专题06相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(原卷版+解析)

专题06相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为．例2．（2022·山东九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．

例5．（2023·成都市·九年级专题练习）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．课后专项训练1、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（

）A．B．C．D．3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．4．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．5．（2023•姑苏区校级二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM、DN、MN．若AB＝10，则DN＝．6．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．7．（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．

8.在中，，垂足为，求的长9.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．10．（2022·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．

11．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．12．（2022·山东·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．13．（2023•沈阳模拟）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°．（1）求证：△DEF∽△ABC；（2）当AE＝AF时，求BE的长为；（3）若△AEF与△ABC相似，则BE的长为；（4）EF的最小值为；（5）若△CDF是等腰三角形，则BE的长为．14．（2022•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．（1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值；（2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC；（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值．15．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的长；（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．16．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）17．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，中，点分别是的中点，与点．（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积．18．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，平分．（1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值．

专题06相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为．【答案】16【分析】通过证明，得到相似比，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，则相似比为，∴，∵的面积为4，∴的面积为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．例2．（2022·山东九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝．【答案】【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案为：．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．例5．（2023·成都市·九年级专题练习）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，从而可得∠DCE=∠DCF=135°，于是可证得，则有DE=DF；（2）结合（1）可求得∠CDF+∠F=45°从而可得∠F=∠CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE=2，从而可求得CG=DG=，可证得，从而可求得GN=，再利用勾股定理即可求得DN．（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是中线，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°∵在△DCE与△DCF中，，∴，∴DE=DF；（2）证明∶∵∠DCE=∠DCF=135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴，∴，即；（3）解：如图，∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，∴∠DGN=∠ECN=90°，∠GCD=∠CDG=45°，∴CG=DG当CD=2，CF=时，由可得，CE=2，在Rt△DCG中，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．课后专项训练1、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．故选：A．2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D．【详解】解：由题意可知，垂直平分，，，则选项A正确；，，，，，，，，，，则选项B正确；假设，，又，，，与矛盾，则假设不成立，选项C错误；，，，在和中，，，，即，，则选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为．【答案】【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．【详解】如解图，过点作于，∵，∴，∴，∵，点是的中点，∴，∵，∴∽∴∴，设为，则，由勾股定理得，又∵，∴，则，∵且，∴∽，∴，即，解得，∴．∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．5．（2023•姑苏区校级二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM、DN、MN．若AB＝10，则DN＝．【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN＝BC，证明四边形NDCM为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可．【解答】解：连接CM，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，∵M，N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝BC，∵CD＝BD，∴CD＝BC，，∴CD＝MN，∵MN∥BC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN＝CM＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．【答案】

5

2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长；【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=MC=BC=12，又∵tanC=∴tanB=∴AM=BMtanB=12×=5，根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；∴AB=AC==13，如图2，过点A作AN⊥BC，在Rt△APN中，PN=PC-CN=1，又AN=5，∴AP2=PN2+AN2=26，在△APQ与△ACP中，∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，∴△APQ∽△ACP，∴∴AP2=AQAC，∴AQ=2故答案为：5；2．【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键．7．（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．

【答案】【分析】证明，可得，再代入数据求解即可．【详解】解：∵，，，为AB边的中点，，∴，，∴，，（负根舍去）．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解是解题的关键．8.在中，，垂足为，求的长【答案】4【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．9.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】见解析【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．10．（2022·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．

【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）用同角的余角相等得和相等，结合角平分线得和相等，即可证明两个三角形相似；（2）证明两个三角形和相似，再利用面积比等于相似比即可得的面积．【详解】（1）证明：为边上的高，，，，，．平分，，在和中，，∽．（2）如图，这点作交于点，

