专题06-几何图形初步-角度问题压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型必刷题(人教版)

专题06高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。1.（明德）已知，，OE平分∠BOC.(1)如图①，当∠COD在∠AOB的内部时.①若∠AOC=40°，则∠COE=_________；∠DOE=_________.②若∠AOC=α，则∠DOE=_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD在∠AOB的外部时①请写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC内部有一条射线OF，满足∠AOC+2∠BOE=4∠AOF，写出∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝40°，∵∠COD＝60°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝60°﹣40°＝20°．故答案为：40°，20°．②∵∠AOB＝120°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝120°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝60°﹣α，∵∠COD＝60°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE，∵∠AOC﹣∠AOB＝∠BOC，∠DOE﹣∠COD＝∠EOC，∴∠AOC﹣∠AOB＝2（∠DOE﹣∠COD），∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴∠AOC﹣120°＝2（∠DOE﹣60°），化简得：2∠DOE＝∠AOC．②∠DOE﹣∠AOF＝30°，理由如下：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝2∠BOE，∠AOC+2∠BOE＝4∠AOF，∴4∠AOF＝∠AOB+4∠BOE，∵∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝∠BOE，∴4∠DOE＝4∠COD+4∠BOE，∴4∠AOF﹣4∠DOE＝∠AOB﹣4∠COD，∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴4∠AOF﹣4∠DOE＝﹣120°，∴∠DOE﹣∠AOF＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC是∠AOB的一条三分钱，且，若；(2)如图②，已知，若OC，OD是∠AOB的两条三分线.①求∠COD的度数；②在①的基础上，现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n°得到.当OA恰好是的三分线时，求n的值.图①图②【解答】解：（1）已知OC是∠AOB的一条三分钱，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝75°，∴∠AOC＝∠AOB＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，∴∠COD＝∠AOB＝30°；②分两种情况：当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，∠AOC′＝10°，∴∠DOC'＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD'＝20°+30°＝50°；当OA是∠C′OD'的三分线，且∠AOD'＜∠AOC时，∠AOC'＝20°，∴∠DOC′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD'＝10°+30°＝40°；综上所述，n＝40°或50°．3．（师大）若A、O、B三点共线，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE＝；（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC的；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数；（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°，故答案为40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠COE+DOC＝∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∴∠DOC＝∠DOB，∴DO平分∠BOC，∴DO是∠BOC的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD＝∠AOE，∠COD+∠DOE+∠AOE＝130°，∴5∠COD＝40°，∴∠COD＝8°，∴∠BOD＝58°；当OE与射线OC的反向延长线重合时，5t+40＝180，∴t＝28，当OE与射线OC重合时，5t＝360﹣40，∴t＝64，综上所述：t的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使。将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分。问：此时直线是否平分？请说明理由.（2）将图1中的三角板绕点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则直接写出的值______.（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，求的度数是否为定值，若是，求出其度数；若不是，说明理由.【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°∴∠MOB+∠NOB＝90°，∠MOC+∠COD＝90°，∵∠MOB＝∠MOC，∴∠NOB＝∠COD，∵∠NOB＝∠AOD，∴∠COD＝∠AOD，∴直线NO平分∠AOC；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s或49s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（3）∠AOM﹣∠NOC＝40°，理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON）＝40°．5.（长郡）若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足时，我们称OC是（OA，OB）的“新风尚线”，但OC不是（OB，OA）的“新风尚线”。如果或者，我们称OC是OA和OB的“新风尚线”。（1）如图（1），已知∠GON=120°，∠MON=60°，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线是（OM，ON）的“新风尚线”；（2）如图（2），若∠AOB=30°，OC是（OA，OB）的“新风尚线”，则∠BOC=；（3）如图（3），若∠AOB=80°，射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒8°的速度向射线OB旋转，求射线OP成为两条射线OA和OQ的“新风尚线”时，射线OP旋转的时间t（单位：秒）的值。（0<t<18）图（1）图（2）图（3）【解答】解：（1）∠GOM＝∠GON＝60°，∴OG是（OM，ON）的新风尚线；∠MOE＝∠NOE＝20°，∴OE是（OM，ON）的新风尚线；故答案为：OE，OG．