平顶山市宝丰县2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

平顶山市宝丰县2016届九年级上期末数学试卷

含答案解析

一、选择题：每小题3分，共24分.

1.sin30°=()

11

A.OB.1C.2D.4

2.一元二次方程x2-2x=0的根是()

A.xl=0,x2=-2B.xl=l,x2=2C.xl=l,x2=-2D.xl=0,x

示的收三视】)

A.B.C.D.

4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向

上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是()

A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2-2C.y=3(x-1)2+2D.y=3

(x-1)2-2

5.一个不透亮的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分不写有数字1,

2,3,4,口袋外有两张卡片，分不写有数字2,3,现随机从口袋里取出一

张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是(

)

115

A.4B.2C.1D.1

6.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面

的表格：

x...-2i-1012...

y...-11I-21-2-5...

由于粗心，他算错了其中一个y值，则那个错误的数值是()

A.-11B.-2C.1D.-5

展“二。一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,

折力，得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=()

I

4FB

A.2：IB.&：1C.3：FD.3：2

。为原点的直角坐标系中，窄形OABC的两边OC、0

的正半轴上，反比例函数y=x(x>0)与AB相交于点

E,若BD=3AD,且△()口£的面积是9,贝Uk=()

24

"5D.12

二、填空题：每空3分，共21分.

9.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是

10.已知正六边形的周长是12,则它的半径是

11.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范畴是

=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示,

它4「是1和4,那么能够使得yl<y2的自变量x的取

值加

15.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且aWO)通过点(-1,0)

和(m,0),且l<m<2,当x<-1时，y随着x的增大而减小.下列结

论：①abc>0；②a+b>0；③若点A(-3,yl),点B(3,y2)都在抛物

线上，贝1Jyl(y2；④a(m-l)+b=O；⑤若cW-l,则b2-4acW4a.其中

结论错误的是.(只填写序号)

三、解答题：共8小题，共75分.

16.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.

(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

攵置的圆柱形排水管的截面为。O,有水部分弓形的高

为:的半径.

18.已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分不是边AD,BC的中点,

E,F分不是线段BM,CM的中点.

(1)求证：△ABM0ZkDCM；

(2)判定四边形MENF是什么专门四边形，并证明你的结论；

时，四边形MENF是正方形（只写结

6

19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=x（x>0）的图象交于A

两点.

的解析式;

€

截了当写出使kx+b<x成立的x的取值范畴;

y面积.

20.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处

朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西600方向前进实施拦截,

红厂B::处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝

南4相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点

D夕果不取近似值）.

D

21.如图，Rt^ABC中，NABC=90。，以AB为直径作半圆。。交A

三为BC的中点，连接DE.

：DE是半圆。。的切线.

BAC=30。，DE=2,求AD的长.

C

22.永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销

过程中发觉，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系能够近似地看

作一次函数y=-2x+100.（利润=售价-进价）

（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？

最大利润是多少元？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元.若商店

想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

1

23.二次函数y=ax2+bx+c的图象通过点（-1,4）,且与直线y=-2x

+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCLx轴，垂足

为点C(-3,0).

N上一点（点N在AB上方），过N作NPLx

求MN的最大值；

4N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？

7坐标.

河南省平顶山市宝丰县2016届九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共24分.

1.sin30°=()

11

A.OB.1C.2D.4

【考点】专门角的三角函数值.

【分析】按照专门角的］三角函数值进行解答即可.

【解答】解：sin30°=2.

故选C.

【点评】本题考查的是专门角的三角函数值，熟记各专门角度的三角

函数值是解答此题的关键.

2.一元二次方程x2-2x=0的根是()

A.xl=0,x2=-2B.xl=l,x2=2C.xl=l,x2=-2D.xl=0,x

2=2

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即

可.

【解答】解：x2-2x=0,

x(x-2)=0,

x=0,x-2=0,

xl=0,x2=2,

故选D.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一

元二次方程转化成一元一次方程，难度适中.

3.如图所示的物体的左视图为()

A.B.C.D.

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应

表现在左视图中.

【解答】解：从左面看易得第一层有1个矩形，第二层最左边有一个

正方形.

故选A.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的

视图.

