4.2.2 等差数列的前n项和（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.2.2等差数列的前n项和（精讲）考点一等差数列基本量的计算【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．(1)已知，，求；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)44(2)(3)370(4)-42【解析】(1)等差数列中，，，，解得，．．等差数列中，，，，即得，解得．(3)等差数列中，，，，解得，，．(4)等差数列中，，，，，成等差数列，，即，解得．【例1-2】（2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题）古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设第分到钱，设数列的公差为，由题意可得，所以，，解得.故选：A.【一隅三反】1．（2022·江苏南京）设为等差数列的前项和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：设等差数列的通项公式为，则解得：故选：B2．（2021·江苏省震泽中学高二月考）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（）A．1539块 B．1863块C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.故选：C3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)在等差数列的前n项和为且，由等差数列的前项和公式，可得.(2)在等差数列的前n项和为且，由等差数列的性质可得，又由等差数列的前项和公式，可得.(3)解：在等差数列的前n项和为且，由等差数列的前项和公式，可得，解得，又由等差数列的性质可得.(4)解：在等差数列的前n项和为且，根据等差数列的前项和的性质，可得构成等差数列，因为，即构成的等差数列，所以，解得.考点二等差数列前n项和与中项性质【例2-1】（2022·辽宁）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为和是等差数列,故故选:C【例2-2】（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，所以.故选：B【例2-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由．故选：D【例2-4】（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B．C． D．3【答案】B【解析】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.【一隅三反】1．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B2．（2022·海南华侨中学高二期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.3．（2022·全国·高二课时练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A4．（2022·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在等差数列中，由，得，故选：B5．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）已知分别是等差数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分别是等差数列的前项和，故，且，故，故选：D考点三等差数列前n项的性质【例3-1】（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差数列性质知：，，成等差数列，，即，解得：.故选：C.【例3-2】2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【解析】为等差数列，，，，解得..故选：A.【例3-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故故选：D【例3-4】（2022·全国·高二）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A﹒【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列共有项，则，，中间项为，故，，故选：B.【一隅三反】1．（2022·新疆生产建设兵团第五师教育局高二阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（

）.A．39 B．29 C．28 D．24【答案】A【解析】由题意，根据等差数列的性质，可得，，也构成等差数列，即构成等差数列，所以，即，解得.故选：A.2．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，.故选：D．3.（2022·海南）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】设等差数列有奇数项，．公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，，即等差数列共项，且故选：．4.（2022·辽宁·高二期中）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，，.故选：B.5．（2021·江苏·高二专题练习）等差数列中，为其前项和，若，，则________．【答案】【解析】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得，又所以是首项为，公差为等差数列，由，，得，所以的公差为所以所以故答案为：考点四等差数列前n项和的最值【例4-1】（2022·河南信阳）数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【解析】由题意，可知数列为等差数列，则，则当时，取最大值.故选：B.【例4-2】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知可得，即，解得，故选：A．【例4-3】（2022·北京八中高二期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（

）A．7 B．8 C．6或7 D．7或8【答案】C【解析】设公差为，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，，所以，所以当或时，取得最小值.故选：C【例4-4】（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（）A．4041 B．4039 C．2021 D．2020【答案】B【解析】∵等差数列存在最大值且，∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴，∵，所以∴，.所以满足的最大正整数的值为.故选：B．【一隅三反】1．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，∴，故当时，，当时，，故时，取得最大值.故选：B.2．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】因为等差数列的前项和为，，，所以，所以，，所以，，即等差数列的公差，所以，时，；时，，所以，使得前项和取得最大值时的值为.故选：D3．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，∴，∴，∴，，∴取得最大值.故选：C.4．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由条件可知，当时，，，解得：，因为，所以，得，，解得：或（舍）.故选：D5．（2022·吉林）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①公差②③④数列中的最大项为⑤其中正确命题的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】等差数列中，最大，且，，，①正确；，，，，，，最大，④不正确；，，③⑤正确，②错误.故选：B．考点五含有绝对值等差数列的求和【例5】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）等差数列满足，，其前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求的值.【答案】(1)(2).【解析】（1）设首项为公差为，由解得，所以.（2）设数列的前项和为.当,时，当,时，故.【一隅三反】1．（2022·海南）等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得：，解得，；（2），当时，，；时，，；当时，；当时，；即，综上所述：.2．（2022·四川省）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，．(1