6.2.2 组合及组合数（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.2.2组合及组合数（精练）1组合的概念理解1．（2022·高二课时练习）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（

）A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积【答案】BCD【解析】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.故选：BCD2．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列问题中，属于组合问题的是（

）A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法【答案】AC【解析】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，.故选：AC.3．（2022秋·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）（多选）给出下列几个问题，其中是组合问题的是（

）A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数【答案】AB【解析】A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选：AB.4．（2023黑龙江）(多选)下列问题属于组合问题的是（

）A．从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员【答案】AC【解析】选项A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题.选项B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数,选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列.选项C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式,只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题.选项D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题.故选：AC5．（2022·高二课时练习）（多选）给出下列问题，其中是组合问题的是（

）A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合B．从7名班委中选2人担任班长和团支书C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数【答案】AC【解析】A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题.故选：AC.6．（2022·高二单元测试）下列问题中是组合问题的有（

）.A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票B．从7本不同的书中取出5本给某同学C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法【答案】BD【解析】A．车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题.B．从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题.C．因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题.D．因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪3个人都不需要考虑顺序，故它是组合问题.故选：BD7．（2022春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）（多选）下列问题是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C．集合含有三个元素的子集有多少个D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】ABC【解析】A.10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题；B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题；C.集合含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题；D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题．故选：ABC2组合数的计算1．（2022春·湖北武汉·高二校联考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.2．（2022春·天津·高二统考期末）已知，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，化简得：，解得：或（舍去）.故选：B3．（2022春·重庆万州·高二校考期中）（

）A．110 B．65 C．55 D．100【答案】B【解析】．故选：B．4．（2022春·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）若，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因为，所以，且，解得或（舍去）；故选：D5．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）若，则实数x的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．2或6【答案】D【解析】由，得或，解得或，所以实数x的值为2或6.故选：D.6．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，故①正确；对于②因为，所以，故②正确；对于③因为，故③错误；对于④，故④正确；故选：C7．（2022春·江苏苏州·高二统考期中）（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】,故A错误，，故B对，,故C对，由可得：，故D错误故选：BC8．（2022春·江苏连云港·高二统考期中）（多选）对于m∈N*，n∈N*，m≤n，关于下列排列组合数，结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，，A错误；对于B，由组合数的性质知，成立，B正确；对于C，因为，因此成立，C正确；对于D，因为，，所以不成立，D错误.故选：BC.9．（2022春·江苏扬州·高二统考期中）（多选）下列各式正确的是A． B．C． D．【答案】AD【解析】A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C错误；D选项，，D正确.故选：AD10．（2023·高二课时练习）关于n的不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式，即不等式，解得，又因且为正整数，所以关于的不等式的解集为.故答案为：11．（2022·安徽）若，则x的值为_______【答案】4【解析】由题设，，整理得：，可得或，又，故.故答案为：412．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）计算：______．【答案】490【解析】,故原式，故答案为：4903组合数的实际应用1．（2022春·江苏南京·高二校考期中）现有6个白球，4个黑球，从中任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（

）A．115 B．90 C．210 D．385【答案】A【解析】，即至少有两个黑球的取法种数是115.故选：A2．（2022秋·湖北·高二华中科技大学附属中学校联考期中）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，故两人离开电梯的所有可能情况有种，而两人在同一层电梯的可能情况有，所以两人在同一层离开电梯的概率为，所以两人在不同层离开电梯的概率为，故选：B.3．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（

）A．56 B．52 C．48 D．40【答案】C【解析】如图所示：在八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，共有个，而其中不是直角三角形的有共8个，故直角三角形的个数为.故选：C4．（2022春·吉林白城·高二校考阶段练习）公历一年有12个月，其中1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月为31天，2月为28天(闰年为29天)，其余月份为30天．已知2020年为闰年，现从2020年的12个月份中任取3个月份，则这3个月份的天数之和不超过90的取法种数为（

）A．28 B．32 C．34 D．38【答案】D【解析】∵2020年为闰年，∴1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月为31天，2月为29天，其余4个月份均为30天，∴从2020年的12个月份中任取3个月份，则这3个月份的天数之和不超过90的取法有：①30天的取3个月，②30天的取两个月且取2月份，③30天的取一个月且取2月份，31天的取一个月，∴这3个月份的天数之和不超过90的取法种数为：故选：D．5．（2022秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名进行核酸检测，则抽取的两人中至少有一名为女教师的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名，所有的抽取方法共有种，抽取的两人中没有女教师的种数有种，所以至少有一名女教师的概率为,故选：C6．（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）（多选）2022年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2022年到2026年间，有93%的概率平均气温会超过2016年，达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（