4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向

上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是()

A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2-2C.y=3(x-1)2+2D.y=3

(x-1)2-2

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】常规题型.

【分析】先按照抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=

0,顶点坐标为(0,0),则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2

个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,2),然后再按

照顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.

【解答】解：•..抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),

抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物

线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,2),

二.平移后抛物线的解析式为y=3(x-1)2+2.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式

化为顶点式y=a(x-k)2+h,其中对称轴为直线x=k,顶点坐标为(k,h),

若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解

析式为y=a（x-k-m）2+h+n；抛物线的平移也可明白得为把抛物线的顶

点进行平移.

5.一个不透亮的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分不写有数字1,

2,3,4,口袋外有两张卡片，分不写有数字2,3,现随机从口袋里取出一

张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是（

）

113

A.4B.2C.1D.1

【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系.

【专题】压轴题.

【分析】先通过列表展现所有4种等可能的结果数，利用三角形三边

的关系得到其中三个数能构成三角形的有2,2,3；3,2,3；4,2,3共

三种可能，然后按照概率的定义运算即可.

【解答】解：列表如下：

共有4种等可能的结果数，其中三个数能构成三角形的有2,2,3；3,

2,

1234百张卡片上的数能构成三角形的概率=4

23123224323423

【点评】本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展

现所有等可能的结果数n,再找出其中某事件所占有的结果数m,然后按照

n

概率的定义运算那个事件的概率=工也考查了三角形三边的关系.

6.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面

的表格：

x...-2-1012...

y...-11-21-2-5...

由于粗心，他算错了其中一个y值，则那个错误的数值是（）

A.-11B.-2C.1D.-5

【考点】二次函数的图象.

【分析】按照关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案.

【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得

(-1,-2),(0,1),(1,2)在函数图象上，

za-b+c=-2

,c=i-2),(0,1),(1,-2)代入函数解析式，得

a二一3

a+b+c

b=0

解得'二1,

函数解析式为y=-3x2+1

x=2时y=-11,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是

解题关键.

一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折，

折呼f得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=()

I

4FB

A.2：IB.R：1C.3：FD.3：2

【考点】相似多边形的性质.

【专题】运算题.11

r分析】才上照折叠性质得到AF=%LB=G,再按照相似多边形的性质得

AEAEe1

到圣瓯即i方,然后利用比例的性质运算即可.

［解答］解:1...矩形纸片对折，折痕为EF,

AF=2AB=2a,

,/垢形AFED上矩形ABCD相似，

AEAEs1

二.启瓯即二；

/.(b)2=2,

£

故选B.

【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做

相似比.相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

I。为原点的直角坐标系中，窄形OABC的两边0C、0

A夕人4'^—B的正半轴上，反比例函数y=W(x>0)与AB相交于点

D,NE,若BD=3AD,且AODE的面积是9,则k=()

0\_

S2724

A.2B.NC.-5D.12

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面

积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数.

【解答】解：..•四边形OCBA是矩形，

.,.AB=OC,OA=BC,

设B点的坐标为(a,b),

•.•BD=3AD,

£

/.D(N,b),

...占D,E在反比例函数的图象上，

abk

/.4=k,/.E(a,e),1

SAODE=S与巨形OCBA-SAAOD-SAOCE-SABDE=ab-W.J-

11k4

。生-"我・(b-s)=9,

424

k=5,

故选C.

【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，

那个点的坐标应适合那个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函

数上的点的坐标有关的形式.

二、填空题：每空3分，共21分.

9.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是(2,5)

【考点】二次函数的性质.

【分析】由于抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),由此即

可求解.

【解答】解：...抛物线y=3(x-2)2+5,

二.顶点坐标为：(2,5).

故答案为：(2,5).

【点评】此题要紧考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练把握抛

物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k).

10.已知正六边形的周长是12,则它的半径是2.

【考点】正多边形和圆.

【分析】由于正六边形能够由其半径分为六个全等的正三角形，而三

角形的边长确实是正六边形的半径，由此即可求解.

【解答】解：...正六边形能够由其半径分为六个全等的正三角形，

而三角形的边长确实是正六边形的半径，

又..•正六边形的周长为12,

...正六边形边长为2,

二.正六边形的半径等于2；

故答案为：2.

