专题2.5 对数与对数函数（解析版）

2.5对数与对数函数思维导图知识点总结知识点一对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知识点三对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称典型例题分析考向一对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)log5eq\r(3,625)；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5eq\f(9,5).解(1)原式＝eq\f(1,3)log5625＝eq\f(1,3)log554＝eq\f(4,3).(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考向二对数换底公式的应用例2(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.答案eq\f(5,6)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log34)＋\f(1,log38)))log32＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))log32＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log182×18)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).反思感悟利用换底公式化简与求值的思路考向三对数函数的概念及应用例3(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③④y＝log3eq\f(x,2)；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.答案(1)D(2)－1解析(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．(2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝loga8，解得a＝2.所以对数函数的解析式为f(x)＝log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)对数式系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.考向四对数函数的图象问题例4(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的()答案C(2)函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．答案(－1,3)解析令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．(3)已知f(x)＝loga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．解因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x，x>0，,log5－x，x<0.))所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．考向五反函数例5函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．解(x<0)是增函数，所以0<<100，所以0<<1，故f(x)＝的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，所以g(x)＝2019lgx，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．反思感悟互为反函数的常用结论(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．考向六解对数不等式例6解下列关于x的不等式：(1)(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．解(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0<x<2.所以原不等式的解集为{x|0<x<2}．(2)当a>1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1.))解得x>4.当0<a<1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5<x－1，))解得eq\f(5,2)<x<4.综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0<a<1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<x<4)))).反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．基础题型训练一、单选题1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考虑的值，再利用指对数转换可得和的关系.【详解】由题设可得，故，故选：C.【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.2．已知，函数与的图像只可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，从而得出结论．【详解】解：已知，故函数是增函数．而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，故选：．【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．3．已知，则的大小关系为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数的运算及对数函数的性质,结合幂函数的性质即可求解.【详解】因为，，因为函数在上单调递增，又，所以，故．故选：D.4．设，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先利用对数函数的图像与性质判断出与的符号，从而可判断出的符号，利用换底公式计算出与的大小，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的减函数，则，即.又对数函数为上的增函数，则，即，由换底公式得，，，，即，即，故选：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题.5．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可知函数为偶函数，且当时，函数单调递增，进而可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为函数满足，且定义域为R，所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，故可以变为，即，当时，；当时，可得．又，当且仅当时取等号，所以，解得.故选：B．6．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数解析式可得函数为偶函数，且当时，为增函数，将不等式转化为求解即可．【详解】因为，所以，所以函数为偶函数．当时，，为增函数，由（1），（1）得（1），即（1），可得，解得．故选：．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与应用，考查转化思想的应用及运算求解能力，属于中档题．二、多选题7．已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由基本不等式可得，A由求的范围即可判断；B由求范围即可判断；C应用对数运算及对数的性质即可判断；D利用基本不等式求的范围即可判断.【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，由，即，则，A正确；由，即，B错误；由，C正确；由，当且仅当时等号成立，D错误；故选：AC8．已知函数，则（

）A．在单调递增B．在单调递增，在单调递减C．的图象关于直线对称D．函数的最小值为0【答案】BC【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单调性并判断最值情况，判断是否相等判断对称性.【详解】由题设，故，其定义域为，令，而递增，又在上递增，在上递减，故在上递增，在上递减，且最大值为，无最小值，所以A、D错误，B正确；，则的图象关于直线对称，C正确.故选：BC三、填空题9．若，则a=__________.【答案】2【分析】化为同底的对数相等求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：2.10．函数的定义域为________.【答案】【详解】试题分析：由题意得，，解得，即函数的定义域为.考点：指数函数与对数函数的性质.11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________．【答案】【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.【详解】因为对，且都有成立，所以函数在上单调递增.所以，解得.故答案为：12．已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______．【答案】【分析】利用对数函数、指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案．【详解】由题意，因为，则，根据对数函数的单调性，可得，根据指数函数的图象与性质，可得，所以．【点睛】本题主要考查了三个数的比较大小，同时考查了对数函数、指数函数的图象与性质的应用，着重考查了运算、求解能力，属于基础题．四、解答题13．已知函数.(1)若函数的最小值为，求实数的值；(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)利用函数的单调性即可求解；(2)利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）要使函数有意义，则，解得,,二次函数的对称轴为，且，所以函数在单调递增，在单调递减，又因为，所以在单调递减，在单调递增，所以，解得.（2）由(1)得，所以，，单调性证明如下，且，=，因为且，所以且，即，所以，即，所以函数在上单调递减.14．已知，用对数的定义证明公式：．【答案】详见解析.【解析】设，利用对数的定义得到，再利用同底数幂的除法求解.【详解】设，则，所以，即，所以.15．已知，a=，，求的值．【答案】2020【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解,利用对数的运算法则求解，然后代入化简即可.【详解】，【点晴】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示16．设为奇函数，a为常数．（1）求a的值．（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；（2）转化条件为对于恒成立，令，结合函数的单调性求得即可得解.【详解】（1）因为为奇函数，则，则，所以即，当时，，不合题意；当时，，由可得或，满足题意；故；（2）由可得，则对于恒成立，令，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.提升题型训练一、单选题1．已知函数且，则函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令，解得，，所以函数恒过定点，故选：D2．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．9【答案】B【解析】根据函数，先求得，再求即可.【详解】因为函数，所以，所以，故选：B3．已知满足则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】，故故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.4．已知<1，那么a的取值范围是()A．0<a< B．a>C．<a<1 D．0<a<或a>1【答案】D【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．【详解】当a>1时，由loga<logaa得a>，得a>1；当0<a<1时，由loga<logaa得0<a<，故0<a<.综上可知，a的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．5．已知，，，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分别缩小的范围，即可得到答案；【详解】因为，所以；因为，所以；因为，所以，所以.故选：.6．若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．【详解】，，，，，，，，，故选：．二、多选题7．下列命题是真命题的是（

）A．若幂函数过点，则B．，C．，D．命题“，”的否定是“，”【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，，故正确；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；故选：【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.8．下列函数中，值域是的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分析得到选项AB的函数的值域为，选项C的函数的值域为,选项D的函数的值域为，即得解.【详解】对于函数，因为，所以，所以选项A正确；对于函数，因为，所以，所以选项B正确；对于函数，因为，所以，所以选项C错误；对于函数，因为，所以函数的值域为，所以选项D正确．故选：AB．三、填空题9．已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解.【详解】；；，，同时成立则有，，当时，，三个式子，，同时成立，的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查函数的单调性应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.10．______．【答案】1【分析】根据指数和对数的运算性质进行计算即可.【详解】,故答案为：1.11．方程的解为___________.【答案】2【详解】依题意，所以，令，所以，解得或，当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解.考点：对数方程.12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________【答案】【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，又，为上的偶函数；当时，单调递增，设，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；由可知，解得．故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.四、解答题13．求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用分数指数幂运算法则即得；（2）利用指对运算法则计算．【详解】（1）原式（2）原式14．已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；(2)若实数满足，求实数的取值范围.【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)【分析】（1）由奇偶性定义直接判断即可；（2）化简函数得到，由此可知在上单调递增；利用奇偶性可化简所求不等式为，利用单调性解不等式即可.(1)为奇函数，证明如下：定义域为，，为定义在上的奇函数.(2)，又在上单