湖南省长沙市2025届高三8月入学考试数学模拟参考答案

湖南省长沙市2025届高三8月入学考试数学模拟参考答案1．A【分析】根据求出1+iz，求出iz，求出，求出.【详解】由，有1+iz∴iz=∴z故选：B．2．B【分析】根据对数函数单调性求集合N，进而求交集.【详解】因为，，所以.故选：B.3．A【分析】利用二倍角的余弦公式计算得解.【详解】由，得.故选：A4．C【分析】结合百分位数的定义，直接求解即可.【详解】将此组数据从小到大排列：14,16,17,18,19,20,21,21,22,23，且共有10个数，因为，所以第80百分位数为.故选：C.5．D【分析】由条件结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求.【详解】因为数列为等差数列，所以，又，所以，所以，又，所以.故选：D.6．B【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解.【详解】对于AC，，AC不是；对于BD，，B是，D不是.故选：B7．D【分析】根据线面角以及线线角的定义可得，即可由锐角三角函数表示结合三角函数的单调性即可求解.【详解】由于平面，故,故由于的大小不确定，所以无法确定的大小，故的大小不确定，A错误，由于,故，由于均为锐角，所以也是锐角，故，即.故选：D8．D【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解.【详解】曲线表示抛物线与，由得，因为，所以，可得抛物线与直线有两个交点，曲线与直线有3公共点，则直线与抛物线相切，把代入得，则，解得，由对称性可知，设与轴的交点为，则，若为定值，则为定值，则点分别为抛物线与的焦点，此时为抛物线上一点到轴距离与其焦点距离差的2倍，即.故选：D．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．9．AD【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案．【详解】由，，得：，，，所以数列是周期为3的数列，所以，故选：AD．10．ACD【分析】由的范围可得的取值范围，然后对其分类可得方程所表示的曲线．【详解】解：是任意实数，，当时，方程所表示的曲线是圆；当且不等于1时，方程所表示的曲线是椭圆；当时，方程所表示的曲线是双曲线；当时，方程所表示的曲线是两条直线．故选：ACD．【点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．11．ACD【分析】对于A：根据正八面体的结构特征运算求解即可；对于B：设，可得，结合锥体的体积公式运算求解；对于C：分析可知为正八面体的外接球的球心，且半径，进而可得表面积；对于D：分析可知为正八面体的内切球的球心，内切球的半径即为点到平面的距离，利用等体积法求半径，即可得体积.【详解】对于选项A：由题意可知：正八面体的每一个面都是边长为的正三角形，所以其表面积为，故A正确；对于选项B：设，则为的中点，且平面，可知，可得，所以正八面体的体积为，故B错误；对于选项C：由选项B可知：，即为正八面体的外接球的球心，且半径，所以正八面体的外接球的的表面积为，故C正确；对于选项D：根据对称性可知：为正八面体的内切球的球心，则内切球的半径即为点到平面的距离，设为，因为，即，解得，所以正八面体的内切球的体积为，故D正确；故选：ACD.12．2【分析】根据模长公式即可代入求解.【详解】由，得，将，代入得，解得.故答案为：213．14【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出.【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项，所以.故答案为：1414．【分析】由题意可知，若，当为最大值时，即在的切点处的切线与平行，因此求出时，在处的导数，即可求出，根据，求出，最后根据，即可求解.【详解】令，，令，得，当，，单调递减，当，，单调递增，，，所以的另一个根在，因为，若的最大值为5，则和不能同时大于0，令，在上单调递增，设，，的最大值为5，即时，上的一点切线和平行，此时这一切点的横坐标为，而，因此，由此可得，解得，故，，即，得，，解得：，或，因为，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定最大时，是与平行时，的切线的切点，从而可以求出.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出；（2）由基本不等式求出，得到面积的最大值.【详解】（1），由正弦定理得，其中，故，故，因为，所以，故，由辅助角公式得，即，因为，所以，所以，解得；（2），，由余弦定理得，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，解得，仅当时取等，故的面积，最大值为.16．(1)或(2)存在，【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解；（2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可.【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为，∴，解得，或，．∴椭圆C的方程为或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨设直线MN的方程为：，，Mx1,y1联立，得．则，，若的内心在x轴上，则，∴，即，即，可得．则，得，即．当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点．故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）设，取的中点，连接，则，又，则，四边形为平行四边形，于是，平面平面，平面平面，则平面，所以平面，而平面，因此，由四边形为菱形，得，又平面，所以平面.（2）依题意，为等边三角形，连接，，平面平面，平面平面，平面，则平面，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）首先求出样本中从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，即可得到，根据二项分布的概率公式求出分布列，再计算其期望即可；（2）记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车，依题意得到，，，，再由概率乘法公式得到，从而得到.【详解】（1）从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，根据频率估计概率，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，则这3人到德卡鲁尔站下车的人数，即的可能取值为，，，，所以，，，，所以的分布列如下：0123则；（2）由表中数据可知，在高铁离开卡拉旺站时，在哈利姆站上车的有35人，在卡拉旺站上车的有30人.记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车；，，，，从哈利姆站上车的乘客中是来自地的概率为，从卡拉旺站上车的乘客中是来自地的概率为，，，，，，在高铁离开卡拉旺站时，所求概率的比值为.19．(1)(2)【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数，并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，则，曲线在处的切线为，且曲线在处的切线为，且故，用牛顿迭