上的坐标系来说，其轨迹则是一个圆；又如，图6-1（b）所示的等速直线上升的直升机螺旋桨端点

，对于固结在地面上的坐标系

是做空间螺旋线运动，而对于固结在机身上的坐标系

则做圆周运动。（a）

（b）图6-1第一节点的合成运动的概念一、动点了有效地应用点的合成运动理论，首先应明确研究对象是谁，这就是通常所称的动点。二、两个坐标系固结在地面的坐标系称为静坐标系，简称静系，常用

表示；相对于静坐标系运动的坐标系称为动坐标系，简称动系，常用

表示。三、三种运动为了区分动点相对于不同坐标系的运动，我们把动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动；动点相对于动坐标系的运动称为相对运动；而把动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。以沿直线轨道滚动的车轮为例，当我们研究轮缘上

点的运动时，即可选取

点为动点，静坐标系固结在地面上，动坐标系固结在车厢上，则上述

点的平面曲线（旋轮线）运动即为绝对运动；

点相对于车厢的圆周运动即为相对运动；而车厢自身相对于地面的直线平动即为牵连运动。四、三种速度和三种加速度动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。在动坐标系上与动点相重合的那一点（又称重合点或牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。例如，直管

以匀角速度

在静坐标系

平面内绕

轴转动，初始时位于

点的小球

以匀速

沿直管

运动，如图6-2所示。现取小球

为动点，直管

为动坐标系，经

时间，小球运动到直管的

点处，且有

，则此时动点

的牵连速度大小

，其方向与直管

垂直，指向由

转向决定；牵连加速度的大小

，其方向指向

点。图6-2第二节

点的速度合成定理设有一动点

按给定规律沿着固结有动坐标系的曲线

运动，而曲线

同时又随动坐标系相对于静坐标系运动，如图6-3所示。图6-3在瞬时

，动点位于曲线

上的

点。经过时间间隔

后，曲线

随动坐标系运动到新的位置

；同时，动点沿弧

运动到

点，则弧

即为动点的绝对轨迹。首先，动点随曲线

上的重合点，沿弧

运动到

点；然后，动点沿曲线

，由

点运动到

点，

曲线为相对轨迹，则矢量

，

，

分别为动点的绝对位移、牵连位移和相对位移。由图6-3可观察到如下矢量表达式：用除上式两端，并令，取极限，得根据点的速度定义，动点

在瞬时

的绝对速度为它的方向沿绝对轨迹

的切线。相对速度它的方向沿在点处相对轨迹的切线。牵连速度同样，它的方向沿曲线

的切线。由上述关系，便可得到（6-4）式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度

可由它的牵连速度

与相对速度

构成的平行四边形的对角线来确定，如图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。在应用速度合成定理式（6-4）解题时，要注意如下两点。（1）在选择动点及动系时，应注意两条原则：即动点、动系不能选定在同一物体上；动点的相对轨迹必须要明显。（2）在三种运动及三种速度的分析中，特别要注意牵连点及牵连速度的概念和分析。例6-1直升飞机以速度

垂直降落，在直升机的正下方一军舰以速度

直线行驶，如图6-4所示。求直升机相对军舰的速度。图6-4解取飞机为动点，用

表示，则其绝对运动为垂直下降的直线运动。将动系固结在军舰上，则牵连运动为直线平动。由于牵连运动为直线平动，所以动点的牵连速度

的大小为其方向与

同向。又由于动点的绝对速度

，则根据速度合成定理，可画出速度平行四边形，由此可最后确定相对速度的大小为的方向如图6-4所示，其中。例6-2如图6-5（a）所示，半径为

的半圆形靠模凸轮以等速

沿水平轨道向左运动，带动受有约束的杆

沿铅垂方向平动。求当

时，杆

的速度。图6-5（a）解杆

做平动，且在

点与已知运动的凸轮相接触，故只需求杆上

点的速度。在速度合成定理的矢量式中，只有绝对速度和相对速度的大小两个未知量，可求得取凸轮上的

点为动点，把动系固结在杆

上，如图6-5（b）所示。图6-5（b）由于凸轮做平动，动点的绝对运动是水平直线运动，速度的大小和方向均是已知的。牵连运动为杆

沿铅垂方向的平动，杆上

点为牵连点，牵连速度方向已知，大小未知。相对运动即凸轮上动点

相对于杆

的运动不明显，不能清楚地判定相对运动轨迹，自然无法判定相对速度的方向和大小，不能求解。本例的两种解法说明，如何适当选择动点和动系是用合成法分析问题的关键。在应用速度合成定理时，有下列两点请读者注意。（1）分析由主动件和从动件构成的机构时，一般取它们的连接点为动点，但动点固连于主动件或从动件应由相对轨迹能否容易被观察而判定。（2）如果构件

