2023年高考数学一轮总复习第33讲：空间直线、平面的垂直

2023年高考数学一轮总复习第33讲：空间直线、平面的垂

直

【教材回扣】

1.直线与平面垂直的判定与性质

文字语言图形语言符号语言

a、bUa'

1

一条直线与一个平面

aC\b=O

判定内的两条一直线

定理垂直，则该直线与此7l±a

平面垂直l±b,

=>/±a

aba_La

性质垂直于同一个平面的1

定理两条直线—bl.a,

27_=^a//t

2.平面与平面垂直的判定与性质

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平/_La

判定,u力

面的____,则这两

定理

个平面垂直」

£0a邛

两个平面垂直，如果a邛、

一个平面内有一直线

性质

垂直于这两个平面的

定理aC\p=a

—,那么这条直

线与另一个平面垂直力J/_La,

【题组练透】

题组一判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

1.直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则/_La.（）

2.垂直于同一个平面的两平面平行.（）

3.若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）

4.若平面。内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则a_L夕.（）

题组二教材改编

1.（多选题）下列命题正确的是（）

A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直

B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行

C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直

D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

2.已知直线小b与平面a,B，y,能使a_L尸的充分条件是（）

A.pLyB.aC0=a,力_La,

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C.a"B，a//aD.a〃a,.邛

3.如图，在正方形SGiG2G3中，E,F分别是G1G2,G2G3的中点，。是七厂的中点.若

沿SE,SF及Er把这个正方形折成一个四面体，使Gi，G2,G3三点重合，重合后的点记为

G,则在四面体S—EFG中，与面互相垂直的棱有条.

题组三易错自纠

1.若/，机为两条不同的直线，a为平面，且LLa,则“机〃a”是“mW的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.(多选题)如图所示，4B是半圆。的直径，以垂直于半圆。所在的平面，点。是圆

周上不同于A,B的任意一点，M,N分别为例,VC的中点，则下列结论正确的是()

A.MN〃平面ABC

B.平面平面VBC

C.MN与8C所成的角为45。

D.OC_L平面VAC

3.已知直线a和平面a,B，若a邛,al.fi,则。与a的位置关系为.

二；二A

题型一直线与平面垂直的判定与性质高频考点

［例1］如图所示，在四棱锥P-ABCD中，％_L底面ABCDfAB1AD,ACJLC。，NABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：

⑴CO_L4E；

(2)PO_L平面ABE.

［听课记录］

类题通法

直线和平面垂直判定的四种方法

(1)利用判定定理；

(2)利用判定定理的推论3〃4a_Lanb_La):

(3)利用面面平行的性质(a_La,a〃尸=〃_L夕)；

(4)利用面面垂直的性质.

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

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巩固训练1：如果，在三棱锥A—8c。中，ABLAD,BCLBD,平面ABD_L平面BCD,

点E,尸(E与A,。不重合)分别在楂AO,8。上，且ERLAD

求证：(1)所〃平面ABC；

(2)AD1AC.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

［例2］［2021•山东济南模拟］如图，在三棱锥尸一ABC中，AB=AC,。为BC的中点,

尸O_L平面ABC,垂足O落在线段A。上.已知BC=8,PO=4,40=3,OD=2.

(1)证明：APLBC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM=3,试证明平面AMC_L平面BMC

［听课记录1

类题通法

1.证明面面垂直的方法

(1)面面垂直的判定定理：a_L£,«Uana_L/?.此方法将问题转化为线面垂直问题，一般找至牛

其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行.

(2)只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90。即可.

(3)性质：a//p,4_Ly=>cc_Ly(客观题常用).

(4)向量法：证明两个平面的法向量垂直.

2.面面垂直的性质

已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定

理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交

平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

巩固训练2：如图，在三棱柱ABC—ABC中，底面ABC是边长为2啦的等边三角形,

BBi=4,且NA出5=45。.证明:平面比匕出J_平面—即"

x---

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题型三平行与垂直的综合问题

［例3］如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CO为矩形，平面以O_L平面ABCD,

B4±PD,PA=PD,E,尸分别为A。，P8的中点.