在中，根据勾股定理得：，，．，，是的平分线，，，．在和中，，∽．．设，则，，解得．．∽，．．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质和判定．熟练掌握相似的判定方法是解题的关键，利用面积比等于相似比的平方求三角形的面积是本题的难点．11．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．12．（2022·山东·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．13．（2023•沈阳模拟）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°．（1）求证：△DEF∽△ABC；（2）当AE＝AF时，求BE的长为；（3）若△AEF与△ABC相似，则BE的长为；（4）EF的最小值为；（5）若△CDF是等腰三角形，则BE的长为．【分析】（1）根据对角互补可知点A、E、D、F四点共圆，得∠BAD＝∠EFD，再根据同角的余角相等得∠BAD＝∠C，可证明结论；（2）设AE＝AF＝x，则BE＝3﹣x，由△BDE∽△ADF，列方程即可；（3）分△AEF∽△ABC或△AEF∽△ACB两种情形，分别计算；（4）根据△DEF∽△ABC知，要使EF最小，则DE最小，当DE⊥AB时，DE最小，从而得出答案；（5）当DC＝CF时，利用△BDE∽△ADF，代入即可；当DF＝FC时，则点F为AC的中点，得DF＝AF＝2，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵∠EDF＝∠BAC＝90°，∴点A、E、D、F四点共圆，∴∠BAD＝∠EFD，∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠C，∴∠BAD＝∠C，∴△DEF∽△ABC；（2）解：在△BAC中，BC＝＝5，∴AD＝，∵BD：AD：AB＝3：4：5，∴BD＝，设AE＝AF＝x，则BE＝3﹣x，∵△BDE∽△ADF．∴＝，即，∴x＝，∴BE＝3﹣＝，故答案为：；（3）解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC，设AE＝3x，则AF＝4x，∴BE＝3﹣3x，∵，∴，∴x＝，∴BE＝3﹣3x＝3﹣，当△AEF∽△ACB时，∴∠AEF＝∠C，由（1）知，∠DFE＝∠C，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF，∴∠AFD＝90°，∴四边形AEDF为矩形，∴，∴BE＝，综上：BE＝或，故答案为：或；（4）解：要使EF最小，则DE最小，当DE⊥AB时，DE最小，∵，∴DE＝，∴EF的最小值＝，故答案为：；（5）解：当DC＝CF时，∵DC＝5﹣＝，∵DC＝CF，∴CF＝，∴AF＝4﹣，∵△BDE∽△ADF，∴，∴BE＝；当DF＝FC时，则点F为AC的中点，∴DF＝AF＝2，∴，∴BE＝，由题意知，DC不可能等于DF，综上：BE＝或，故答案为：或．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，利用△BDE∽△ADF是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．14．（2022•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．（1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值；（2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC；（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF＝BC，结合题意计算，得到答案；（2）过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G，根据平行线分线段成比例定理得到AH＝HC，证明△HFG∽△CFE，根据相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理证明结论；（3）连接DF交AE于M，设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，根据平行线的性质得到＝，＝，解方程得到答案．【解答】（1）解：∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF＝BC，∵CE＝2BE，∴CE＝BC，∴＝＝；（2）证明：如图2，过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G，∵AD＝DB，∴AH＝HC，设BC＝x，AC＝y，则CE＝mx，CF＝ny，∴FH＝x﹣ny，∵DG∥BC，∴△HFG∽△CFE，∴＝，∴＝＝，∴HG＝（﹣m）x，∵DH＝BC＝x，m+n＝4mn，∴DG＝DH+HG＝x+（﹣m）x＝mx，∴DG＝CE，∵DG∥BC，∴＝＝1，∴PD＝PC；（3）解：连接DF交AE于M，设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，∵AD＝DB，AF＝FC，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴DF∥BC，∴＝，即＝，∴＝，∴＝，整理得：x2+3x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），∴＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，正确作出辅助线、掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．15．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的长；（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．【答案】（1）①见解析；②12；（2）①；②7或【分析】（1）①根据四边形AEFG是平行四边形以及H是EF的中点，可以得出HF是△DAG的中位线，进而可得GF＝DF；②通过证明AB⊥AE，解Rt△ABE求得AE，便可进一步求得结果；（2）①如图2中，过点A作AK⊥DG于K，过点E作EJ⊥AD于J，过点A作AH⊥BC于H．构造相似三角形解决问题即可；②分当∠EAD＝90°和∠AED＝90°两种情形分别求解即可．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF，AG=EF，∵H是EF的中点，∴HF=EF=AG，∴HF是△DAG的中位线，∴GF＝DF．②如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AEFG是平行四边形，∴AB∥CD，AE∥GF，∵GF⊥CD，∴AB⊥AE，∴∠B＝60°，AB＝，∴GF＝AE＝AB•tanB＝＝6，∴GD＝2GF＝12；（2）①如图2中，过点A作AK⊥DG于K，过点E作EJ⊥AD于J，过点A作AH⊥BC于H．∵四边形AGFE是平行四边形，∴AE∥DG，∠G＝∠AEF＝45°，∵AK⊥DG，∴AK⊥AE，∵EJ⊥AD，∴∠AKD＝∠AJE＝∠EAK＝90°，∴∠EAJ+∠KAD＝90°，∠KAD+∠ADK＝90°，∴∠EAJ＝∠ADK，∴△EJA∽△AKD，∴，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝，∠B＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝3，在Rt△AGK中，∵∠AKG＝90°，∠G＝45°，AG＝y，∴AK＝KG＝y，∴，∴，如图2﹣1中，∵∠G＝45°，AD＝BC＝10，∴点G的运动轨迹的弧，当∠ADG最小时，AG的值最小，当点E与C重合时，∠ADG＝∠DAC最小，AG的值最小，在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AH＝3，CH＝10﹣，∴，∴∵AE的最小值为3，∴AG的最大值为，∴．②如图3﹣1中，当∠EAD＝90°时，可知AE＝FG＝3，DG＝AD＝10，DF＝DG﹣FG＝7．如图3﹣2中，当∠AED＝90°时，过点E作EJ⊥AD于J，设AJ＝x，则DJ＝10﹣x，∵EJ⊥AD，∠AED＝90°，∴∠AJE＝∠EJD＝90°，∴∠EAJ+∠AEJ＝90°，∠AEJ+∠DEJ＝90°，∴∠EAJ＝∠DEJ，∴△EJA∽△DJE，可得EJ2＝AJ•DJ，∴x（10﹣x）＝9，解得x＝1或9（舍弃），∴AJ＝1，DJ＝9，∴，∵AE∥DG，∴∠EDG＝180°﹣90°＝90°，∵∠AEF＝∠DEF＝45°，∴DF＝DE＝，综上所述，满足条件的DF的值为7或．【点睛】本题考查平行四边形的性质、求反比例函数解析式、相似三角形等知识，综合性较强，难度较大.解题时需注意根据不同情况进行分类讨论，避免漏解。16．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(