高考数学之三角函数知识点总结

三角函数一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10万能公式:,,定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16若，则sinx<x<tanx.二、方法与例题1．结合图象解题。例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。1（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0（B）1（C）2（D）42．最小正周期的确定。例2求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是（）A．B．C．D．2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=3.（04全国）函数的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函数的最小正周期是.（2）（04江苏）函数的最小正周期为（）.5.(09广东文)函数是()A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数6.（浙江卷2）函数的最小正周期是.3．三角最值问题。例3已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】令sinx=,则有y=因为，所以，所以≤1，所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.【解法二】因为y=sinx+,=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2，当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0。注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。练习1.（09福建）函数最小值是=。2.（09上海）函数的最小值是.3．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是A．B．C．D．4.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1 B． C． D．25.函数在区间上的最大值是()A.1 B. C. D.1+4．换元法的使用。例4求的值域。【解】设t=sinx+cosx=因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为5．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,>0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例5已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，综上，=或2。1.(09山东)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是2.（1）（07山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向平移个单位（2）（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像向平移个单位（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移个单位长度3.将函数y=EQ\R(3)cosx－sinx的图象向左平移m（m>0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（D）A.EQ\F(p,6)B.EQ\F(p,3) C.EQ\F(2p,3)D.EQ\F(5p,6)4.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是()A.B.C.D.6．三角公式的应用。例6已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。【解】因为α-β∈，所以cos(α-β)=-又因为α+β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.例7求证：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20求值1、（1）(07全国Ⅰ)是第四象限角，，则（2）（09北京文）若，则.（3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则.(4)是第三象限角，，则==2、(1)(07陕西)已知则=.(2)（04全国文）设，若，则=.（3）（06福建）已知则=3.(1)(07福建)=(2)（06陕西）=。（3）。4．已知，则的值为（）A．B．C．D．5．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为（）A．－B．C．－D．6.若，则的取值范围是：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.若则=（）（A）（B）2（C）（D）单调性1.（04天津）函数为增函数的区间是（）.A.B.C.D.2.函数的一个单调增区间是（）A． B． C． D．3.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．4．（07天津卷）设函数，则（）A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数5.函数的一个单调增区间是()A．B．C．D．6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()=f()，则f(x)的解析式可以是（） A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x)C．f(x)=sin(4x)D．f(x)=cos6x四.五.对称性1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是（）A． B． C． D．2（07福建）函数的图象（）Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称3（09全国）如果函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（）(A)(B)(C)(D)图象4．（2006四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则=.7．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象()A．向左平移eq\f(π,4)个长度单位B．向右平移eq\f(π,4)个长度单位C．向左平移eq\f(π,2)个长度单位D．向右平移eq\f(π,2)个长度单位9．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,6)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)八.解三角形1.(2009广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则2.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于2，的取值范围为.3.（09福建）已知锐角的面积为，，则角的大小为5．已知△ABC中，，则的值为7.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的面积，求的长．九..综合1.（04天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为2．(04广东)函数f(x)是（） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数3．（09四川）已知函数，下面结论错误的是()A.函数的最小正周期为2B.函数在区间［0，］上是增函数C.函数的图象关于直线＝0对称D.函数是奇函数4．(07安徽卷)函数的图象为C,如下结论中正确的是①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos<0，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8．已知函数对任意都有，则等于（）A、2或0B、或2C、0D、或0十.解答题1．（05福建文）已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.2（06福建文）已知函数 （I）求函数的最小正周期和单调增