(1)求证：PELBCx

⑵求证：平面B4B_L平面尸8；

(3)求证：E/〃平面PCD

［听课记录］

类题通法

平行与垂直的综合问题主要利用平行关系，垂直关系之间的转化去解决，注意遵循“空

间到平面”“低维”到“高维”的转化关系.

巩固训练3：如图，四边形力8CO是平行四边形，平面4EO_L平面ABC。，EF//AB,

AB=2,BC=EF=\,AE=y(6,DE=3,NBAO=60。，G为BC的中点.

(1)求证：FG〃平面BED.

(2)求证：8。_L平面月ED

［预测1］核心素养一•直观想象、逻辑推理

已知直线/和两个不同的平面如彼，则下列结论正确的是()

A.若/〃a,I邛,则aJ_£

B.若a_LQ,/±a,则LL/

C.若，〃a,则a〃4

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D.若aJL从/〃a,则LL£

［预测2］新题型——多选题

已知在长方体人笈7）—4%C力1中,AR=2AD=2AA］,点内是48的中点,则下列结论

正确的是（）

A.GEJ•平面4DE

B.平面ACGAi_L平面4DE

C.平面SC。〃平面4DE

D.8。〃平面4OE

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2023年高考数学一轮总复习第33讲：空间直线、平面的垂

直答案

［教材回扣］

相交平行一条垂线交线

［题组练透］

题组一

1.X2,X3.X4,X

题组二

1.答案：AC

2.解析：对A,Q与夕可能平行；对B,当a与夕相交但不垂直时，也会有0_La,b

仁庆对C,。与夕可能平行，也可能相交，故A,B,C均错误.

故选D.

答案：D

3.解析：折前SGi_LEG”

SG3_LFG3,

EG21FG2,

・•・折后SG_LEG,SG1FG,EGLFG,

又SG,EG,rG交于一点G.

根据EG,FG交于一点、G,可得SG_L平面GE尸，

同理可证：rGJ■平面G5E,

EG_L平面GSF.

答案：3

题组三

1.解析：由/_La,且/n〃a能推出m_L/,充分性成立；若/_La,且〃z_L/,则〃。或

者mUa,必要性不成立，因此“m〃a”是“小_L/”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

2.解析：A中，由题意知MN〃AC,

又MNQ平面ABC,ACU平面A5C

.•・A/N〃平面ABC,A正确；

B中，・・FB是。O的直径，点。是圆周上不同于A,B的任意一点,

Z.AC1BC,

•・•区垂直。O所在的平面，BCUOO所在平面，

.WA-LBC.

又ACn%=A,・・・8。_1平面必1C

又BCU平面VBC

・•・平面%CJL平面VBC,B正确；

C中，'JMN//AC,又AC_L8C,

・・・MN与BC所成的角为90。，C错误；

D中，VAC±BC,又4、B、C、。共面，

・・・OC与4c不垂直，

.•・0。_1_平面区。不成立，D不正确.

故选AB.

答案：AB

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3.解析：当qU。且。垂直于a、0的交线时,

满足已知条件；当a〃。时也满足已知条件.

答案：或

课堂题型讲解

题型一

例1证明：（1）在四棱锥P—ABC。中，

•・・fi4_L底面ABC。，CDU平面ABCD,

/.M±CD.VAC±CD,R\OAC=A,

平面以而平面

，CO_LC.AEUPACt：.CD±AE.

⑵由。，可得

PA=AB=BCtNABC=60AC=%.

・・•£是PC的中点,：.AELPC.

由(1)知，AELCD,且PCCCD=C,・・・AE_L平面PCD

而POU平面PCD,：.AE±PD.

•・•办_L底面A8C。,：,PALAB.

又AB_L4O,且以HAO=A,

平面BAD,而平面以D,：.AB±PD.

又4BG4E=A,，PO_L平面ABE

巩固训练证明：在平面内，因为则

1(1)ABOA8_L4O,EF±ADt4B〃EE

又因为EAI平面ABC,A8U平面ABC,所以石尸〃平面ABC

(2)因为平面人8。_L平面BCD,

平面4BOA平面BCD=BD,BC<=平面BCD,BC上BD,

所以BCL平面ABD

因为AOU平面ABO,所以3C_L4D

AABLAD,BCnAB=B,ABU平面ABC,8CU平面ABC,

所以AO_L平面ABC.

