1.4 充分、必要条件（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

1.4充分、必要条件（精练）1充分、必要条件的判断1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设P：，q：，则p是q成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选：B.2．（2022·贵州毕节·高一期末）对于实数x，“”是“”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性：由，能推出，所以是的充分条件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要条件.故选A．3．（2022·贵州黔东南·高一期末）对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（

）条件A．充要 B．既不充分也不必要C．必要不充分 D．充分不必要【答案】D【解析】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：.4．（2022·江西·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A5．（2022·湖南邵阳·高一期末）“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.6．（2022·福建三明·高一期末）若条件p：，q：，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B.7．（2022·北京朝阳·高一期末）“”是“关于的方程有实数根”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A8．（2022·江苏·高一）成立是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵x∈A∩B⇒x∈A，当x∈A时，不一定有x∈A∩B，x∈A∩B成立是x∈A成立的充分不必要条件．故选：A．9．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，或；时，或成立时，也成立，但成立时，不一定成立是的充分不必要条件，选项A正确故选：A.10．（2022·河南洛阳·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】化简得，因为时，；而时，不一定得出.故“”是“”的充分不必要条件故选：A2充分、必要条件的选择1．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）（多选）使成立的一个充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】或，故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB.2．（2022·福建厦门·高一期末）（多选）已知a，，则的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；故选：CD3．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）（多选）使，成立的充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由可得的集合是，A.由，所以是成立的一个必要不充分条件；B.由，所以是成立的一个充分不必要条件；C.由=，所以是成立的一个充要条件；D.由，所以是成立的一个充分不必要条件；故选：BD.4．（2022·黑龙江·大庆中学高一期中）（多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，解得：，对A，，是不等式成立的必要不充分条件；对B，，是不等式成立的必要不充分条件；对C，与没有互相包含关系，是不等式成立的既不充分又不必要条件；对D，，是不等式成立的充分不必要条件；故选：AB.5．（2022·全国·高一课时练习）“或”的一个必要条件是()A．

B．C．或

D．或【答案】C【解析】依据题意，只需要“或”的所有元素都在所求的范围里即可.所以A、B、D错，C对‘’故选：C3集合的表示方法1．（2022·全国·高一）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，又是的必要不充分条件，所以，故选：D.2．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】由解得：.因为“”是“”的必要不充分条件，所以只需，对照四个选项，a可以取1，2.故选：AB3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．4．（2022·江苏连云港·高一期末）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】由不等式，当时，不等式的解集为空集，显然不成立；当时，不等式，可得，要使得不等式的一个充分条件为，则满足，所以，即∴实数a的取值范围是.故答案为：.5．（2022·全国·高一期末）已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】因为p是q成立的必要非充分条件，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.6．（2022·贵州毕节·高一期末）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．7．（2022·广西钦州·高一期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】0【解析】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.8．（2022·重庆复旦中学高一开学考试）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)条件选择见解析，【解析】(1)当时，集合，，所以；(2)若选择①A∪B＝B，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．9．（2022·江苏·高一）已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；②当，即时，解集，满足题设条件；③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，，此时.综上①②③可得10．（2022·江苏·高一期末）已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），解得：，即，当时，，解得：，即，，或；（2），解得：，即，是的必要不充分条件，，，解得：.所以实数a的取值范围是.11．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合，.(1)若，求实数t的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由得解，所以，又若，分类讨论：当，即解得，满足题意；当，即，解得时，若满足，则必有或；解得.综上，若，则实数t的取值范围为.(2)解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，若，即，解得，若，即，即，则必有，解得，综上可得,，综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．4充分必要条件的证明1．（2022·全国·高一课时练习）求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【答案】或【解析】当开口向上，，所以,当开口向下，，所以满足充要条件故答案为：或.2．（2022·江苏）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.【答案】详见解析.【解析】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根是的充要条件为．3．（2022·安徽省）求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】①充分性：因为，所以方程的判别式，且两根积，所以方程有两个同号且不相等的实根.②必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，设两根为，则有，解得.综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证.4．（2021·江苏·高一单元测试）已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1.（2）必要性(q⇒p)：因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，综上所述，a+b=1的充要条件是a3+