江苏省苏州市部分学校2025届高三7月适应性模拟演练数学试题（解析）

高三年级适应性模拟演练试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的元素个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性即可求解．【详解】因为在上单调递增，又，所以，故选：B．2.复数满足若，则=（）A. B.1 C.22 D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的性质求解.【详解】因为，，所以，所以.故选：D3.若向量，若与夹角为钝角，则的可能取值为（）A.1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.【详解】因为，又与的夹角为钝角，当与共线时，，则，此时共线反方向，所以且与的不共线，即且，则且，故选：D．4.随机变量ξ的取值集合为且则（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】对CD，利用裂项求和法即可得到即可判断，对A，根据，则进行放缩得，对B，根据方差公式计算即可判断.【详解】对CD，，故CD错误；对A，易知，，证明如下：令，，则恒成立，则在上单调递增，则，则，，则，故A错误.对B，.故.方法一：.，故.则，方法二：易知，，则,故B正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用裂项求和法求出相关无穷级数求和的值，并结合常用不等式进行放缩.5.已知若正实数满足则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则化简即可得解.【详解】因为所以，由可得，所以，两边取以3为底的对数可得，即，所以，所以，故选：A6.如图，四棱锥截取自边长为1的正方体.其中平面且是线段上靠近的三等分点，是线段上最靠近B的四等分点，M，N分别是棱和上的动点且恒有，垂足为H，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面展开图结合面积公式求出距离和的最小值.【详解】先把及展开在一个平面上，当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值，因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面，所以，，，，在，等面积法得，因为是靠近的三等分点，所以，所以.故选：C.7.已知角满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将展开，结合辅助角公式得到，再结合有界性即可求解.【详解】因为所以由辅助角公式可得：，其中，所以所以解得故选:A8.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数，且满足：对有，则的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可．【详解】由得在上单调递减，当时，，当时，要递减，且，对于A，当时，，不合题意，故A错误；对于B，当时，，不合题意，故B错误；对于C，当时，，符合题意，故C正确；对于D，当时，，不合题意，故D错误；故选：C．【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数和，下列说法正确的是（）A.和均为周期函数，且是、周期之一B.和均为周期函数，且是、的周期之一C.的值域为D.对恒成立【答案】CD【解析】【分析】由周期函数的定义得出不是周期函数，即可判断AB；由周期函数的定义得出是周期为的周期函数，分别求出和时的值域，即可判断C；由正弦和余弦函数的图象及诱导公式即可判断D．【详解】对于AB，因为为偶函数，但不是周期函数，所以不是周期函数，例如，，故AB错误；对于C，因为，周期为，周期为，所以是周期为的周期函数，所以当时，，因为，所以，所以当时，，因为，所以，所以，故C正确；对于D，当时，，，即，故D正确；故选：CD．10.对于抛物线F是它的焦点，γ的准线与轴交于T，过点T作斜率为的直线与γ依次交于B、A两点，使得恰有，下列说法正确的是（）A.是定值，不是定值B.不是定值，也不是定值C.两点横坐标乘积为定值D.记AB中点为M，则M和A横坐标之比为定值【答案】AD【解析】【分析】由题意可得点的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由，可得点B的坐标，进而可得直线AB的斜率，判断出AB的真假，由两根之积可得A，B的横坐标之积，判断出C的真假，由C选项分析，可得点A的横坐标，及A，B的中点M的横坐标，可得M和A的横坐标之比，判断出D的真假.【详解】如图，由题意得，设，设直线的方程为（不等于0），联立，可得，所以对于A，由，即，可得，即，解得，由，则，可得，可得的横坐标，即，可得为定值，故A正确B错误；对C，两点横坐标乘积为，不是定值，故C错误；对D，由题意，的横坐标为，由C选项分析可得点A的横坐标为，所以为定值，故D正确.故选：AD11.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．设为的单调递增数列，且满足，则下列选项正确的是（）A. B.至多有种取值可能C. D.【答案】AC【解析】【分析】由条件得是公比为2的等比数列，首项为2，即，即可判断AB；由不等式放缩得即可判断C；由定义及函数单调性即可判断D．【详解】由已知得，，所以，因为为的单调递增数列，所以，即，所以，或（不合题意舍），所以是公比为2的等比数列，首项为2，即，所以，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，当时，，所以，故C正确；对于D，设，因为在单调递增，所以，，当时，，则，当时，，当时，，所以，故D错误；故选：AC．【点睛】方法点睛：判断C选项时，根据不等式放缩得，是解题的关键；同时解答本题时需要运用极限思想．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设，则，将已知式子表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求得在0,1的最小值，即可求解．【详解】设，则，则，设，根据得，x∈0,1，则，当时，有最小值，则当，即时，取得最小值.