椭圆的几何性质课件 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

椭圆的几何性质2.5.21.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质.2.能用椭圆的几何性质求椭圆的方程.3.能用椭圆的几何性质分析解决有关问题．“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的.椭圆在我们的生活中经常出现，那椭圆有什么性质呢？

范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程______________________________________图形

焦点_____________________________________F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)知识梳理

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦距|F1F2|＝___对称性对称轴：_，对称中心：_____范围x∈

，y∈________x∈________，y∈________顶点____________________________________________________________________________________轴长长轴长|A1A2|＝

，短轴长|B1B2|＝___2cx轴和y轴(0，0)[－a，a][－b，b][－b，b][－a，a]A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2a2ba为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长.它们反映了参数a，b的几何意义.F1F2xOyA1A2B1B2由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义.观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

思考：（1）根据椭圆离心率的定义，椭圆离心率的取值范围是什么？因为a>c>0，所以，即椭圆的离心率0<e<1.因为，xOy（0，b）（a，0）

（2）椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系？并尝试证明.当固定a不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即e越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆就越接近于圆.例1求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.解：把原方程化成标准方程，得于是因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是两个焦点坐标分别F1(-4,0)和F2(4,0)，离心率四个顶点坐标分别是例1求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.将方程变形为用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图).∴在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y)，如表(y的值精确到0.1).x012345y3.02.92.72.41.80由

由椭圆的几何性质可得，b=6，a=8，∴椭圆的标准方程为

解：(1)短轴、长轴分别在x轴和y轴上，设椭圆的标准方程为

1.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤：

例3酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送人到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km，远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km)，求椭圆轨道的标准方程.(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2,A1,A2三点都在x轴上，设所求椭圆方程为|F2A2|=a-c=200+6371，①

|A1F2|=a+c=350+6371.②

联立①②解得a=6646，c=75，从而b2=a2-c2=44163691.∴椭圆轨道的标准方程为解决和椭圆有关的实际问题的思路：(3)用解得的结果说明原来的实际问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并