【点评】此题要紧考查正多边形和圆、正六边形的性质；属于常规题,

熟记正六边形的半径等于边长是解决咨询题的关键.

11.关于x的二元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范畴是k<].

【考点】根的判不式.

【分析】按照判不式的意义得到4=(-3)2-4k>0,然后解不等式

即可.

【解答】斛：按照题意得△=(-3)2-4k>0,

解得k<1.c

故答案为：k<1.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的判不式

A=b2-4ac：当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个

相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

l=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示,

它4水是1和4,那么能够使得yl<y2的自变量x的取

值4

【考点】二次函数与不等式(组).

【分析】求能够使得yl<y2的自变量x的取值范畴，实质上确实是按

照图象找出函数yl=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值时x的取值范畴，由

两个函数图象的交点横坐标及图象的位置，可求范畴.

【解答】解：依题意得，能够使得yl<y2的自变量x的取值范畴，

实质上确实是按照图象找出函数yl=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值

时x的取值范畴，

由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置能够明白现在x的取值范

畴x>4或x<l.

故填空答案：x>4或x<l.

【点评】解答此题的关键是把解不等式的咨询题转化为比较函数值大

小的咨询题，然后结合两个函数图象的交点横坐标解答，本题锤炼了学生

数为法.

中，CD是直径，弦ABLCD,垂足为E,连接BC,

若斗告"=22。3”,则。。的半径为2cm.

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理.

【专题】运算题.

［分析］先按照圆周角定理得到NBOD=2NBCD=45°,再按照垂径定

理得至UBE=WXB=&,且△BOE为等腰直角三角形，然后按照等腰直角三角

形的性质求解.

【解答】解：连结OB,如图，

VZBCD=22°30,，

二.NBOD=2NBCD=45°,

（ABOE为等腰直角三角形，

D

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，同时平分

弦所对的两条弧.也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.

形OABC与正方形ODEF是位似图形，点。为位似中

，点A的坐标为（0,1）,则点E的坐标是（及，逐）

：

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【专题】常规题型.

【分析】由题意可得OA：OD=1：又由点A的坐标为（1,0）,

即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标.

【解答】解：...正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似

中心，相似比为1：

/.OA：OD=1：

•.•点A的坐标为（0,1）,

即OA=1,

/.OD=总

...四边形ODEF是正方形，

.,.DE=OD=R.

，E点的坐标为：（&,&）.

故答案为：（&,&）.

【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单,

注意明白得位似变换与相似比的定义是解此题的关键.

15.抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且aWO）通过点（-1,0）

和（m,0）,且l<m<2,当x<-1时，y随着x的增大而减小.下列结

论：①abc>0；②a+b>0；③若点A（-3,yl）,点B（3,y2）都在抛物

线上，则yl<y2；④a（m-l）+b=0；⑤若cW-l,则b2-4acW4a.其中

结论错误的是③⑤.（只填写序号）

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】压轴题；数形结合.

【分析】按照题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线

开口方向得a>0,由抛物线的对称轴位置得b<0,由抛物线与y轴的交点

位置得c<0,因此可对①进行判定；由于抛物线过点（-1,。）俞（m,0）,

b1

且l<m<2,按照抛物线的对称性和对称轴方程得到0〈-五变形可

得a+b>0,则可对②进行判定；利用点A（-3,yl）和点B（3,y2）到

对称轴的距离的大小可对③进行判定；按照抛物线上点的坐标特点得a-b

+c=0,am2+bm+c=0,两式相减得am2-a+bm+b=O,然后把等式左边分解

后即可得到a（m-l）+b=0&对④进行判定；按照顶点的纵坐标公式

和抛物线对称轴的位置得到4a<c<-1,变形得到b2-4ac>4a,则可

对⑤进行判定.

