3.1.1 椭圆的标准方程（六大题型）（解析版）

3.1.1椭圆的标准方程课程标准学习目标1、能说明本章的学习内容、学习方法与学习价值.2、能举例说明圆锥曲线在现实世界中的广泛应用.3、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,能说出椭圆的定义,能推导椭圆的标准方程,进一步体会数形结合思想.1、理解并掌握椭圆的定义.2、掌握椭圆的标准方程的推导.3、会求简单的椭圆的标准方程.知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形．【即学即练1】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为．【答案】8【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得.故答案为：8知识点二：椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．设（），为椭圆上任意一点，则有．（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：．（3）代数方程，即：.（4）化简方程由可得，则得方程关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．椭圆的标准方程：（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；知识点诠释：（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．【即学即练2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为.【答案】【解析】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长，所以所求椭圆标准方程是.故答案为：知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【即学即练3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为；【答案】【解析】设动圆的半径为，由已知得：圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知：，两式相加得，，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以轨迹的方程为.故答案为：题型一：椭圆的定义与标准方程例1．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以．因为，所以，，故椭圆C的标准方程为．故选：D.例2．（2023·高二课时练习）椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（

）A．4 B．6C．8 D．2【答案】B【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆长轴长，不妨令，由，得.故选：B例3．（2023·全国·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【解析】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.变式1．（2023·全国·高二课堂例题）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点．【解析】（1）由已知得，因此．又因为，所以，易知椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为．由已知得，又因为，所以．因为点在椭圆上，所以，即．从而有，解得或（舍去）．因此，从而所求椭圆的标准方程为．变式2．（2023·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．【解析】由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，故椭圆的标准方程为.变式3．（2023·云南大理·高二鹤庆县第三中学校考阶段练习）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为由椭圆定义，故故椭圆的标准方程为：（2）不妨设椭圆的方程为：经过两点、故，解得即故椭圆的标准方程为：变式4．（2023·广东惠州·高二校考阶段练习）已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为.【答案】【解析】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，，，所以椭圆的标准方程为.故答案为：变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【答案】【解析】由题知：，①又椭圆经过点，所以，②又，③联立解得：，故椭圆的标准方程为：.故答案为：.【方法技巧与总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件例4．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．【答案】必要不充分【解析】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；当为椭圆，则，可得且，必要性成立；综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分例5．（2023·全国·高二专题练习）方程表示椭圆的充要条件是．【答案】答案不唯一【解析】方程表示椭圆,则必有解之得或故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）例6．（2023·全国·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【答案】B【解析】当为定值时，若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值；所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B变式6．（2023·全国·高二专题练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B变式7．（2023·河北邯郸·高二阶段练习）是方程为的曲线表示椭圆时的A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【解析】表示椭圆需满足，所以是方程为的曲线表示椭圆时的必要条件考点：1．椭圆方程；2．充分条件与必要条件变式8．（2023·全国·高二专题练习）曲线与的关系是（

