江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷（解析）

2025届高中毕业生七月摸底考试数学试卷本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.本卷命题范围：必修一、二.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对数与互为相反数，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】因为对数与互为相反数，可得，即，所以.故选：C.2.使式子有意义的x的取值范围是（）A. B. C. D.,且【答案】D【解析】【分析】根据对数的定义得到不等式组解得.【详解】解：解得，即且.故选：【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.3.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数平均数中位数 B.众数中位数平均数C.众数平均数中位数 D.中位数平均数众数【答案】B【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数.故选：B4.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于【答案】D【解析】【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．5.已知复数z满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案.【详解】设，所以，可得，两式相除可得，可得，，因为，所以，当时，，解得，此时，当时，，解得，舍去，当时，，解得，此时，当时，，解得，舍去，当时，，解得，此时，当时，，解得，舍去，结合选项，只有D正确.故选：D.6.设是锐角，满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由原条件解出，然后利用二倍角公式即可.【详解】由已知有，且.故，结合，解得.所以.故选：D.7.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.8.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数，则（）A.的对称轴为B.的最小正周期为C.的最大值为1，最小值为D.在上单调递减，在上单调递增【答案】AD【解析】【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD.【详解】作出函数的图象如图中实线所示．对于，由图可知，函数图象关于直线对称，对任意的，，所以函数的对称轴为，A正确；对于，对任意的，结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，因为，所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误；对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确，故选：AD．【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解.10.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，设t时刻两点重合，则,即，此时点，即，当时，，故A正确；当时，，即，故B正确；当时，，即，故D正确.由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.故选：ABD.11.已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（）A.若，，且，则ABCD是平行四边形B.若M是AB中点，N是CD中点，则C.若，，，则CD在上的射影是BDD.直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等【答案】ABD【解析】【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；对于C，若，所以由线面垂直判定可得平面ABC，所以，由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D,所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高，据此可得圆台的体积：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.13.写出一个最小正周期为2的奇函数________．【答案】【解析】【分析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；根据最小正周期，可得.故函数可以是中任一个，可取.故答案为：.14.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．如果记，，，，则___________(用和表示).【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定可得，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】由四边形是矩形，得，又，平面，则平面，而，则平面，又平面，则，，由，，平面，则平面，而，则平面，又平面，则，，在中，，在中，，因此，所以.【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分别代入与求解即可.(2)代入求解即可.【详解】解:(1)..因此人听觉的声强级范围为.(2).【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.16.设，，求证：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算可证；（2）根据指数幂的运算可证；（3）根据指数幂的运算可证．【详解】（1）；（2），又，；（3），又．17.对于函数f（x）＝a（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？【答案】（1）不论a为何实数，f（x）总为增函数；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差，比较大小，定号即可判断；（2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解.【详解】（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则＝a，∵x1＜x2，∴，，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数.（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）即a，解得：a＝1，故存在实数a使f（x）为奇函数.【点睛】本题考查利用函数单调性的判断，以及利用函数奇偶性求参数的值，属基础题.18.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；（3）在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理求证；（2）建立空间直角坐标系，由求解；（3）由求解．【小问1详解】证明：因为，所以，又平面平面，得，而平面，得平面，因为平面，所以平面平面．【小问2详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，得，，设平面的一个法向量为：，则，取，得，设与平面所成角为，则，得，得，则与平面所成角的正切值为：【小问3详解】解：设平面的一个法向量为：，则，取，得，设平面与平面所成角为，则，得，故平面与平面夹角的正弦值为：19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H是群G一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合.（2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出的所有子群即可.【小问1详解】依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；关于