专题一空间向量和立体几何讲义高三数学一轮复习

人教A版数学空间向量和立体几何（一轮复习）专题一知识点一求点面距离,面面角的向量求法典例1、如图，在长方体中，，，点E是棱AB的中点．（1）证明：；（2）求点E到平面的距离；（3）求二面角的余弦值．

拓展练习：如图，在长方体中，，，E、M、N分别是、、的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离；（3）设P为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.典例2、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.（1）求证:;（2）求二面角的大小.

拓展练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．（1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．典例3、四棱锥中，底面为梯形，，，，，为直二面角．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．拓展练习：如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角形，E，F分别是棱上的点，且满足．（1）求证：；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．知识点二证明线面平行,线面角的向量求法典例4、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

拓展练习：如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.典例5、已知平行四边形，，，点是的中点.沿把进行翻折，使得平面平面.（1）求证：平面；（2）点是的中点，棱上一点使得，求二面角的余弦值.拓展练习：如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱上的一点，平面，平面.（1）证明：平面；（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.典例6、如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．（1）证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．

拓展练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.（1）证明：；（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由.人教A版数学空间向量和立体几何（一轮复习）专题一答案典例1、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解:（1）由长方体性质知：面，面，则，又，则为正方形，即，而，∴面，而面，∴.（2）由题设，，则，由，且E是棱AB的中点，则，即，若E到平面的距离为，则，可得.（3）构建如下图示的空间直角坐标系，则，∴，若是面的法向量，∴，令，则，又是面的一个法向量，∴，则锐二面角的余弦值.拓展练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解:（1）证明：连接，，如图，因为E、M分别是、的中点，所以且，又N是的中点，所以，结合长方体的性质可得且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，为长方体，E、M、N分别是、、的中点，所以，，，所以为等腰三角形，其底边上的高为，所以，设点C到平面的距离为，则，又，所以，解得，所以点C到平面的距离为；（3）连接，如图，由平面可得即为直线与平面所成角，又，所以,分别以、、作为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令则，得平面的一个法向量，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.典例2、答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）依题意，平面，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，可得，，，，即；∵，为的中点，∴（2），平面,平面，故为平面的一个法向量.设平面的法向量为，，即，令，得，故.，由图可得二面角为钝角，二面角的余弦值为，则二面角的大小为.拓展练习：答案：（1）证明见解析2（2）解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以．又因为，所以，所以在平面PAE中，，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）连接AC交BD于点O，连接PO，因为正四棱锥P−ABCD，所以平面ABCD，又OA，平面ABCD，所以，，又正方形ABCD，所以．以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，因为，所以，则，，设平面AMN的法向量为，则，取，；，，设平面PBC的法向量为，则取，；所以，设平面AMN与平面PBC所成的二面角为，则，所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为．典例3、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）取的中点,连接，交于,连接,所以,因为，，，所以且,所以四边形为菱形，所以,因为，为的中点，所以,所以为的二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，即,因为，，平面,所以平面,又因为平面，所以.又因为为的中点，为的中点，所以,所以；（2）由（1）知，，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，由,得，所以，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，设直线与平面所成角为，则，因为直线与平面所成角的正弦值为，，所以，解得，由（1）知，为的中点，所以.所以的长度为.拓展练习：答案：（1）证明过程见解析；（2）存在，.解：（1）设的中点为，连接，因为是圆O的直径，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以；（2）连接，因为，所以，因为为正三角形，的中点为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，设平面的法向量为，，所以有，所以，，假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，所以有，或（舍去），即存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）选①②：由，，，易知：，又，，面，则面；选①③：由，，，易知：.又面面，面面，面，∴平面（2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设面的一个法向量为，则，即令，则，，即，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.拓展练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）取中点，连接，分别为中点，，；四边形为矩形，为中点，，；且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即直线与平面所成角的正弦值为.典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：在中，，，，由余弦定理知，，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）设是的中点，因为，，则为正三角形，则，，且，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴.由题可知，，∴为正三角形，∴.以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，，∵，∴，即，解得.∴当点为棱的中点时满足题意，即，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，又平面的一个法向量为，∴，由图可知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值是.拓展练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）设，则为的中点.连结，则平面平面.因为平面，平面，平面平面=，所以，从而为的中点，因此.因为平面，所以.因为，所以平面.（2）解法1：以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系，设.则，，故，.设为平面的法向量则即可取设为平面的法向量，则即可取.由可得，所以.设为平面的法向量，则，即可取.因为，所以二面角的正弦值为.解法2：在平面内过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故.由（1）及题设平面，所以，又，因此平面，所以，因此.以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系，可知，可得设为平面的法向量，则即{可取设为平面的法向量，则，即可取因为，于是二面角的正弦值.所以二面角的正弦值.典例6、答案：（1）证明见解析（2）存在，且与所成角的余弦值为解：证明：连接，设，因为，则，且为等腰直角三角形，因为，则，因为，由余弦定理可得，所以，，则，平面，平面，，，平面，平面，.（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由题意可得，因为，解得，此时，，，，所以，，因此，在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，且与所成角的余弦值为.拓展练习：答案：（1）证明见解析；（2）存在，.解:（1）证明：由题意得，AB//CD，又AB⊂平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.（2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4，又PO2+=4，∴PO=，AD=2.取BC的中点为H，以OA，O