上的点相对构件

运动轨迹易知，则动系固连于

；反之，如构件

上的点相对构件

运动轨迹易知，动系应固连于构件

。当然动点和动系决不应在同一构件上，否则就没有了相对运动，合成法也就毫无意义了。例6-3如图6-6（a）所示，曲柄

上一端

与滑块铰接，滑块运动时带动杆

绕

点摆动。设

，

，当

以角速度

转动时，求摇杆

的角速度

。解图6-6（a）取曲柄

上的

点为动点，将动系

固结在杆

上，如图6-6（a）所示，则绝对运动为

点绕

点的圆周运动，绝对速度方向已知，大小为

；相对运动为动点沿

方向的直线运动，相对速度方向已知但大小未知；牵连运动为杆

的定轴转动，牵连速度为杆

上与动点

相重合的点

的速度，方向应垂直于

，但大小未知。由速度矢量图，显然有则图6-6（b）取

，，则

。先写出相对轨迹方程，离散成180个点，借助计算机绘图，以短折线代替曲线，可绘出相对轨迹如图6-6（b）所示。第三节

牵连运动为平动时点的加速度合成定理设动点沿曲线

做相对运动，而曲线

随动坐标系一起平动，如图6-7所示。图6-7在瞬时

，动点在曲线

的

位置，其绝对速度为

、相对速度为

，牵连速度为

。由速度合成定理有（a）经过时间间隔

后，曲线

平动到

，动点运动到曲线

的

位置，该瞬时动点的绝对速度

，相对速度为

，牵连速度为

。同样由速度合成定理有（b）现以

表示动点的绝对加速度。根据动点的加速度定义，则动点的绝对加速度

可写成（6-5）将式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到（c）

下面分别讨论式（c）等号右端各项的力学意义。首先，假设动点不做相对运动，经过时间间隔

后，动点随重合点一起牵连运动到曲线

的

位置，此时动点的牵连速度为

，相对速度为

。如以

表示动点的牵连加速度，根据动点的牵连加速度定义，则（6-6）由于牵连运动是平动，在同一瞬时各点速度应相等，即

，故式（6-6）可改写成（d）因此，式（c）右端的第一项即为动点的牵连加速度。

假设曲线

不动，动点在同一时间间隔

内，由曲线

的

位置相对运动到

位置，如以

表示动点的相对加速度，根据动点的相对加速度定义，则（6-7）由于牵连运动是平动，在动坐标系同一位置处的相对速度应相等，即

，故式（6-7）可改写成（e）因此，式（c）右端的第二项即为动点的相对加速度。将上述分析结果——式（d）和式（e），代入式（c）得（6-8）

这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理，即当牵连运动为平动时，动点在每一瞬时的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。式（6-8）的各加速度项均可能由法向加速度和切向加速度组成，则式（6-8）的一般形式应为式中共有6个矢量，每个矢量含有大小和方向共12个因素，必须已知其中的10个因素，才能求解其余2个未知量。