（2）当OC在∠AOB外部，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝60°，当OC在∠AOB内部，∠AOC＝∠BOC，又∵∠AOB＝30°，即∠AOC+∠BOC＝30°，∴∠BOC＝20°，故答案为：20°或60°．情况1，OP不可能是（OA，OQ）的新风尚线，而OP是（OQ，OA）的新风尚线，则∠QOP＝∠AOP，即80﹣18t＝（80﹣10t），∴t＝；情况2，若OP是（OQ，OA）的新风尚线，则∠QOP＝∠AOP，18t﹣80＝（80﹣10t），∴t＝；若OP是（OA，OQ）的新风尚线，则∠AOP＝∠QOP，（80﹣10t）＝（18t﹣80），∴t＝；情况3，OP不可能是（OQ，OA）的新风尚线，所以OP是（OA，OQ）的新风尚线，则有∠AOP＝∠QOP，10t﹣80＝（18t﹣80），∴t＝40（舍）；情况4，OP是（OQ，OA）的新风尚线，则∠QOP＝∠AOP，440﹣18t＝（10t﹣80），∴t＝（舍）；若OP是（OA，OQ）的新风尚线，则∠AOP＝∠QOP，10t﹣80＝（440﹣18t），∴t＝．综上所述，时间（单位：秒）的值为，，，．6．（青竹湖）已知如图（1）：，且，为锐角），平分，平分，在线段上，，，为中点，为中点．（1）图（1）中，在内，当射线和射线重合时，求的度数，此时在线段上，当点和点重合时，求线段的长度；（2）图（2）中，在内，当射线和射线不重合时，求的度数，此时在线段上，当点和点不重合时，求线段的长度；（3）当从图（1）所示的位置绕点逆时针旋转时，满足，求旋转度数（结果用、表示）．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB∴∠MON＝．∵M为AD中点，N为CB中点∴MN＝．（2）设∠AOC＝m°，AC＝a，∠DON＝﹣β＝．同理可得∠MOB＝．∴∠MON＝∠AOC﹣∠COD﹣∠AOB﹣∠MOB﹣∠DON＝m﹣α﹣β﹣﹣＝．DN＝，BM＝，∴MN＝a﹣x﹣y﹣﹣＝．（3）由（2）可知：∠MON＝．又因为∠AOC＝α+n+β，且∠AOC+∠MON＝6∠COD，∴α+n+β+＝6β∴n＝．7.（雅礼）一副三角尺(分别含，，和，，)按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为.(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_______度；(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转.①当为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）；（2）①t＝8.75秒；②t＝8.75秒或秒.8.（长郡）综合题如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三板()的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方.(1)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，恰好平分.(i)此时的值为________；(直接填空)(ii)此时是否平分？请说明理由；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；(3)在(2)问的基础上，经过多长时间平分？【解答】解：（1）①3；②是；（2）5秒或69秒；（3）秒。9.（师大）如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒(，本题出现的角均不大于平角)(1)图中一定有________个直角；当时，的度数为________；(2)①若等于平角时，求此时的值；②若平分，平分，当为直角时，请求出的值；(3)当射线在内部时，是不是一个定值？若是，请求出这个定值.【解答】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，故答案为：4；144°，114°；（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠DON＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴，．∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，（15t﹣90）+×12t＝90，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t值为10．（3）当∠MON＝180°时∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°解得，当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，①如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝＝．（不是定值）②如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴，＝＝．（是定值）综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为，这个定值是3．10.（长梅）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处。（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则______；（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；（3）如图3，将三角板绕点逆时针旋转至如图位置时，，求的度数.【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°．∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°．即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°．∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°．∴4∠NOC+∠NOC＝25°．∴∠NOC＝5°．∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．11.（广益）如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转.(1)①如图1，________度.②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板不动，三角板从图示位置开始每秒开始逆时针旋转一周(旋转)，问旋转时间为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”.(2)如图3，若三角板的边从外开始绕点逆时针旋转，转速秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速秒，在两个三角板旋转过程中，(转到与重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为秒，以下两个结论：①为定值；②为定值，请选择你认为对的结论加以证明.【解答】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；②如图1﹣1，BD∥PC，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；如图1﹣2，PC∥BD，∵PC∥BC，∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°