）A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点【答案】D【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D.变式9．（2023·高二课时练习）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.故选：C【方法技巧与总结】表示椭圆的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2023·高二课时练习）椭圆焦点三角形的性质椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形，它们具有下面的性质.（1）焦点三角形的周长为；（2）当时，最大；（3）；【答案】.【解析】（1）由，得，故.（2），①，在中，由余弦定理得：，把①代入可得，②，因为，当且仅当时等号成立，所以，取最小值时取最大值.故由以上可得，当时，最大.（3）由②可得，③.，把③代入面积公式，即，故.故答案为：（1）；（2）；（3）.例8．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于两点，则的周长为；【答案】20【解析】由，得，得，因为两点都在椭圆上，所以由椭圆的定义可得，，因为，所以的周长为，故答案为：20例9．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．【答案】34【解析】因为，所以，故，则，又，故，则，，所以的周长为.故答案为：34.变式10．（2023·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为.【答案】8【解析】由椭圆方程可得，又由图可得的周长为.故答案为：8变式11．（2023·高二课时练习）已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为．【答案】20【解析】因为＝0，所以⊥，所以△是直角三角形．由椭圆定义知||＋||＝6，①又，②由－②得，因为，所以.故答案为：20.变式12．（2023·全国·高二专题练习）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.【答案】/【解析】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：变式13．（2023·全国·高二专题练习）为椭圆上的一点,和是其左右焦点,若,则的面积为.【答案】【解析】设,由椭圆定义在中,由余弦定理得.即所以,,所以故.由题知故答案为：变式14．（2023·河南开封·高二校考阶段练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为.【答案】24【解析】由椭圆的方程可得：，，，，，且根据椭圆的定义可得：，，，则在中，，，故答案为：24.变式15．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则．【答案】/【解析】由椭圆方程得：，，，；设，由椭圆定义知：，，，即，解得：或；为椭圆在第一象限内的点，，即，，；.故答案为：.变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为．【答案】4【解析】因为点在上，所以有，由，当且仅当时取等号，故答案为：4变式17．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为．【答案】2【解析】，；，，设，，为椭圆上一点，①，，②，由①②得，．故答案为：2．变式18．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上一点，，则．【答案】或.【解析】由题意可得：，，在中由余弦定理可得：，所以有=，即，，，所以，整理得：，所以或，解得或，又因为，所以或.故答案为：或.【方法技巧与总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.题型四：椭圆上两点距离的最值问题例10．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即，又，所以，由，所以；故选：A例11．（2023·江西宜春·高二校考开学考试）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，又因为，所以，PM为圆的切线，，所以当PF最长时，切线长PM最大．当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．此时的最大值为．故选：B．例12．（2023·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】，，，即.所以的最大值为.故选：D变式19．（2023·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故选：D.变式20．（2023·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】设圆的圆心为，则，设，则，所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B．变式21．（2023·辽宁·高二期中）设是椭圆的左､右焦点，是椭圆上任意一点，若的最小值是，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，因为的最小值为，即的最小值为，由椭圆，可得，则，所以，所以，即，令，解得或（舍去），由对勾函数的单调性可得，当取得最大值时，的最小值为，即当时，的最小值为，即，解得，所以.故选：B.【方法技巧与总结】利用几何意义进行转化.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例13．（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：①，当且仅当、、三点共线时，等号成立，在中可得：②，当且仅当、、三点共线时，等号成立，由①②得：，由椭圆方程可得：，即，由椭圆定义可得：，所以，.故选：A.例14．（2023·全国·高二课堂例题）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的定义，得，所以，即所求取值范围为．故选：A例15．（2023·高二课时练习）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【解析】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，则，如图：当点P在位置M时，取到最大值，当点P在位置N时，取到最小值，所以的取值范围是，即，所以的最大值，最小值，所以.故选：C.变式22．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知椭圆的左焦点为是上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【解析】因为，所以在椭圆内部，设椭圆的右焦点为，由椭圆，得，由椭圆的定义可得，所以，当且仅当是射线与椭圆的交点时取等号．故选：C..变式23．（2023·天津·高二统考期末）已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，，当三点共线，且在之间时等号成立.故选：A变式24．（2023·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知在上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，两边平方后化简得，，焦点分别是,的几何意义是曲线上的点与定点距离的差，如图表示点,根据椭圆定义可知，当三点三点共线时取等号，此时,所以的最小值是.故选：D变式25．（2023·山西·高二校联考期中）已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（

）A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】C【解析】依题意可知，对于椭圆，，对于圆，圆心为，半径，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义有，根据圆的几何性质有，当且仅当是线段与圆交点时等号成立，所以，其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立，所以，此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点.故选：C变式26．（2023·高二单元测试）点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设是椭圆的右焦点，则又因为，，所以，则故选：A变式27．（2023·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故选：A.【方法技巧与总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：利用第一定义求解轨迹例16．（2023·江苏·高二校联考开学考试）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.例17．（2023·四川资阳·高二统考期末）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（