【解答】解：如图，

...抛物线开口向上，

/.a>0,

...抛物线的对称轴在y轴的右侧，

/.b<0,

...抛物线与y轴的交点在x轴下方，

/.c<0,

abc>0,因此①的结论正确；

•.•抛物线过点(-1,0)和(m,0),且l<m<2,

b1

1a+b

...分左右>0,a+b>0,因此②的结论正确；

...点A(-3,yl)到对称轴的距离比点B(3,y2)到对称轴的距离远,

.'.yl>y2,因此③的结论错误；

...抛物线过点(-1,0),(m,0),

a-b+c=0,am2+bm+c=0,

am2-a+bm+b=0,

a(m+1)(m-1)+b(m+1)=0,

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax

2+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a〉0时,

抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系

数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）；

常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）.抛物线与x

轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=

b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x

轴没有交点.

三、解答题：共8小题，共75分.

16.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.

(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【考点】根的判不式.

【分析】(1)设方程的另一个根为x,则由根与系数的关系得：x+l=

-a,x*l=a-2,求出即可；

(2)写出根的判不式，配方后得到完全平方式，进行解答.

【解答】解：(1)设方程的另一个根为x,

则由根与系数的关系得:x+l=-a,x*1-a-2,

解得：］X=-2,a=2,q

即a三,方程的另一个根为-2;

(2)A=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0,

，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【点评】本题考查了根的判不式和根与系数的关系，注意：如果xl,x

2是一5二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，aWO)的两个根，则xl+

x2--£,xl*x2=a,要记牢公式，灵活运用.

攵置的圆柱形排水管的截面为。O,有水部分弓形的高

为：的半径.

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】第一过点。作OJAB于点D,交吊于点C,连接0B,设

。。的半径为r,则0D=r-2,由垂径定理得BD与AB,再利用勾股定理可

得结果.

【解答】解：过点。作OCLAB于点D,交品于点C,连接0B,

设。0的半径为r,则0D=r-2,

VOCJAB,

11

二.BD=2AB=2X4、冬2,匹,

左ptAnnn山

2,即(r-2)2+(2F)2=r2,

【点评】本题要紧考查了垂径定理和勾股定理，作出恰当的辅助线,

利用定理是解答此题的关键.

18.已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分不是边AD,BC的中点,

E,F分不是线段BM,CM的中点.

(1)求证：△ABM0ZkDCM；

(2)判定四边形MENF是什么专门四边形，并证明你的结论；

.B=2：1时，四边形MENF是正方形(只写结论，

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方

形的判定.

【分析】(1)按照矩形的性质可得AB=CD,NA=ND=90。，再按照

M是AD的中点，可得AM=DM,然后再利用SAS证明△ABMZ^DCM；

(2)四边形MENF是菱形.第一按照中位线的性质可证明NE〃MF,

NE=MF,可得四边形MENF是平行四边形，再按照△ABM^^DCM可得

BM=CM进而得ME=MF,从而得到四边形MENF是菱形；

(3)当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明NEMF=90。

按照有一个角为直角的菱形是正方形得到结论.

【解答】(1)证明：...四边形ABCD是矩形，

，AB=CD,NA=ND=90°,

又是AD的中点，

，AM=DM.

AB=CD/,

NA=/D】M和AADCM中,

AM=DM,

/.AABM^ADCM(SAS).

(2)解：四边形MENF是菱形.

证明如下：

VE,F,N分不是BM,CM,CB的中点，

，NE〃MF,NE=MF.

二.四边形MENF是平行四边形.

由(1),得BM=CM,，ME=MF.

二.四边形MENF是菱形.

(3)解：

当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形.理由：

•「M为AD中点，

，AD=2AM.

".'AD：AB=2：1,

，AM=AB.

,/NA=90,

二.NABM=NAMB=45°.

同理NDMC=45°,

：.ZEMF=180°-45°-45°=90°.

•.•四边形MENF是菱形，

二.菱形MENF是正方形.

故答案为：2：1.

【点评】此题要紧考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判

定，关键是把握菱形和正方形的判定方法.

e

19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=x(x>0)的图象交于A

(m,6),B(3,n)两点.

(1)求一次函数的解析式；

截了当写出使kx+b<x成立的x的取值范畴；

y面积.

【考点】反比例函数与一次函数的交点名询题.