故答案为：13.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为___________【答案】1【解析】【分析】设晒黑女生人数为X，确定X可能取值为0，1，2，求出每个值相应的概率，即可求得答案.【详解】由题意可设高三(一)班共有七名女生坐成一排依次为，由于两侧已经摆好了两个遮阳伞，则1，7一定晒不到，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞，即在7位同学之间形成的空中选3个放置，共有种放法；设晒黑女生人数为X，则X可能取值为0，1，2，时，若12之间放一把伞，则另外2把分别放在34，56之间，若23之间放一把伞，则另外1把分别放在56之间，第三把放在34或45之间，若67之间放一把伞，则另外2把分别放在23，45之间，则；时，被晒的人若是2，则23之间没有伞，34之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，同理被晒的人若是6，则67之间没有伞，45之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，被晒的人若是3或4或5，此时3把伞均有2种放法，故，，故晒黑女生人数的数学期望为,故答案为：114.若a>0且关于的不等式在0,+∞上恒成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先构造函数，由a>0得在0,+∞单调递增，将题目中不等式转化为，由单调性得出，再构造，根据导数求解参数范围即可．【详解】由，所以，设，由a>0得在0,+∞单调递增，所以，设，则，显然单调递增，令，得，①当，即时，在时，，则在单调递减，在时，，则在单调递增，所以，因为当时，，不合题意；②当，即时，则当时，，在0,+∞单调递增，所以，令得，，则当时，，当时，，不合题意；综上所述，，故答案为：．【点睛】关键点睛：本题关键在于构造，将转化为，简化运算进而求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.野餐用的三脚架三只脚长度均为r，露营结束后三脚架落在森林里，有白蚁聚集到其中一只脚啃食．（1）求证：啃食过程中三脚架顶点的运动轨迹是一段圆弧；（2）啃食完毕后脚长变为，且垂直于地面，若未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角为，求原三角架对应四面体的体积(用表示)．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意知，原三脚架为侧棱长为的正三棱锥，作出图形，取为的中点，即可得出顶点到点的距离为定值，进而证明；（2）根据题意作出图形，根据题设条件求得原正四棱锥底面边长和高，再根据三棱锥的体积公式求解即可．【小问1详解】证明：由题意知，圆三脚架为侧棱长为的正三棱锥，如图，则有，设平面为的中点，连接，假设白蚁聚集到脚进行啃食，则啃食过程中顶点向下移动，在中，的长度保持不变，故顶点到点的距离为定值，故三脚架顶点的运动轨迹是一段以为圆心，为半径的圆弧．【小问2详解】由题意得，啃食完毕后脚长变为，且垂直于底面，如图所示，则，且平面，又平面，所以，由，为中点，得，又因为平面，所以平面，又平面，所以，所以即为未损坏的两只脚所在平面与底面所成二面角，则，所以，所以，则，，，所以原三角架对应四面体的体积．16.已知椭圆与圆在第一、第二象限分别交于Q、P两点，且满足（1）求椭圆γ的标准方程；（2）A是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得，求证:四边形OABC的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可；（2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值．【小问1详解】由对称性知，，因为，，所以△是边长为1的等边三角形，因为位于第一象限，所以,，代入椭圆的方程有，代入圆的方程有，联立解得，，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】证明：设，，则直线的斜率为，且，即，因为，所以四边形是平行四边形，，设直线的方程为，,，,，联立，得，所以，，所以，因为，所以，整理得，即，而点到直线的距离为，所以四边形的面积，为定值．17.已知正整数列满足，且有对任意正整数恒成立.（1）求证:对任意，均为偶数；（2）记，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合数列前项和与数列的关系即可得到，再利用累乘法计算即可得数列通项公式，再结合偶数性质即可得证；（2）得到数列后结合放缩法可得，再借助等比数列求和公式与错位相减法求和即可得证.【小问1详解】，即，则，即有，整理得，则有，，，，即，即，又，则，若为奇数，则为偶数，此时为偶数，若为偶数，则亦为偶数，故对任意，均为偶数；【小问2详解】由，则，故，故，其中，，则，则，则，则，则，即有.18.“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.（1）利用恒等式和，求函数和最小值.（2）在中，角对应的边为.（i）求证：.（ii）已知实数满足求二元函数的最大值.【答案】（1）的最小值为；的最小值为.（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）分和讨论，转化为动点到两定点距离之和和之差最值问题即可；（2）（i）利用三角形内角关系和三角恒等变换证明即可；（ii）设，，变形得，则转化为表示点到点和的距离之差再加上，利用三点共线即可得到答案.【小问1详解】设，，则，因为，所以，所以，所以，即的最小值为：，当时，，表示点到点和的距离之和，所以.当时，，表示点到点和的距离之差，所以，综上，的最小值为：.【小问2详解】（i）因为，所以，证毕.（ii）在（i）中，令，则且，因为，设，，所以可得（），则其表示点到点和的距离之差再加上，所以，当且仅当，即时等号取得，此时满足.【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是利用换元法再进行合理变形，将其转化为点到点和的距离之差再加上，最后转化为三点共线问题.19.已知函数，其中为正实数．（1）若，讨论在的单调性．（2）若，