）A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【解析】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确；恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误；至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误；选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确.故选：AD．7．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）（多选）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（

）A．若任意选科，选法总数为B．若化学必选，选法总数为C．若政治和地理至多选一门，选法总数为D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为【答案】ABC【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.故选：ABC8．（2023·山东）（多选）在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（

）A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种C．“其中没有次品”的抽法有56种D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种【答案】BD【解析】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．故选：BD9．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）在“志愿和平”活动中，某校高二年级名男教师和名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务，根据岗位需求应派人巡视商户，且至少有名男教师；另外人测量出入人员体温.则这名教师不同的安排方法有______种（只填数字）【答案】【解析】巡视商户的人中，无男教师的情况有种；不同的安排方法数有种.故答案为：.4分组分配问题1．（2023·安徽）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者，那么冰壶和短道速滑两个比赛项目的志愿者人数分别为1，3或2，2，方法数为，五个人分配到三个项目上去，可先分组再分配，5人按或分成三组，然后安排到三个项目，方法数为，因此学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为．故选：C．2．（2023·福建厦门）长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件得将12人任意分成3组，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为，故选：.3．（2023安徽宿州）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（

）A．360种 B．240种 C．150种 D．90种【答案】C【解析】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为，或两种情况.先分组，再将分好组人员分配到3个社区有，所以不同的分配方案共有．故选：C．4．（2022云南）哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）A．60 B．80 C．120 D．240【答案】A【解析】可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故不同的安排方案有种，故选：A．5．（2023·海南）中国空间站(ChinaSpaceStation)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）A．9种 B．24种 C．26种 D．30种【答案】B【解析】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有种安排方案，再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有种安排方案，接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有种安排方案，所以这5名航天员的安排方案共有种，其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有种，同在“问天实验舱”内的安排方案有种，即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有种，所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有种.故选：B.6．（2023·内蒙古）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【答案】B【解析】】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有种，②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有种，若甲单独一人去一个省份，则共有种，根据加法和乘法原理可得共有，此类情况共有种综上共有种.故选：B.7．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有（

）A．90种 B．180种 C．125种 D．243种【答案】A【解析】由题可把五个社区分为1,2,2三组，有种分法，然后将三组看作三个不同元素进行全排列，有种排法，所以不同的派法共有(种).故选：.8．（2022春·江苏南京·高二校考期中）（多选）新冠疫情发生后，某社区派出A，B，C，D，E五名志愿者到甲､乙､丙､丁四个路口协助开展防护排查工作，每名志愿者只能到一个路口工作，则下列结论中正确的是（

）A．若每个路口至少分派1名志愿者，则所有不同的分派方案共240种B．若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，则所有不同的分派方案共180种C．若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲路口，则所有不同分派方案共60种D．若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A､B不安排到甲路口，则所有不同分派方案共126种【答案】ACD【解析】A，B，C，D，E五名志愿者到甲､乙､丙､丁四个路口协助开展防护排查工作，每名志愿者只能到一个路口工作，A.若每个路口至少分派1名志愿者，则所有不同的分派方案共240种，正确；B.若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，分配方法有1，1，3或2，2，1，则所有不同的分派方案共种，错误；C.每个路口至少派1名志愿者，若志愿者A一个人在甲路口，有种方案，愿者A与另外一个人一起在甲路口，有种方案，则所有不同分派方案共种，正确；D.每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A､B不安排到甲路口，若甲路口安排1人，共有种方案，若甲路口安排2人，共有种方案，则所有不同分派方案共有126种方案，正确.故选：ACD.9．（2023·甘肃）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有种分组方法，若两组1人，一组3人，有种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．10．（2022·广东）某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.【答案】240【解析】先将5名学生分成4组共有种，再将4组学生安排到4所不同的学校有种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.故答案为：24011．（2022秋·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．【答案】50【解析】由题意可分为两类（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式综上共有种安排方式故答案为：5012．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，选出一个空盒，有种情况，将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有