【分析】(1)先把A、B点坐标代入y=x求出m、n的值；然后将其分

不代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得

它们的值即可；

(2)按照图象能够直截了当写出答案；

(3)分不过点A、B作AE，x轴，BC，x轴，垂足分不是E、C点.直

线AB交x轴于D点.SAAOB=SAAOD-SABOD,由三角形的面积公式

能够直截了当求得结果.。

£

【解答】解：(1),点A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数y=x(x

>0)的图象上，

m=l,n-2,

即A(1,6),B(3,2).

又，：-3人(m,6),B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上，

•Q一尸、।1

•,1[k=-2

解得ib=8,

则该一次函数的解析式为：y=-2x+8；

(2)按照图象可知使kx+b<x成立的x的取值范畴是0<x<1或x>3；

(3)分不过点A、B作AELx轴，BCLx轴，垂足分不是E、C点.直

线AB交x轴于D点.

珠

x=4,即D(4,0).

(3,2),

OD-SABOD=2X4X6-2X4X2=8.

EC

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点咨询题：先由点的

坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现

了数形结合的思想.

20.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处

朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，

红上^---------~二处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝

南4分/°：相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点

D夕果不取近似值）.

【考点】解直角三角形的应用-方向角咨询题.

【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；

过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F,则NE=]/F=10°,

拦截点D处到公路的距离DA=BE+*.解RtABCE,求出BE=2BC=2X10

00=500米；MRtACDF,求出CF=^CD=500&米，则DA=BE+CF=（500

+500&）米.

【解答】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线

交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F,则N

E=/F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.

在RtABCE中，*/NE=90°,/CBE=60°,

/.ZBCE=30°,

11

/.BE=5BC=2X1000=500米；

在RtAPDF中,VZF=90°,NDCF=45°,CD=BC=1000米,

）米，

AC00+500&

潞的距离是（500+500&）米.

D

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角咨询题，锐角三角

函数的定义，正确明白得方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

21.如图，RtaABC中，ZABC=90°,以AB为直径作半圆。。交A

cm为BC的中点，连接DE.

o|\）：DE是半圆的切线.

y?BAC=30。，DE=2,求AD的长.

【考点】切线的判定.

【专题】证明题.

【分析】（1）连接OD,0E,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直

角三角形，再由E为斜边BC的中点，得至I]DE=BE=DC,再由OB=OD,0

E为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角

形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；

（2）在直角三角形ABC中，由NBAC=30。,得到BC为AC的一半,

按照BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由NC=60。,DE=EC得

到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC-CD即可求出AD

的长.

【解答】（1）证明：连接OD,OE,BD,

VAB为圆O的直径，

二.NADB=NBDC=90°,

在Rt^BDC中，E为斜边BC的中点,

，DE=BE,

OB=OD/,

clQBE和aAODE中,

BE二DE,

/.AOBE^AODE(SSS),

二.NODE=NABC=90°,

则DE为圆。的切线；

(2)"RtAABC中，NBAC=30。,

/.BC=2AC,

•.•BC=2DE=4,

，AC=8,

V\50°,DE=CE,

□建I\j为…等边三角形，即DC=DE=2,

【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟

练把握切线的判定方法是解本题的关键.

22.永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销

过程中发觉，每周销量y(盏)与销售单价x(元)之间关系能够近似地看

作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-进价)

(1)写出每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间函数解析式；

(2)当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？

最大利润是多少元？

(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元.若商店

想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)按照每轴的利润w=(x-18)y,再把y=-2x+100代入

即可求出z与x之间的函数解析式，

(2)按照利润的表达式，利用配方法可得出利润的最大值；

(3)先得出销售利润的表达式，然后建立方程，解出即可得出销售单

价；

【解答】解：(1)w=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)

=-2x2+136x-1800,

/.z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800(x>18)；

(2)Vw=-2x2+136x-1800=-2(x-34)2+512,

.,.当x=34时,w取得最大,最大利润为512万元.

答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是5

12万元.

(3)周销售利润=周销量义(单件售价-单件制造成本)=(-2x+10

0)(x-18)=-2x2+136x-1800,

由题意得，-2x2+136x-1800=350,

解得：xl=25,x2=43,

•.•销售单价不得高于30元，

二.X取25,

答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；

【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本

题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练把握配方法求二次

函数最值的应用.

1

23.二次函数y=ax2+bx