又因为4CU平面ABC,所以4O_LAC

题型二

例2证明：(法一)⑴・・・PO_L平面ABC,BCU平面ABC,

：.POA.BC.

•・・AB=AC,且。为8。的中点，

：.AD1BC.

•・・POnAD=O,PO,AOU平面POA,

，BC_L平面POA.

；4PU平面POA,

：.AP1BC.

⑵•・•POJL平面ABC,AOU平面ABC,

：.PO±OA.

；A0=3,P0=4,则AP=5,

OA3

cosZ。4尸=丽=5，

又00=2,则40=5,

•・・4B=AC且。为8C的中点，BC=8,

：.AD±BCt80=8=4,

：.AB=AC=y]52-\-42=y[4\.

连接MO,在△MA。中，由余弦定理得一2M4.ADCOSNB4O=9+25

-2X3X5x1=16,

则MD=4.

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由(1)知，BCJ_平面POA,

•・・M£>U平面PQ4,

ARCIMD,

：.MB=^MD1+Bb1=4^2.

同理MC=4、/5,

又MB2-\-MC2=BC2,

：・MBLMC,

又222

MA-\~MB=ABf

又・.・AMnMC=M,AM,"CU平面AMC,

・・.MB_L平面AMC,

二•MBU平面BMC,

・•・平面AMC_L平面BMC.

仁

(法二)(1)如图，以。为原点，分别以过0平行于8c的直线，直线AD,直线0P为X,

y,z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

则0(0,0,0),4(0,—3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),尸(0,0,4).

宿=(0,3,4,),庆?=(一8,0,0),由此可得崩•反?=0,所以崩_L反?，即AP_L8C

(2)由(1)知14Pl=5,

又HM]=3,且点M在线段AP上，

・・・威=轴=@.

又放=(-4,-5,0),

号)，

：.BM=BA-\-AM=^-4f-y,

而俞=(0,3,分(一4,-y,¥)=0.

即人

：,APLBMt

又根据(1)的结论知APA.BC,

・・・4P_L平面8MC,于是AM_L平面8MC.

又AMU平面AMC,故平面AMC_L平面BCM.

巩固训练2证明：过点4在平面44S4内作581的垂线，垂足为O,连接CQ.

V4ICI±BBH40_L8Bi,4储A40=4[,

・・・8Bi_L平面4OG,

又CQU平面4OG,・・・88」GO.

由题可知4[BI=AIG=8IG=2啦，

在△AOS中，A\OLOB\,NAiS8=45。，AiS=2啦，

，A]0=3]。=2.

在△BOG中，VCiOlOBi,BQ=2,

BC=2@・・・GO=2.

.•.OCT+OAT=A)CT,，OG1O4,

•・・88I_LGO,4O_LGO,即040=0,

••・GO_L平面ABBA,

又GOU平面BCGBi,，平面4CGB」平面A38A.

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题型三

例3证明：(1)因为以=尸。，E为AD的中点，

所以PF.IAD.

因为底面ABCO为矩形，所以8C〃A。，所以PE_L8c

(2)因为底面48co为矩形，所以A8_LAD

又因为平面以。_L平面ABCD,

平面必。A平面A8CO=A。，ABU平面4BCO,

所以A8_L平面PAD,

因为POU平面小。，所以48_LPD

又因为M_LPO,ABOPA=At所以PO_L平面

因为POU平面PCD,

所以平面B4B_L平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G,连接尸G,DG.

因为F,G分别为PB,PC的中点，

所以尸G〃BC,FG=^BC.

因为四边形ABC。为矩形，且E为A。的中点，

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以DE//FG,DE=FG.

所以四边形。EFG为平行四边形.

所以EF//DG.

又因为£7过平面PCD,OGU平面尸CO,

所以斯〃平面PCD

巩固训练3证明：(1)如图，取8。的中点0,连接OE,0G.

在△8CO中，因为G是的中点，所以OG〃OC且OG=3)C=1.

因为E/〃AB,AB//OG,EF=\t

所以EF〃OG且EF=OG,

所以四边形。G尸E是平行四边形，所以rG〃0£

又FCK平面BED,OEU平面BED,

所以尸G〃平面BED

(2)在△A3。中，40=1,