例6-4如图6-8所示往复式送料机，曲柄

，它以角速度

、角加速度

匀变速转动，带动导杆

和送料槽

往复运动。当曲柄与铅垂线成

角时，求

的速度和加速度。图6-8解取曲柄上的

点为动点，动系固结在导杆

上，则动点

的绝对运动是以

点为圆心，

为半径的圆弧运动。

点的相对运动是沿导杆滑槽的上下直线运动。牵连运动是动系即导杆

沿水平方向的直线平动。

速度合成定理

式中，绝对速度方向垂直于

，大小为

；相对速度方向沿

轴，大小未知；牵连速度方向水平，大小未知。画速度平行四边形，可解出该速度即导杆和料槽

的平动速度。

绝对运动是曲线运动，加速度应分解为两项

和

，由牵连运动为平动时的加速度合成定理有式中，

方向垂直

，大小为

；

方向沿

指向

点，大小为

；

向水平，大小未知；

方向沿

轴，大小未知。即为导杆和料槽的平动加速度，负号表明在此瞬时

的实际指向与图中所设方向相反。用解析法将矢量合成式投影到

轴，有例6-5如图6-9（a）所示，已知半径

的半圆板

，沿

的斜面以

匀速向上滑动，推动杆

绕

点转动，

，求在图6-9所示位置时，

杆的转动角速度

及转动角加速度

。图6-9（a）解（1）取

杆上的

点为动点，动坐标系固结在半圆板

上，如图6-9（a）所示，则动点

的绝对运动为以

点为圆心、以

为半径的圆周运动，动点的相对运动为沿半圆板表面的圆周运动，牵连运动为直线平动。已知动点的牵连速度

，且

，

方向已知，由动点的速度合成定理

，可画出速度平行四边形，由此可得到由此可得到

杆的转动角速度

为（2）由于牵连运动为平动，则由动点的加速度合成定理

，可得到式中，

；

；

。

各项加速度方向均为已知，可作出动点的加速度矢量图，如图6-9（b）所示。将式（a）向

轴上投影，可得到加速度的投影方程图6-9所以

最后可得

杆的角加速度第四节牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理由于动坐标系为转动，牵连运动与相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，由于这项加速度是法国工程师科里奥利（G．G．deCoriolis1792—1843）提出的，故称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，通常以符号

表示。这时动点的绝对加速度可写成即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。设动点沿直杆

运动，杆

又以角速度

绕

轴匀速转动。将动坐标系固结在杆上。在瞬时

，动点在

杆的

位置，它的相对速度、牵连速度分别为

和

，经时间间隔

后，杆

转动

角，动点运动到

杆的

点处，这时动点的相对速度、牵连速度分别为

和

，如图6-10（a）所示。图6-10（a）据点的速度合成定理，在

瞬时，动点的绝对速度在瞬时，动点的绝对速度则动点的绝对加速度由定义可写成矢量，的几何意义如图6-10（b）、（c）所示（a）下面分析式（a）右端两项的速度变化

，

的力学意义。由图6-10（b），可知式中，表示相对速度大小变化而引起的相对速度增量；表示由于牵连运动为转动使相对速度方向改变而引起的相对速度增量。图6-10（b）（b）又由图6-10（c）可知（c）式中，

表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；

表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得（d）式（d）的第一项应为动点的相对加速度

，即式（d）的第三项应为动点的牵连加速度

，即

（e）（f）图6-10（c）分析并计算附加加速度的大小和方向。先确定第二项，即

的大小和方向。由图6-10（b）可知，于是其方向垂直于，并与转向一致。再确定第四项，即的大小和方向。由图6-10（a）、（c）可见，，的大小应分别为，式中，为动系的转动角速度。所以其方向也垂直于，并与转向一致。由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合并成一项，用

表示，它的大小为它的方向与

垂直，并与

转向一致。这项加速度称为科氏加速度。将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，即式（d）可写成所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为

根据矢量积运算法则，

的大小为式中，

是矢量

与

的夹角；如图6-11所示。如果

，即机构在平面内运动时，可将相对速度

按着牵连运动角度速度

方向转过

角后，

的指向即为

的指向，其大小为图6-11如果

，则

，

。如图6-12所示，

为静系，

为动系，绕定轴

转动的角速度和角加速度为

和

。动点

的相对速度和相对加速度分别为图6-12式中，

，

和

为动系各轴方向的单位矢量；而，

和

为动点在动系中的坐标。动点的牵连速度和牵连加速度为，式中，

为动点在静系中的矢径；

表示动点在动系中的矢径，显然有

，

为动系原点

在静系中的矢径。动点的绝对速度和绝对加速度应为，但由于牵连转动与相对运动的相互影响，，

，将

表示式代入上式中的第一项可得将

表达式代入

可得如图6-13所示，

矢量端点

的速度等于

，也可用矢量积表示为

，因此有图6-13将

代入上式得式中，第一个括号内各项之和即为相对加速度；第二个括号中包含动系各坐标方向单位矢的变化率，以

为例分析如下。又由于

，因此得同理可得

和

。代入

式后成为因此可得

例6-6地球上北纬

度处一动点

，沿经线向北以

匀速运动，如图6-14所示。考虑地球的自转，求

点的加速度。图6-14解为研究地球自转的影响，显然动系应固结在地球，静系以地球球心为原点，三个轴指向三个恒星。地球的自转为牵连运动即定轴转动，

沿地轴指向北极。动点

沿经线的相对运动是匀速曲线运动，则有，，其中

为地球半径。地球自转视为匀速转动，有，，科氏加速度

应垂直于

和

所决定的平面，大小为过

点取投影坐标系

，如图6-14所示。得到

在这些轴上的投影为例6-7如图6-15所示为一凸轮机构。在图示瞬时，

，凸轮轮廓线在

点曲率半径为

，法线与

夹角为

。设凸轮以

匀速转动，求顶杆的加速度。图6-15解取顶杆上

点为动点，动系固结于凸轮，则绝对运动是