新高考数学二轮复习创新题型专题02 函数与导数（新定义）（原卷版）

专题02函数与导数（新定义）一、单选题1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，则SKIPIF1<0称为“高斯函数”，例如：SKIPIF1<0.已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集SKIPIF1<0中定义一种运算“SKIPIF1<0”，具有下列性质：①对任意a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③对任意a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则函数SKIPIF1<0的值域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·上海·统考模拟预测）设SKIPIF1<0，若正实数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0则下列选项一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则称点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一对“隐对称点”.若函数SKIPIF1<0的图象存在“隐对称点”，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·高二单元测试）能够把椭圆SKIPIF1<0的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设SKIPIF1<0，计算机程序中用SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，则SKIPIF1<0称为取整函数．例如；SKIPIF1<0．已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的不动点.给定函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均存在唯一不动点，分别记为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算SKIPIF1<0:SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数SKIPIF1<0则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于SKIPIF1<0定义域内的任意一个自变量的值SKIPIF1<0，都存在唯一一个SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，则称函数SKIPIF1<0为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间SKIPIF1<0上，若函数SKIPIF1<0是减函数，且SKIPIF1<0是增函数，则称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是“弱减函数”.若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“弱减函数”，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为SKIPIF1<0的“类康托尔函数”SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的解析式为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<016．（2023·全国·高三对口高考）定义SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，若对于任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“纯函数”，给出下列四个函数（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，则下列函数中纯函数个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数SKIPIF1<0，若集合SKIPIF1<0中恰有SKIPIF1<0个元素，则称函数SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0阶准奇函数”．若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是“（

）阶准奇函数”．A．1 B．2 C．3 D．419．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义SKIPIF1<0为不小于SKIPIF1<0的最小整数（例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的任意实值函数．如下定义两个函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列等式不恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的严格增函数，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的“追逐函数”．已知SKIPIF1<0，则下列四个函数中是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的“追逐函数”的个数为（

）个．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．422．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且值域为SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0函数．已知函数SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0函数，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为某一三角形的三边长，则称SKIPIF1<0为“可构成三角形的函数”，已知SKIPIF1<0是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0．则函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0满足在定义域内存在非零实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“有偶函数”．若函数SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0上的“有偶函数”，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，设函数的定义域为SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0A．0 B．1 C．2 D．327．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数SKIPIF1<0，如果存在区间SKIPIF1<0，同时满足下列条件：①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是单调的；②当定义域是SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域也是SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是该函数的“和谐区间”SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0存在“和谐区间”，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，若存在非零实数SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上与SKIPIF1<0轴均有交点，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<030．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<031．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“SKIPIF1<0”、“内卷”、“躺平”等．定义方程SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的“躺平点”．若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“躺平点”分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．（2022·高二课时练习）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的导函数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的导函数为SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0恒成立，则称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为“凸函数”.已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<033．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程SKIPIF1<0的实根SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的“新驻点”，若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“新驻点”分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<034．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，若存在区间SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0同时满足，①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调函数，②当SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域也为SKIPIF1<0，则称区间SKIPIF1<0为该函数的一个“和谐区间”，则（

）A．函数SKIPIF1<0有3个“和谐区间”；B．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在“和谐区间”C．若定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0有“和谐区间”，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0D．若函数SKIPIF1<0有“和谐区间”，则实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<036．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数SKIPIF1<0的函数值等于所有不超过正整数SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0互素的正整数的个数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是单调递增函数 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0为素数时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<037．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数SKIPIF1<0，若在区间SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的“稳定函数”.下列函数中，是区间SKIPIF1<0上的“稳定函数”的有（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<038．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图象连续不断，若存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对于任意的实数SKIPIF1<0恒成立，则称SKIPIF1<0是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（

）A．函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0为回旋函数的充要条件是SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0是回旋函数C．若函数SKIPIF1<0为回旋函数，则SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的回旋函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至少有1011个零点39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数SKIPIF1<0同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有SKIPIF1<0；②若对于定义域上的任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<040．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数SKIPIF1<0，表示“不超过SKIPIF1<0的最大整数”，后来我们又把函数SKIPIF1<0称为“高斯函数”，关于SKIPIF1<0下列说法正确的是（

）A．对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增D．SKIPIF1<041．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设SKIPIF1<0是定义在R上的函数，对于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在正整数k使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0值是SKIPIF1<0的一个周期为k的周期点．若SKIPIF1<0，下列各值是SKIPIF1<0周期为2的周期点的有（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<042．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若对于任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）成立，则称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的“半差值”为SKIPIF1<0下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为SKIPIF1<0的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<043．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值5，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是严格增函数，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是严格减函数．44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，满足：①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是单调函数；②存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，那么就称函数SKIPIF1<0为“优美函数”，若函数SKIPIF1<0是“优美函数”，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“SKIPIF1<0”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“SKIPIF1<0”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：SKIPIF1<0．函数SKIPIF1<0，定义使SKIPIF1<0为整数的数SKIPIF1<0叫做企盼数，则在区间SKIPIF1<0内，这样的企盼数共有_______个．46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数SKIPIF1<0可以采用下列方法求导数：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两边求导可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.根据这一方法，可得函数SKIPIF1<0的极小值为___________.47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是定义在同一区间SKIPIF1<0上的两个函数，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的零点，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“关联函数”．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“关联函数”，则实数SKIPIF1<0的取值范围是____________．48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是一个双中值函数，已知函数SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的双中值函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________．四、解答题49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数SKIPIF1<0，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，我们就称该函数“不动点”函数，实数SKIPIF1<0为该函数的不动点.(1)求函数SKIPIF1<0的不动点；(2)若函数SKIPIF1<0有两个不动点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0