）

A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆【答案】D【解析】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆，所以椭圆的离心率为，故选：D例18．（2023·全国·高二课堂例题）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为动点满足关系式，所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12，而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即，又，，所以动点M的轨迹方程为.故选：C.变式28．（2023·全国·高二专题练习）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【解析】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.变式29．（2023·全国·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，所以，即，整理得，故选:C.变式30．（2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，,所以，由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A变式31．（2023·全国·高二专题练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，因为，所以，又，则，所以，即，由于，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，由，所以顶点的轨迹方程是.故选：A.变式32．（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，,所以,由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A变式33．（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵的周长为，，∴，，∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），又，，可得，∴顶点的轨迹方程为：．故选：D．变式34．（2023·全国·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，,，则,．为线段的中点，，即，．又点在圆上，，即．故点的轨迹方程为．故选：A变式35．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆：的圆心，半径.由于，所以在圆内，根据垂直平分线的性质可知，所以，所以点的轨迹是椭圆，且，所以点的轨迹方程是.故选：C变式36．（2023·高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．故选：A．变式37．（2023·全国·高二专题练习）设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】B【解析】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B.变式38．（2023·山西吕梁·高二统考期末）设点A，B的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因直线AM，BM的斜率之积是，则有，整理为，显然有，所以点M的轨迹方程为.故选：A变式39．（2023·全国·高二课堂例题）椭圆上有动点P，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心M的轨迹方程.【解析】设点P，M的坐标分别为，，∵在已知椭圆的方程中，，，∴，则已知椭圆的两焦点为，.∵存在，∴.由三角形重心坐标公式有即∵，∴.∵点P在椭圆上，∴，∴，故的重心M的轨迹方程为.变式40．（2023·高二课时练习）设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．【解析】设．因为为线段的中点，所以，因为，所以点的轨迹方程为．变式41．（2023·高二课时练习）（1）点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．（2）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．【解析】（1）方程化成标准形式为，圆心为，半径．因为动圆与已知圆相内切且过点，所以，根据椭圆的定义，动点到两定点的距离之和为定值，所以动点的轨迹是椭圆．（2）设，由中点坐标公式得所以又点在椭圆上，所以，即．变式42．（2023·高二课时练习）已知动圆过定点，并且在定圆：的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解析】设动圆和定圆内切于点，由得，即动圆圆心到两定点，的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，则，.∴的轨迹方程是．变式43．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x－1）2＋y2＝16，点B（－1，0），过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹τ的方程；【解析】如图，因为，所以＝，|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|＋|EA|＝|ED|＋|EA|＝|AD|＝4>|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为，则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，所以y≠0，所以点E的轨迹τ的方程为；【方法技巧与总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.一、单选题1．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的焦点，设，，所以，由于，，所以的取值范围为.故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可设椭圆的方程为.又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程，得，解得（舍去）.故所求的椭圆方程为.故选：B.3．（2023·全国·高二课堂例题）已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】将曲线C的方程化为，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：A.4．（2023·高二校考课时练习）已知P为椭圆上的点，为其两个焦点，则使的点P有（

）A．4个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】D【解析】由已知可得，，，，所以，.设点，假设存在点使得，即，即，即有.联立，可得，显然无解.所以，假设错误，即不存在点使得，所以，使的点P有0个.故选：D.5．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（

）A．13 B．11 C．9 D．8【答案】D【解析】如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（

）A．8 B．12 C．16 D．64【答案】A【解析】由题意得，，于是，即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，记，根据椭圆定义和勾股定理：，于是.故选：A7．（2023·全国·高二专题练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（

）A．±3 B．±4 C．±5 D．【答案】B【解析】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以，．故选：B．8．（2023·全国·高二专题练习）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，圆心由于在圆，圆心，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为，故.故选：D二、多选题9．（2023·高二课时练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【解析】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.10．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为曲线，直线的方程为，交于两点、，则下列结论正确的是（

）A．的方程为B．的取值范围是C．的最小值为8D．可能是直角三角形【答案】ABC【解析】对A，设，由题意可得，整理可得，所以A正确；对B，且圆心的坐标，半径，则圆心到直线的距离，要使有两个交点，可得，即，可得，所以B正确；对C，联立，整理可得：，，即，，，，所以，当满足时，的值最小，最小值为8，所以C正确；对D，由的最小值为8，可知不可能为直角顶点，不妨设在的下方，可知不可能为直角顶点，设过原点与的直线方程为，由圆心到直线的距离，解得，解得，，故不与垂直，不可能是直角三角形，故D错误．故选：ABC．11．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与椭圆交于两点，的角平分线与轴相交于点，与轴相交于点，则（

）A．四边形的周长为8B．的最小值为C．直线的斜率之积为D．当时，【答案】AC【解析】连接,,由椭圆的对称性可知关于原点对称，所以四边形为平行四边形，所以，对于A,四边形的周长为,故A正确，对于B,由于，所以,当且仅当等号成立，故的最小值为，故B错误，对于C，设，不妨设为第一象限，，则所以，故C正确，对于D，联立直线与椭圆的方程得，故直线的方程为，令，，由于是角平分线，所以由等面积法可得,假若，则，则解得或，由于，故舍去，此时，由于，所以，将其代入，故D错误，故选：AC12．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（

）A．的面积的最大值为B．以线段为直径的圆与直线相切C．恒成立D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为【答案】BCD【解析】对A，，则，由图得，显然当点位于椭圆上下顶点时，的面积的最大值，最大值为，故A错误；对B，以线段为直径的圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；对C，设，则，且，则，，，则，故C正确；对D，由C选项知，则，则，若，令，则有，解得，同理若，令，则有，解得，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：14．（2023·全国·高二课堂例题）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为.【答案】【解析】方法一：由题意得.因此所求椭